数学基本活动经验二十年：课标演进、研究回顾与未来展望

文∣张胜

“数学基本活动经验”作为“四基”之一，是彰显中国数学基础教育特色的重要概念。2001年第八次基础教育课程改革拉开序幕，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称“01课标”)首次明确将“数学活动经验”列入课程目标。自此之后，数学基本活动经验一直是我国数学课程与教学研究的重点与热点。二十年来其概念和内涵随着基础教育目标的发展而在基础教育数学课程标准中演进，相关研究亦不断丰盈。适时对数学活动经验进行梳理与总结，对后续研究的开展是十分必要的。有研究者于2011年对我国数学活动经验研究进行了较为全面、细致的综述。[1]2011年后，我国新课程改革的学力目标逐渐从“三维目标”过渡到“核心素养”[2]，数学基本活动经验在此背景下被赋予了更为丰富的内涵。《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“11课标”)首次明确提出“四基”概念，将数学基本活动经验与数学基础知识、基本技能、基本思想并列，相关研究大量涌现。有鉴于此，以《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“22课标”)的颁布为契机，笔者结合基础教育数学课程改革二十年来的历程，检视数学基本活动经验在基础教育数学课程标准中的演进，回顾数学基本活动经验研究的成就与不足，提出对数学基本活动经验研究的未来展望，以期为后续研究提供借鉴。

一、数学基本活动经验的课标演进

2001年课程改革以来，学力目标从“双基论”到“三维目标”再到“核心素养”不断完善，“数学基本活动经验”也在基础教育数学课程标准中不断演进。

(一)结果性要求转向结果、过程性要求并重

“数学基本活动经验”概念在01课标中已有雏形。“数学活动经验”首次被列入基础教育数学课程目标，强调“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。这表明01课标开始强调数学活动经验的重要性，但在“双基论”的学力目标背景下，仅认为其是“重要数学知识”的一部分。这一课程目标强调的是对数学知识的理解发生的变化——数学知识不仅包括“客观性知识”，即那些不因地域和学习者而改变的数学事实，而且还包括从属于学生自己的“主观性知识”，即带有鲜明个体认知特征的个人知识和数学活动经验。[3]数学活动经验尚未在课程标准中取得独立地位。从本质上而言，数学活动经验仍被作为一种结果性要求。

11课标首次明确提出“四基”概念：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”“数学的基本活动经验”与数学的基础知识、基本技能、基本思想并列，其独立性地位正式获得认可。在“三维目标”的学力目标背景下，过程性目标的重要性日益受到重视，数学的基本活动经验在课程标准中被进一步明确，地位进一步凸显。11课标修订也明确指出，“活动”是一个过程，不但学习结果是课程目标，而且学习过程也是课程目标。[4]数学基本活动经验完成了从结果性要求转向结果、过程性要求并重的课标演进。

(二)学科领域内部转向数学、一般领域兼顾

研究11课标与《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“17课标”)对“数学基本活动经验”的具体表述，措辞略有不同。11课标保留核心表述，为“数学的基本活动经验”，“的”字表明“数学”与“基本活动经验”间的关系。表述反映出基本活动经验的数学学科边界。11课标修订也指出，“数学的基本活动经验”提出的一个重要目的在于帮助学生在活动中积累从数学的角度进行思考的经验。这意味着“数学基本活动经验”作为课程目标，其过程与结果主要限于数学学科领域内部。

2001年起，课程改革在以“真实性学力”“均衡课程”等更深层次诉求为旨归的价值转向中，寻求学力的可信赖性、可迁移性、可持续性，以及脑力与体力、认知能力与非认知能力、学科素养与跨学科素养的均衡发展。实现了“核心素养”对“三维目标”的进一步发展。在此学力目标背景下，17课标从“四基”“四能”“六个数学学科核心素养”“一般素养”四个层次呈现了课程目标。其中前三者为显性目标，“一般素养”作为隐性目标由前三者所形成的贡献达成。[5]

