立足数学关键能力 优化教材中的素材

文∣陈志睿

一、现状反思：教材习题的教学要着眼关键能力

2018年，江苏省基于国家课程标准，制定了江苏省数学学科学业水平测试，对四年级学生进行了学业水平测试。《学生学业质量监测的全部中小学校学生学业质量监测分析报告》于2020年发布，供省内学校参考，其中一题的数据分析引起了笔者的关注。

黄山风景区的门票价格是230元/人，暑假期间教师可以享受半价优惠。31位教师在暑假期间去黄山旅游，3000元够买门票吗？请写出估算过程。

表1 答题情况分析表

经统计，学生答题情况如表1所示，编码21代表答案正确，但是估算过程有错，或者估算过程没有写出来；编码22代表估算过程正确，但是没有结论或者结论错误；编码23是通过精确计算得到的结果；编码41是完全正确的作答；编码71是用230元进行估算或计算；编码72代表用精确计算解答，但计算出错；编码73代表其他错误；编码99表示没有作答。

从数据来看，本校和本区县有50%左右的学生能够运用估算正确解决这个问题；27%左右的学生通过精确计算能解决实际问题；11%左右的学生不能正确表述出估算过程。这样类似的题学生都做了很多次，教师也讲了很多次，但学业水平测试正确率却只有50%，学生怎么就不会估了？我们要对数学核心素养要求的估算能力进行分析，如表2所示。

表2 数学估算能力水平划分

反思我们的估算教学，设计的情境教学时常这样提问：“估一估，带的钱够吗？还要找回多少钱？”学生会提出：“肯定不够，不然怎么会要你算找回多少钱呢。” 在教学中，学生看到题就习惯拿笔计算，因为题目里说了要“算一算”。由此可以看出，教师给定的练习题可能会给学生造成思维定式，反正是要算的，就不估了。所以，教师应该对教材里的素材稍加修改，如“估一估，怎样走最近，说明你的理由”。引导学生学会根据解决问题需要，判断是用近似答案还是精确答案，在开放的“设问”中，让学生自主分析，选择方法，做出判断，解决问题，培养核心素养下的关键能力。

基于此次学业水平测试，我们重新审视教材习题教学，笔者认为应该立足于核心素养对估算教学进行优化。

二、基于关键能力的教材学习素材优化策略

数学素养所体现的关键能力是支持学生进一步学习的必备能力，同时又能深化学生对数学本质的理解，提高分析和解决问题的能力。我们的教学要立足关键能力，优化教材中的学习素材，如教材的例题、习题、学习材料等。

(一)建构“生长”的认知结构，为关键能力奠定基础

不同的数学知识承载了不同的关键能力，帮助学生构建可生长的认知结构，有利于其把握知识本质及知识之间的内在联系，发展学生关键能力。

1.尊重认知起点，在思维碰撞中发展关键能力

尊重学生的认知原始经验，找到知识的生长点，让学生对新授知识产生亲和感。教师可以在与学生的多维对话中，引导学生找到知识的生长点并加以突破，使其在探索新知生成的过程中提升对新知的感悟，培养学生的思维能力。以苏教版四年级下册的“乘法分配律”一节为例，教材以一个情境引入，然后解题列式，引导学生对比发现再应用同类题目，最后抽象出乘法分配律。在实际教学中，教师可以在教材的基础上优化教学内容。

在教学乘法分配律时，教师让学生说出自己认为的乘法分配律。

案例1：如何表示3个2加4个2等于7个2。

案例2：小红周末陪妈妈去买水果，上午买了3个苹果，下午买了4个苹果，第二天重复第一天的方式购买苹果。2天一共买了多少？列出算式。

案例3：计算图1共有多少个小圆。

图1

案例4：计算图2的面积。

图2

教师引导学生用不同的算式计算上面的案例，让学生思考规律并用自己的理解去探究乘法分配律。在这样以学生为中心的氛围下，教师以“算式有什么相同的地方”为出发点，分开算与合起来算都是相等的数学本质，通过数形结合以及生活经验，得出“(a+b)×c=a×c+b×c，即两个数的和乘一个数就等于这两个数分别乘这个数”的结论，发展学生演绎推理的能力。

