指向深度学习的高中数学学历案专题复习课教学实践——以“函数奇偶性、单调性求解不等式”为例

耿 幸

(上海市嘉定区第二中学，上海 201812)

深度学习是指在理解的基础上，学习者能够批判地学习新思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题的学习开展深度学习是培养高中生数学核心素养的一个重要途径，通过教师精心设计教学过程和学习材料，从教师主导课堂走向学生主导课堂，教师为学生提供思考和知识学习的素材，帮助学生挖掘知识内容，学生在课堂中全程参与、提升能力、发展素养

深度学习主要有以下几个特点：

1深度学习遵循学习者身心发展和科学认知规律深度学习活动应是基于教育教学规律、心理学、脑科学等科学设计并展开的学习活动开展学习活动的过程中，不管是学习内容、学习方式、学习环境等各方面的因素都必须和学习者的年龄、身心发展水平及认知能力相符合，这是深度学习的前提

2深度学习要求学习者深入理解学习对象学习者对研究对象进行全面深入的理解是实现深度学习的核心学习者深入理解问题本身，就能在后续的问题处理中分析解决并完成对知识的自主建构

3深度学习促进学习者对知识的迁移应用学习者对学习对象产生的深刻认识可以使知识系统化、结构化，并为后续知识的学习产生正向迁移，并对学习者的实践活动产生积极影响

学历案教学能够促进深度学习的发生，它是在教学中培养学生核心素养的有效手段学历案是指教师在班级教学背景下，围绕一个具体的学习单位(主题、课文或单元)，从期望“学会什么”出发，设计并展示“学生何以学会”的过程，以便于学生自主建构或社会建构经验及知识的专业方案这个角度是以学生为本，教师自己设计学生从哪些方面来学会东西，并有相应的评价任务教师基于课程标准，结合学情，设计合理的、吸引学生积极参与学习的、促进学生发展的学习方案,通过设置合理的课堂情境，让学生投入学习、真实学习教师通过学历案引导学生自主构建知识框架，更加关注学生“怎么学”“学会什么”学历案中明确深度学习的目标，让学生感受知识学习的意义与价值；创设有挑战性的问题情境，诱导学生的兴趣或思考；设置指向学科核心素养、有意义的任务；强调多感官参与，提供合作、探究、展示与交流的机会；选择真实情境，强调学以致用，开展表现性评价；设计学后反思的路径，引导学生养成反思学习的习惯，从而实现学生对知识的“深度学习”

下面以“函数奇偶性、单调性求解不等式”为例谈高中数学专题复习课学历案的实践与思考

【学习主题】函数奇偶性、单调性求解不等式

【学习目标】1能熟练运用函数的奇偶性和单调性来解决一些不等式问题

2体会数形结合思想在解决抽象函数不等式中的应用，提升数学抽象、逻辑推理等方面的数学素养

【评价任务】1回答问题1，完成探究1、探究2(检测目标1)

2回答思考1、思考2、思考3，回答问题2，完成探究3(检测目标2)

【教学过程】

(一)课前准备

1复习：函数奇偶性和单调性的定义函数奇偶性和单调性的图像特征是什么？

2回顾以下两题的解题思路：

(2)已知函数=()是定义在上的奇函数，且在[0,+∞)上单调递减，当+=2019时，恒有()+(2019)>()成立，则的取值范围是________

设计意图：教师利用最近学生完成的试卷中出现的问题引入，比较具有针对性，容易激发学生的学习兴趣和学习情感，这样的设计为本节课的自然引入提供契机

(二)课堂学习

问题1：如果已经知道函数的奇偶性，那么这个函数在关于原点对称的区间上的单调性有什么特征？

学生活动：思考，并说出自己的想法

1如果()是奇函数，则()在关于原点对称的区间上的单调性

2如果()是偶函数，则()在关于原点对称的区间上的单调性

设计意图：学生通过对以往所学知识的抽象概括，锻炼了数学抽象能力，以及提升了学习的主动性

探究一：已知函数部分解析式，如何结合函数奇偶性求解不等式？

1设函数()是定义在上的奇函数，若当∈(0,+∞)时，()=lg，则满足()>0的的取值范围是____________

变式1：设函数()是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，若当∈(0,+∞)时，()=lg，则满足()>0的的取值范围是____________

变式2：设函数()是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，若当∈(0,+∞)时，()=lg，则满足(-1)>0的的取值范围是____________

思考1：能否从代数运算的角度来解决这道题呢？

问题2：在处理有关利用函数奇偶性、单调性求解不等式的问题时，有哪些基本解题思路呢?

学生:主要有两种思路：一种是利用函数奇偶性和单调性，画出函数的大致图像来进行求解；另一种是利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，再进行求解第一种方法明显简单一点，也比较好操作

变式3：设函数()是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，若当∈(0,+∞)时，()=lg，则满足(-1)>1的的取值范围是____________

设计意图：此环节通过对原题进行变式，循序渐进地向学生抛出一个接一个的问题，深度挖掘利用函数奇偶性和单调性求解不等式的方法，分解了本课的难点

探究二：抽象函数问题中，如何利用函数奇偶性和单调性解不等式？

教师：通过二次函数的最值可以发现+1,-2+2都位于[1,3]上，此时只需要借助单调性求解即可，避免了大量的冗余计算当然最后对于这几个不等式的解求交集运算，这个是我们需要注意的

思考2：在处理这些问题中利用了函数奇偶性和单调性的哪些特点？

如果()是偶函数，当∈[0,+∞)时，()为增函数，则()≥()可推出||≥||；

如果()是偶函数，当∈[0,+∞)时，()为减函数，则()≥()可推出||≤||

设计意图：此环节注重渗透特殊到一般，猜想到证明的数学思想，教师在教学过程中要注意引导具体求解过程让学生自己完成，教师及时鼓励，充分调动学生的学习积极性和主观能动性