17课标与22课标在对“四基”目标的阐述中，均使用了“数学基本活动经验”的表述方式；通过数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。“数学基本活动经验”与“数学的基本活动经验”，一字之差却反映出对数学基本活动经验认识上的不同层面。“数学的基本活动经验”停留在数学学科内部，强调数学活动中的思维经验，“数学基本活动经验”则试图消融“数学”与“基本活动经验”间的从属关系，突破学科边界的桎梏。如17课标修订强调数学基本活动经验重视在多样化的数学活动中去思考、去探索、去发现结论的经验，数学基本活动积累源于数学学科而又超越数学学科的通用经验，如创新性思维经验、批判性思维经验等，而这往往是孕育素养、形成智慧、进行创新的重要基础。22课标的一个明显变化也是更为重视基于综合与实践培养学生的实际问题解决能力，引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题，并不限于数学学科内部，深刻体现了《义务教育课程方案(2022年版)》中“课程独特育人价值和共通性培养要求”。这充分体现了基于数学学科教学的同时培育数学学科领域核心素养与一般领域核心素养的时代诉求。至此，课标中数学基本活动经验完成了从学科领域内部转向数学、一般领域兼顾的演进。

二、数学基本活动经验的研究回顾

“数学基本活动经验”作为在我国基础教育数学课程改革进程中不断发展的重要概念，在学术共同体的持续努力下正经历着“认识—实践—再认识—再实践”的辩证发展过程。也正因其具有重要的教育意义与充足的发展空间，已有的研究呈现出较为特别的现象：关于数学基本活动经验的基本特征、教育价值与积累策略，不同专家学者所持观点基本能达成共识，但关于数学基本活动经验的概念内涵与类型划分等基本问题却众说纷纭。[6]

(一)数学基本活动经验的概念内涵

虽然“数学基本活动经验”作为“四基”之一，是基础教育数学课程目标的重要概念，但作为纲领性文件的课标一直未对数学基本活动经验进行明确界定。11课标解读与17课标解读都认为：“数学基本活动经验是学习主体(学生)通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。”这样的解读强调了数学基本活动经验的个性特征，也为数学基本活动经验的概念内涵研究提供了较大的空间。诸多研究从不同角度对数学基本活动经验进行了界定，主要包括“知识说”“认识说”“思维模式说”“组合体说”“有效信息说”等代表性观点。

“知识说”将数学基本活动经验划归于知识范畴。如有学者将其定性为主观性数学知识——“数学活动经验属于学生的主观性数学知识的范畴，它形成于学生的自我数学活动过程之中，伴随着学生的数学学习而发展，反映了学生对数学的真实理解。”[7]也有学者将其定性为缄默知识——“数学活动经验是学生在经历数学活动的过程中获得的对于数学的体验和认知的模式，它是一种缄默知识。”[8]“知识说”显然受到01课标对数学活动经验知识定位的影响。值得注意的是，尽管如此，在当时持“知识说”的学者也强调数学活动经验并非完全隶属于知识范畴，如黄翔和童莉指出，虽然数学活动经验是在01课标的“知识与技能”目标中提出的，但在其他三个目标“数学思考”“解决问题”“情感与态度”中也有涉及。[9]武江红也认为数学活动经验“包含了对数学的情感、态度、价值观以及对数学美的体验，也包含了渗透于活动行为的数学思考、数学意识、数学观念、数学精神等，还包含处理数学对象的成功思维方式，以及思考抽象概念的思维方式等”[10]。这些观点实质上已体现出“组合体说”“思维模式说”的思想。而随着11课标赋予数学基本活动经验以独立于知识之外的地位，11课标解读与17课标解读相继对“数学基础知识”的范围进行阐述，我国数学基础教育领域中关于“知识”表征及理解的差异性问题也逐渐得以解决。在这样的背景下，有学者将数学基本活动经验定位为“过程性知识”。[11]

“认识说”突出强调了数学基本活动经验的感性成分。如有学者认为“个体的数学活动经验是对以往数学活动经历在认知方面的感性概括(自觉或不自觉)”[12]。又如，“在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考查和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识”[13]。