2.数形结合，为发展关键能力提供支持

在传统教学中，教师讲解完数学结论以后，让学生尽快运用结论去解题，巩固练习。这样容易导致学生机械重复地刷题，忽略知识的来龙去脉，不关注数学思想、方法的产生与发展。教师可以利用数形结合的方式，将过程与结果串联起来，让学生习得的一般性方法还能为未来的学习做铺垫。通过数形结合的方式，可以强化过程与结果的关联，对学生解决新的问题具有启发作用，让学生学会举一反三，触类旁通。

3.培养多元的思维，为关键能力创造可能

解决问题是发展关键能力的重要载体，从不同角度分析问题、多元的方法解决问题可以培养学生在探究过程中发展关键能力。在疫情居家学习中，学生有更多的时间去深度探究问题。教师设计以“鸡兔同笼”问题为载体，让学生用画图法、假设法、列表法、抬腿法、方程法解决问题(如图3所示)。每种解决问题的方法既有联系又有不同。在线上交流中，学生表达出自己对每种方法的理解，从直观问题中抽象出数量关系，推理、分析并解决问题。多元思维为发展关键能力创造了更多的可能性。

图3

(二)教材素材有效整合，整体把握关键能力

数学核心素养具有连续性和阶段性的特点。因此，教材每一阶段、每一单元、每一个数学知识点都有其对应的关键能力，不同阶段所对应的关键能力表现也不同，知识、技能和关键能力是螺旋式上升的。如果某一阶段的能力不能得到很好的发展，下一阶段的能力发展也会受阻。在开展某一单元的教学时，教师首先要整体把握一个单元的知识技能，分析学生已经掌握了哪些知识和能力，将学习素材和学习内容根据学情进行整合，促进学生关键能力的发展。

1.基于学情的单元素材整合，聚焦关键能力

如果学生整体学习水平较高，教师就可以从聚焦关键能力的角度去整合教材。以苏教版二年级下册的“认识万以内的数”为例。这一单元的基本结构如图4所示。

图4

根据课前测，教师了解到学生已经会用自己的方式直观地表示数，这说明基于之前“100以内数的认识”，学生理解了数位的含义并具有计数单位意识，能借助直观模型读数、写数。按照教材编排，先是“数数和千以内数的组成”，再学习“千以内数的读、写”，最后学习“万以内的数”。这样的设计没有显出思维的递进。教师可以立足关键能力，重新审视教材，打开新的思路。

“数的认识教学”旨在培养学生从具体事物中抽象出数与形的能力并形成数感。因此，教师可以引导学生从知识技能层面理解“十进制”，同时培养学生数感，以这两个角度为切入点，进行单元整合，将千以内的数和万以内的数进行整合。

在数数的过程中，让学生感受产生新的计数单位的必要性。千以内数的认识和万以内数的认识均使用了“小方块”，并做如下优化。

教师出示小方块，让学生一个、一个地数，10个“一”是一个“十”。出示图5中的(b)。

十个、十个地数，十个“十”是一百。出示图5中的(c)。

一百、一百地数，十个“一百”是“一千”。出示图5中的(d)。

一千、一千地数，十个“一千”是“一万”。

(a) (b) (c) (d)图5

让学生在数直观模型的基础上认识计数单位，同时理解计数单位十进制的关系。教师进一步利用黄豆引导学生了解1000、10000的规模，再通过图片让学生直观感受万人会场的容量，培养学生的数感；将认识千、万串联起来，帮助学生整体感知计数单位之间的关系，为学生认识更大的数做铺垫，让其关键能力持续发展。

2．基于过程方法的教材素材重组，强化关键能力

数学学习的过程与方法也是形成关键能力的重要载体。在研究教材的单元目标时，我们发现，有时一个单元的探究学习过程与方法相似并不断深化的。因此，根据探究的过程与方法，教师将一个单元的教学内容进行重组，深化学生对过程方法的理解与掌握，推进关键能力发展。以苏教版四年级下册的“运算律”单元为例，图6为单元的结构。

图6

此单元加法和乘法都有交换律、结合律，教材的编排按照加法和乘法两个板块来教学，由“加”到“乘”，教学内容有梯度地逐渐加深。但是从单元过程与方法目标“在探究运算律的过程中，培养比较和分析、抽象和概括、归纳和类比等能力”来看，教师可以将单元内容进行重组，将加法交换律和乘法交换律进行整合来研究“结合律”，通过类比让学生了解“结合律”在加法和乘法中都适用。课堂中教师不断引导学生进行比较、分析、归纳等思维活动，深化学生的推理能力，强化关键能力的发展。