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

思考3：例3和例1、例2有了一定的区别，不等式右边已经变成了一个常数，能否用之前的解题思路来进行解决呢？

当∈(0,+∞)时()<0⟹0<<1；当∈(-∞,0)时，()>0⟹-1<<0，可得本题答案选D

变式1：已知函数()是定义在上的奇函数，且在(-∞，0]上为单调增函数若(-1)=-2，则满足(2-3)≤2的的取值范围是________

变式2：已知函数()是定义在上的偶函数，且在(-∞，0]上为单调增函数若(-1)=-2，则满足(2-3)≤-2的的取值范围是________

4已知函数()是定义在上的奇函数，当∈(0,+∞)时，()=2-3，则不等式()≤-5的解集为________

变式：已知函数()是定义在上的偶函数，且当≥0时，()=+若()+(-)<4，则实数的取值范围为________

设计意图：此环节通过不断地对解题方法的提炼、总结和完善，加深学生对于本知识点解题方法的理解，培养学生对于问题举一反三的能力，促进学生对于知识内容的深度学习，提高学生在逻辑推理等方面的数学素养

探究三：如果一些关于函数的问题没有明确指出函数性质,该如何解决这样的问题？

A.>B.>||

教师：同学们太棒了！我们发现，对于较复杂的函数不等式问题，利用函数的奇偶性和单调性来寻找解题的突破口，是一个非常不错的选择

其中能使()>()恒成立的条件序号是________

教师：本题的解题难点就在于(0)=0，这是对的取值范围的一个限制，另外要注意在完全平方开根号时一定要加上绝对值符号，避免出现错解的情况

设计意图：本环节通过对前面一系列问题的处理，加深了对本节课知识点的理解，训练了学生的自学能力，以及学习的主动性

(三)课后检测：配套练习

【学后反思】

回顾所学内容，对于利用函数奇偶性和单调性求解不等式这一类问题，你有什么心得体会？能否总结出相关解题思路，并记录下来？你还有什么好的想法愿意和大家分享？

二、高中数学专题复习课学历案实践的思考

1深度学习提升专题复习课教学效率

作为专题复习课，由于知识点密集、信息量大，教学形式枯燥，大多数学生只是麻木地记住相关题型的求解方法而去生搬硬套，根本不去理解其发生过程，这样的浅层学习非常不利于学生思维深度性和活跃性的训练，难以真正地提高学生的数学素养教师通过一个具有针对性的引入或者挑战性的学习问题就会激发学生的学习动力和热情教学中，教师如果采取适当的方法，注意启发引导，不以自己的想法代替学生的想法，不是简单地告诉他们如何处理类似问题，而是引导学生积极参与知识形成的关键点处的讨论、交流等活动,帮助学生将已有的知识迁移到新的情境中，并解决问题，同时让学生及时总结知识获得过程中的思想方法，那么这样的深度学习必然能够促进学生核心素养的养成，帮助学生获得全面发展

2学历案丰富专题复习课教学模式

新课程改革的教育教学精神强调的是发挥学生的主体性，教师应该从课型上进行改变，通过学历案开展讨论、合作探究的学习方式能激发学生学习的主动性课堂上，教师与学生、学生与学生相互讨论、合作探究，这样能增进彼此的亲近感，消除学生的焦虑心理，使学生的主动性得到了激发，使全班学生都获得了成就感另外，在学历案教学中，教师只起引导作用，把绝大部分课堂时间留给学生，将学生的学习热情和学习效果释放出来，课堂气氛很轻松、热烈，突出了学生的主体地位，调动了学生学习的主动性，能够促进学生更加深入地挖掘知识内涵，提升其学科整体素养

3学历案促使教师专业发展

课程标准指出：学生应“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”这实际上对我们教师提出了更高的要求：“教师不仅是知识的传授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者”因此，课堂教学不只是教会学生如何使用结论，更重要的是教会学生如何获得结论另外新课程标准对于提升学生的数学核心素养有了更明确的要求，在实际的授课过程中也要注意对于思想方法的渗透，通过启发、引导、归纳等多种形式来提升学生的数学核心素养

通过学历案教学，教师可以扮演好“引导者”的角色对于一些“繁、难、旧”的学习内容，单纯的、机械式的接受学习既无法体现数学知识的背景与应用，也无法引起学生的学习兴趣那么，通过学历案教学，教师可从学生已有的知识背景出发，设计合理的探究活动，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验，从而让学生感觉到自己是数学学习的主人

通过学历案教学，教师可以扮演好“组织者”的角色无论过去还是现在，教师所面对的学生层次总有不同，知识背景，实际能力存在差异通过设计适合当前学情的学历案，教师可以组织好教学内容及学习过程，提高教学有效性，真正地实现“因材施教”同时在现代技术的背景下，数学教学中也出现了越来越多的新技术手段，这些都是对传统教学手段的有益补充，如何用好这些手段，同样需要教师用心将其整合到教学过程中，以期让所有学生都能从中或多或少的有所收获，使学生学习数学、理解数学

通过学历案教学，教师可以扮演好“合作者”的角色在通过学历案开展教学的活动中，教师的活动与学生的活动相互依存教师及时关注学生在学习过程中的变化，积极参与学生的小组活动和集体思考活动，与学生合作完成学习主题，同时能提高学生的合作意识

因此，在学历案的实践过程中极大地促进了教师本身的专业发展