“思维模式说”认为数学基本活动经验是经历数学基本活动后积淀形成的数学思维模式。郭玉峰和史宁中从数学基本活动经验提出初衷的角度和立场，他们认为数学基本活动经验是“感悟了归纳推理和演绎推理过程后积淀形成的数学思维模式。就中小学生而言，这种数学思维模式主要表现为从特例入手、尝试性探索和归纳猜想一般规律或结论”。[14][15]

“组合体说”认为数学基本活动经验是由多种成分构成的组合体。例如：“学生数学活动经验可以理解为学生从经历的数学活动过程中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验。”[16]“数学活动经验分为静态和动态两个层面。从静态上看，数学活动经验是知识，是学生经过数学学习后的对整个数学活动过程产生的认识，包括体验、感悟和经验等。从动态上看，数学活动经验是过程，是经历。”[17]“数学活动经验是指学习主体在数学活动过程中通过感知觉、操作及反思获得的具有个性特征的表象性内容、策略性内容、情感性内容以及未经社会协商的个人知识等。”[18]

“有效信息说”基于心理学视角的分析，认为数学活动经验是个体在数学活动中经过心智操作和心力操作过程后储存于长时记忆系统中具有意义和价值的数学信息。而数学信息则是包括数学知识与技能、数学思想与观念、数学思维、问题解决策略与方法、数学意识(包括数学应用意识、探究意识、创新意识、审美意识、交流意识等)、对数学的态度和情绪体验等成分的组合体。[19]

以上五种代表性观点基于不同视角对数学(基本)活动经验的概念内涵进行了界定，均有其合理性因素和一定的启发性，对深化数学基本活动经验的认识起到了重要作用，也极大地推动了我国数学基本活动经验研究的发展。但由于数学基本活动经验概念复杂，从整体上来看，还存在一定的不足；主要表现在窄化倾向与泛化倾向两个方面。数学基本活动经验的内涵十分丰富与复杂，大体上包含认知类经验与非认知类经验，仅强调某一类经验显然窄化了其内涵。但也要防止将数学基本活动经验定义为学习主体从所经历的数学活动中所获得的全部内容的泛化倾向。这两种倾向不但会使数学教学实践很难形成较为一致的认识，导致数学基本活动经验目标难以落实；而且也有碍数学教育学科话语体系的建立。

(二)数学基本活动经验的类型划分

不同专家对“数学基本活动经验”的类型从不同视域进行了划分。有学者根据主体从事数学活动的不同形式，认为数学基本活动经验大体上存在直接数学活动经验、间接数学活动经验、专门设计的数学活动经验、意境联结性数学活动经验四种类型。[20]也有学者按照布鲁姆教育目标分类理论将数学活动经验分为认知性数学活动经验、情感体验性数学活动经验与动作技能性数学活动经验。[21]这两种类型划分处于宏观层次，思虑周全但操作性不强。此外也有学者基于数学基本活动的特点与数学基本活动经验的积累途径，将数学基本活动经验进一步细化，认为它包括基本的数学操作经验，基本的数学思维活动经验(归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，几何推理的经验等)，发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验。[22]这一观点将数学基本活动经验细化至较为微观的定义，具有较强的操作性，但却缺乏完备性。

有学者基于对“数学基本活动”的分析，对数学基本活动经验进行了归类。例如，吴增生认为数学活动是个体的认知操作，借助解释人类认知过程工作机理的ACT-R认知模型对数学活动进行分析，认为数学基本活动大致包括数学感知活动、数学表征活动(包括数学建模活动)、数学抽象概括活动、数学推理计算活动、数学记忆活动、数学元认知活动、(口头)表达与(动手)操作活动七类，数学基本活动经验也包括相应的七种类型。[23]王新民等通过对数学活动的层次进行分析，提出数学学习中的基本数学活动是演绎活动与归纳活动，因而数学基本活动经验即为演绎活动经验与归纳活动经验。[24]这两种分类方式均强调了数学基本活动经验中“基本”的要素意蕴，其分析建立在对“基本”的“核心要素”定位之上，在有效解决完备性问题的同时也具有较强的操作性。