(三)指向关键能力的教材学习素材改造路径

教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富的学习素材。教材、习题不是拿来就用，教师要将教材、习题进行合理、适当的改造，让学生的关键能力落地生根。

1.改问题，从浅显走向深入

通过分析学业水平测试的试题，我们发现，学业水平测试的试题非常灵活；题目条件虽然不多，但很难一眼就看出方法或答案。水平测试考查的知识点不难，但是需要学生准确提取对应的知识点，这就对学生的关键能力提出了要求。反观我们平时的练习题，几乎是直接指向知识点的浅显提问，机械、重复的训练对关键能力的提升起不到促进作用，反而还可能限制学生的思维。所以教师要对习题作相应的改编，将一眼就能看出方法或知识点的题改编为指向关键能力的深度思考习题。下面以练习册的一道题目改编为例。

【例题1】某地去年最后四个月的降水量如图7所示，该地九至十二月平均降水量为( )毫米。

A.147 B.98 C.96 D.86

图7

【改编题1】某地去年最后四个月的降水量如图7所示，该地九至十二月中，最接近这四个月平均降水量是( )月。

A.九 B.十 C.十一 D.十二

比较这两种考查方式，相同点都是考查平均数，第一种出题方式浅显地指向知识技能的平均数计算。而第二种出题方式不是让学生直接算平均数，是要在理解平均数的基础上，根据数据分布的特点来估算。

诸如此类的习题改编还有很多。只要教师着眼于核心素养下的关键能力，练习便自然从浅显走向深入。

2.重过程，从低阶思维走向高阶思维

低阶思维是缺少辨析与判断或者识别的思维，在数学上主要有记忆、领会、运用，高阶思维主要是分析、评价、创造。在数学学习中，培养高阶思维指向的是能借助对数据的描述进行简单的判断、解释。在日常教学中，我们发现很多学生超前学习，已经掌握了知识和技能，那我们的教学目标如何制定呢？那就从低阶思维走向高阶思维，让关键能力进一步发展。

以苏教版六年级上册的“整数除以分数”为例，教师在课上出示例题2。学生都知道除以一个数等于乘这个数的倒数，并且会运算，显然这还处于记忆、运用的低阶思维。

图8

在观察学生解题的过程中，教师发现学生能够正确列出算式，熟练使用“整数除以几分之一等于整数乘几分之一的倒数”计算结果。但画图时就出现了问题，有些学生不画图直接写答案，更有些学生不知道图该从何画起。这说明学生仍处于只能读出数据所含简单信息的水平。如果继续这样教学生，他们的思维和能力得不到提升。故教师对教材作了如下改进。

【改编题2】结合下面四道题，先画图分析，再把你的思考或计算过程记录下来。

解题时，学生自己创设直观图形分析算式，描述算理。例如改编题2的④，学生作了如下探讨。

教师的目标定位在哪里，教学就走向哪里。关键能力的培养与推进可以让学生的思维提高得更快。

3.设变式，从单一到丰盈

从关键能力的视角研读教材习题，思考题目的意图，是用好教材的第一步。在此基础上，教师如果挖掘到题目内涵，找到关联，结合课外练习题，扩充题组，可以丰富学生对同一问题的认识，积累活动经验，更好地发展关键能力。

以苏教版六年级下册的一道习题为例(如图9)。该题的基础模型是“方中圆”，圆占正方形面积的78.5%。“方中圆”还可以继续变化，如图10。

如右图,两个正方形的边长都是6厘米。(1)圆的半径各是多少厘米?(2)两个正方形里圆的面积各是多少?各占正方形面积的百分之几?(3)如果像这样在正方形里画9个相同的尽量大的圆,这9个圆面积的和占正方形面积的百分之几?你发现了什么?

图10

我们可以利用教材，设计变式习题，丰富学生的素材积累，让学生学会举一反三。

三、结语

考试不仅仅是得到一个分数，它能真实地反映学生数学核心素养下的关键能力水平。考试的目的不是通过分数把学生分成一、二、三档，而是促进教师反思自己的教学，如何让核心素养下的关键能力培养落实在教学中，让每一个学生的数学关键能力都得到相应发展。因此，教师要对教材里的学习素材多研究，探索立足关键能力的教材学习素材的优化方法。