Liu混沌系统的电路设计及自适应控制研究

陈 恒，代文鹏，李勇兴，颜廷洋

（1.西京学院，陕西 西安 710123；2.山东海事职业学院，山东 潍坊 262408；3.齐鲁理工学院，山东 济南 250200）

0 引言

混沌系统对初始条件具有很高的敏感性［1］，Lorenz提出Lorenz混沌系统［2］。近几十年来，新的系统不断被提出与发现［3］，如T系统［4］、Chen系统［5］、Liu系统等［6］。目前，混沌理论在图像加密数据传输［7］、电机控制系统等各个领域得到了应用［8］。近年来，混沌中的同步研究发展迅速［9］。那么能否在三维Liu混沌系统上，研究其动力学行为并进行同步控制［10］，为实际工程提供了新思想。

针对Liu系统的相图、分岔图以及Lyapunov指数分析了系统参数变化时动力学行为［11］。仿真结果说明该混沌电路及自适应同步控制的可实现性。

1 混沌系统与分析

动力学方程是一类含有平方的非线性Liu混沌系统。

其中x、y、z为系统变量，系统的参数为a、b、c，当a=5、b=2、c=15，画出系统（1）相图，观察发现该系统中存在典型的混沌吸引子（见图1）。计算得出系统三个Lyapunov指数为λ1=0.9712，λ2=-0.0072，λ3=-7.9323，最大Lyapunov指数是正数，得出该系统是含着混沌特性的［12］。

图1 系统（1）相图

1.1 耗散性

由式（2）得a+b>0时，系统（1）是一个耗散系统，体积元收敛为即体积元V0以指数收敛，t时刻体积元为V0e-(a+b)t，当t→∞时的体积元收敛到零，渐进运动围绕在一个吸引子上。

1.2 平衡点及稳定性

在对系统平衡点E0=(0,0,0)进行线性化处理后的Jacobian矩阵：

那么，特征方程为：

解得特征值为：λ1=-11.5139，λ2=6.5139，λ3=-2，根据Routh——Hurwitz判据，该平衡点是不稳定的。同样得，E1、E2是不稳定平衡点。

2 参数的影响

非线性动力系统的状态由系统参数决定［13］，从系统三个方向的Lyapunov指数和分岔图，可以直观看出系统运动状态的变化［14］。

固定参数b=2，c=15，改变参数a，a∈[0,15]系统（1）的Lyapunov指数谱与关于x的分岔图如图2所示。可以看出系统是由周期进入混沌状态，a∈[1,3]为周期态，a∈[3,9.5]处于混沌状态，为进一步研究几个特殊点的状态，本文做了不同状态的相图，如图3所示。

图2 a变化时系统（1）分岔图与Lyapunov指数谱

同理，固定参数a=5，c=15，改变参数b，b∈[0,12]系统（1）的Lyapunov指数谱与关于x的分岔图如图4所示。从分岔图中可看出b=5.5左右系统脱离混沌进入周期状态，为了验证，做了相图如图5。还可看出在b=8与b=10分别出现了双周期与单周期现象，相图如图5（c）（d）。

图4 b变化时系统（1）的分岔图与Lyapunov指数谱

图5 系统随b变化时的相图

图3系统随a变化时的相图

同 理，固 定 参 数a=5，b=2，改 变 参 数c，c∈[0,10]系统（1）的Lyapunov指数谱与关于x的分岔图如图6所示。从分岔图中与Lyapunov指数谱可看出系统是由周期进入混沌，a∈[ ]4,10处于混沌状态，为了验证，做了相位图，如图7（a）（b）分别为周期状态和混沌状态。

图6 c变化时系统（1）的分岔图与Lyapunov指数谱

图7 系统随c变化时的相图

3 系统电路原理图及方程

Multisim搭建系统硬件电路并进行仿真，根据混沌系统（1）的状态方程，利用集成运放LM741、模拟乘法器AD633及电容和电阻等设计出相应的混沌电路图（如图8）。

图8 系统（1）的电路原理图

根据以上电路原理图，电路振荡电路方程为:

通过电路振荡电路方程与混沌系统（1）的状态方程对比，在数值内容上是完全对应的。为了验证该混沌电路的正确性，利用Multisim14对混沌电路进行电路仿真，将电路的x、y、z端的输出电压实时显示在示波器上，如图9所示。经仿真验证，该混沌系统电路可以搭建实现。

图9 系统（1）的相位图

4 自适应同步控制器的研究

为了更好地研究本系统，设计一种自适应同步控制器，进行控制，设定驱动系统：

式（7）中的u为控制输入，参数b是未知，定义误差为：

V>0,V̇<0，该误差系统是一个能量衰减的函数，当t→+∞，e x、e y、e z→0，系统误差趋近于0，驱动系统（6）响应系统（7）同步。

5 仿真结果

为了验证同步控制器的可实现性，Matlab对该同步控制器进行了仿真，当a=5，c=15，未知的参数b=1.5，该系统具有混沌现象。分别取两个系统初始条 件 为：x1（0）=-1，y10=2，z10=1，x20=10，y20=-10，z20=21，仿真的同步结果与误差结果如图10、图11所示。可见t在4秒左右，驱动系统和响应系统实现同步，验证了同步控制器设计方法的有效性。

图10 驱动系统与响应系统同步过程结果

图11 驱动系统与响应系统误差结果

6 结论

本文通过Matlab软件对三维Liu混沌系统走向混沌过程及自适应同步控制的实现进行理论研究，改变系统参数来控制系统的变化，实现系统周期到混沌运动的动力学行为。同时，设计该系统的混沌电路与自适应同步控制器并进行仿真。仿真结果证明该混沌电路及自适应同步控制具有可操作性，研究结果为混沌系统的电路设计及混沌同步控制研究提供了思路。