郭玉峰和史宁中首先基于数学活动的性质，从宏观上将数学基本活动经验分为实践活动经验与思维活动经验两类，从数学基本活动过程的角度将数学思维活动经验概括划分为观察、归纳猜想、表达、验证或证明四个方面，并对这一维度划分进行了实证验证。[25]这一维度划分同样体现了要素思想，主要针对数学基本活动经验中“思维活动的经验”要素进行了中观层面的讨论，同时兼顾了完备性与操作性，为数学基本活动经验的相关实证研究提供了重要参考。

(三)数学基本活动经验的基本特征

已有的关于数学基本活动经验基本特征的研究，依据对数学基本活动经验内涵的不同理解，各有侧重，基于不同视角强调了其不同特点。其中代表性观点有：黄翔和童莉认为数学基本活动经验具有主体性、实践性、发展性、多样性等特征[26]；武江红认为数学基本活动经验的特征包括个体性、实践性、社会性、迁移性[27]；王新民认为数学基本活动经验具有问题性、过程性、思维性、联系性等基本特征[28]；马文杰和鲍建生从情境认知、个体建构与社会互动等视角将个体在数学活动中获得的数学基本活动经验的基本特征概括为个体性、情境性、内隐性、过程性、动态性、客观性、综合性、社会性八个方面[29]。

在深入分析上述特征及含义的基础上可知，当前学界对数学基本活动经验基本特征大致达成以下共识。其一，数学基本活动经验的积累离不开学习主体的数学活动实践，即实践性。其二，不同学习主体的数学活动实践不可能完全相同(即便经历的是同样的数学活动)，因而所积累的数学基本活动经验也不同，这体现了学习主体的个性特征，即主体性(或称个体性)。其三，学习主体数学基本活动经验的积累是一个不断进行中的动态发展过程，即发展性(或称过程性、动态性)。其四，数学基本活动经验是包含认知成分与非认知成分在内的综合体，即综合性。其五，数学基本活动经验更多以内隐形式体现(尤其与基础知识、基本技能相比)，即内隐性。其六，学习主体在前后不同阶段所积累的数学基本活动经验会相互影响，新旧经验不断相互作用、改造或重组，使主体的数学基本活动经验不断发展完善，这种特征被杜威称之为“连续性”。

数学基本活动经验的社会性特征，或可从杜威的论述中找寻依据，“社会生活不仅和沟通完全相同，而且一切沟通(因而也就是一切真正的社会生活)都具有教育性。当一个沟通的接受者，就获得扩大的和改变的经验……传递的人也不是不受影响……要沟通经验，必须形成经验；要形成经验，就要身处经验之外，像另一个人那样来看这个经验，考虑和另一个人的生活有什么联系点，以便把经验搞成这样的形式，使他能理解经验的意义”。[30]数学基本活动经验显然也会在课堂讨论、交流等社会生活的交互作用下得到扩大或改变，即社会性。

以上关于数学基本活动经验的基本特征讨论已较为全面，但在核心素养时代，数学基本活动经验的另一重要特征——可迁移性，仍需重点强调。毫无疑问，数学基本活动经验是基于数学基本活动所积累的经验。但它并不局限于数学情境，具有在一般情境下发挥重要作用的可迁移性特征。从数学角度进行思考的经验固然是数学基本活动经验的重要表现形式之一，问题解决经验、批判性思维经验、创新性思维经验等跨学科边界的通用经验更是其深层体现。

(四)数学基本活动经验的教育价值

已有研究对数学基本活动经验教育价值的讨论，在横向上体现为认知与非认知两个层面，在纵向上体现为数学学科内部与超越数学学科两个层次(如表1所示)。

表1 数学基本活动经验教育价值的双向划分框架

数学基本活动经验对于学生认知能力的培养作用，在数学学科内部层次上主要体现为数学活动经验可以帮助学生建立自己的数学学习直觉，能够让学生在活动中从数学的角度思考问题，直观地、合情地获得一些结果，形成学科的思维方式和学科的思维习惯。

数学基本活动经验对于学生认知能力的培养作用，在超越数学学科层次上主要体现为积累发现问题、提出问题的经验，以及分析问题、解决问题的经验；培养学生的创新能力，提升他们的智慧和创造力。

数学基本活动经验对于学生非认知能力的培养作用，在数学学科内部层次上主要体现为让学生获得具有个性特征的感性认识、情感体验，促进学生主动建构数学知识的意义、认识数学的价值，培养个人兴趣。

数学基本活动经验对于学生非认知能力的培养作用，在超越数学学科层次上主要体现为基本活动经验可以强化动机、情感、态度与价值观, 而有些学科的基本活动经验有助于净化心灵、完善人格。

当前世界范围内的基础教育都已进入核心素养时代，如何更好地培养学生的跨学科素养是基础教育课程改革的时代要求与逻辑旨归。在这样的背景下，数学基本活动经验超越学科的教育价值，如在培养批判性思维、创新性思维、规则意识、理性精神等方面的作用，亟待学界进行更为深入的学理分析。

(五)数学基本活动经验的积累策略

已有的研究以数学基本活动经验的产生、发展条件为出发点，主要从学校课程与教学的角度对数学基本活动经验的积累策略进行了不同层面的探讨。除在较为宏观的层面上探讨基于数学基本活动经验积累的教学策略外，研究者们还在较为微观的层面上开展了基于数学基本活动经验积累的教科书实施、教学设计、日常课例、数学解题等研究。这些研究基于不同视角展开，但大体上对数学基本活动经验的积累达成了以下共识。其一，引导学习主体亲身经历数学活动。这是学习主体积累数学基本活动经验的首要条件，需要激发并维持学习主体全过程、全方位、全身心参与数学活动的动机与兴趣。其二，引导学习主体及时进行自我总结与反思。自我总结与反思是学习主体比较、整合新旧经验，使当前经验系统化、条理化的关键环节，能够提升数学基本活动经验的积累效率。其三，引导学习主体进行讨论、交流等具有交互性的社会化活动。数学基本活动经验的社会性决定了讨论、交流对于其重组、拓展、优化的重要意义。

我国当前数学基本活动经验积累策略研究，或基于理论分析，或基于实践经验，均有其可取之处。但从整体上来看，还存在两点不足。其一，大部分数学基本活动经验积累策略还停留在“提出”层面，其实际效果如何，仍需通过实证研究进行检验。其二，受理论研究滞后的影响，当前数学基本活动经验积累策略的研究视野局限于学校教育，而数学基本活动经验的特性表明其积累很可能会受到学生早期家庭数学教育、社区数学文化氛围等家庭、社会因素潜移默化的影响，数学基本活动经验积累策略的研究视域尚待拓展。

三、数学基本活动经验研究的未来展望

我国数学基本活动经验研究历经学术共同体多年探索和努力，在理论层面和实践层面均已获得长足的进步和发展。为了更好地落实数学基本活动经验的教学与评价，研究者提出数学基本活动经验研究分析框架(如图1所示)。数学基本活动经验研究主要有三个领域。第一，以数学基本活动经验的影响因素为研究对象，数学基本活动经验的积累策略研究即属该领域。第二，以数学基本活动经验自身为研究对象，如数学基本活动经验的概念内涵、类型划分、基本特征等研究均属该领域。第三，以受数学基本活动经验影响的因素为研究对象，数学基本活动经验的教育价值研究即属该领域。

图1 数学基本活动经验研究分析框架

数学基本活动经验未来可从以下三方面开展深入研究。

(一)数学基本活动经验研究分析框架的中间变量方面

进一步厘清数学基本活动经验概念，构建数学基本活动经验的操作性定义，基于多种方法开展数学基本活动经验的结果性与过程性评价。数学基本活动经验在数学课程与教学理论建设、数学课程与教学实践中具有重要的地位，但相对于数学基础知识、基本技能而言，数学基本活动经验的理论内涵更难把握，因而目前学界对这一概念的认识还不一致。数学基本活动经验概念内涵的不同认知会造成数学基础教育实践混乱，导致数学基本活动经验的课程目标难以有效落实。因此，在已有研究基础上进一步厘清数学基本活动经验的概念，仍然具有重要的理论意义和实践价值。

明确数学基本活动经验的内涵与外延，或可从以下两个方面进行思考。其一，数学基本活动经验中“经验”的内涵。其二，数学基本活动经验中“基本”的指称范围。

数学基本活动经验作为基础教育阶段数学课程目标中的核心概念，必然关系到教学、评价等问题。这就要求我们不但要明确数学基本活动经验的内涵与外延，更要构建其操作性定义。已有的数学基本活动经验的类型划分研究表明，基于要素思想对数学基本活动经验的要素进行维度划分和实证研究是切实可行的。但在数学基本活动经验具体包含哪些要素、可分为哪些维度等方面仍有分歧，有关数学基本活动经验不同学段具体差异的讨论仍需深入。

未来需在已有研究的基础上，构建能够满足不同学段实际要求的数学基本活动经验操作性定义，为有效落实数学基本活动经验教学与评价、开展相关实证研究奠定基础。

已有研究者对初中学生数学基本活动经验开展了量化研究[31]，为数学基本活动经验在认知经验层面的结果性评价提供了有益借鉴，但数学基本活动经验作为结果性要求与过程性要求并重的基础教育数学课程目标，需要从结果性与过程性两个角度开展评价，评价内容也应包括其非认知向度。而在直接观察法和访谈法之外，口语报告法、经验取样法等也已被证实能够为数学思维、情感活动的过程性评价提供重要支持。[32]未来可基于多种方法探索数学基本活动经验的过程性评价，兼顾结果性与过程性评价，确保将结果性要求与过程性要求落在实处。

(二)数学基本活动经验研究分析框架的自变量方面

未来可基于新的理论视角与技术手段，实现数学基本活动经验积累策略研究的纵向深化与横向拓展。受数学基本活动经验概念内涵、测量评价研究滞后的影响，已有的数学基本活动经验积累策略研究，大多只停留在经验层面，缺乏有效的理论指导与实证支撑。未来需要基于科学的评价方法和具有良好信效度的数学基本活动经验评价工具，检验已有教学策略的有效性与适用性。与此同时，随着教育理论与技术的不断发展，涌现出以数学具身教学理论等为代表的新视角和以增强现实、虚拟现实等为代表的新兴技术手段。[33]它们对于指导、支持数学基本活动的开展具有重要价值，为数学基本活动经验积累提供了新的可能进路。未来可通过进行设计研究、循证研究等方式，基于理论认识与实践检验的良性互动，不断完善、发展已有教学策略，酝酿、提出新的教学策略。数学基本活动经验具有发展性、连续性、社会性等特征，考查非正式数学教育(如场馆数学教育)对于数学基本活动经验积累的影响具有重要意义。未来需要进一步实现研究视域的横向拓展，基于心理学、社会学分析，从学校教育、家庭教育、社会教育的更广阔视角探讨数学基本活动经验的积累策略。

(三)数学基本活动经验研究分析框架的因变量方面

研究者可对数学基本活动经验超越学科的教育价值进行深入学理分析，为提升数学学科育人质量的研究与实践奠定理论基础。数学基本活动经验基于数学情境但并不限于数学情境的可迁移性特征，确保其不但具备学科教育价值，更具备超越学科的教育价值。在核心素养时代，数学基本活动经验将成为数学课堂教学有效发展学生核心素养、落实立德树人根本任务的重要载体。未来需要进一步深化对数学基本活动经验可迁移性特征的认识，对数学基本活动经验超越学科的教育价值，如在认知层面具有培养学习者批判性思维、创新性思维、理性精神的作用，在非认知两个层面具有培养学习者学习动机、兴趣、态度、情感、信念、自我效能感的作用等，进行更为深入的学理分析。为融通数学学科核心素养与学生发展核心素养、提升数学学科育人质量的研究与实践奠定理论基础。