“二次函数”的教学新设计

广东实验中学(528306) 林佳佳

广东省佛山市顺德区龙山初级中学(528319) 苏国胜

为了大力推进“科研强师”工程, 加快优秀青年教师成长,助推“教坛新秀”和“骨干教师”的培养,提升佛山市顺德区龙江镇青年教师的课堂教学能力和水平,造就一批青年骨干教师,推动龙江教育高质量发展,龙江镇教育办和华南师范大学粤港澳大湾区教师教育学院等合作单位联合开展义务教育阶段青年教师科研强师专题暨大湾区“同一课堂”活动.本课例于2021年11月25日在顺德区龙江外国语学校面向全区初中教师开展了公开示范课, 并进行了网络直播.此次活动达到了示范教学、反思研讨、达成共识、掌握标准的目的,深受一线教师的好评.以下是活动结束后我们反思研讨、推陈出新的教学设计.欢迎大家批评指正.

1 教材分析

二次函数这一节选自北师大版九年级下册第二章第一节.二次函数是在学生已经学习了函数的定义、一次函数、反比例函数和三角函数的基础上学习的另外一类重要的函数,且学生在前期已经学习了一元二次方程;而二次函数概念的学习,让学生从实际问题中提炼出二次函数关系式,感受二次函数的数学模型,也是后续学习二次函数应用的基础,所以本节课在整个知识体系中起着承上启下的重要作用.二次函数是非常基本的初等函数,对二次函数的研究将对学生进一步学习函数,进而体会函数的思想奠定基础,也是继续学习解析几何的重要内容,为以后高中研究各种曲线打好坚实的基础.

2 学情分析

(1)龙江外国语学校中上层次的学生.

(2)认知基础

①已掌握一次函数、反比例函数的概念和性质;

②会分析、识别、写出简单的二次函数模型问题中的自变量和因变量之间的关系式.

(3)认知困难

①二次函数概念的理解容易忽视二次项系数必须非零的条件;

②函数概念中变量表示的多样性;

③含参数问题的二次函数概念理解,与一次函数、反比例函数的概念容易混淆.

3 教学目标

(1)知识与技能

①掌握二次函数的概念;

②进一步理解函数概念中变量表示的多样性;

③会从实际问题中列出二次函数数学模型.

(2)过程与方法

①经历二次函数概念的提出过程,学习由特殊到一般的数学思想.

②经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系以及解决实际问题的过程,学习描述变量之间关系的方法和模型思想.

③通过4 个追问的过程,强化数学思维的严谨性,通过教学环节2、3、4、5 培养代数眼光.

(3)情感态度价值观

①感受二次函数模型的概括性和统一性.

②强化数学信念: 追求简单化是数学的灵魂!

③感受数学的魅力,相信数学是来源于生活又服务于生活的!

4 教学重点、难点突破

教学重点: (1)从不同的问题情境中概括出二次函数的概念;(2)二次函数的基本应用.

难点突破: (1)通过4 个追问以及小节中的问题3 来突破难点1 和难点2;(2)通过例1 例2 及其练习,对比一次函数、反比函数和二次函数概念的特征,从而突破含参数问题的二次函数概念的理解问题.

5 教学方法与教学手段

教学方法

本节课是数学概念课,采用“情境引入——概括概念——巩固新知——课堂小结”的教学模式.从实际问题入手,创设丰富的实际问题情境,使学生理解二次函数的概念,能够用二次函数表示实际问题,从而更好地理解二次函数概念和建立起二次函数模型.

教学手段板书、PPT.

6 教学过程

教学流程

(1)温故知新(约3 分钟)

问题1关于函数,您知道多少?

教师引导学生回忆函数的概念: 在某个变化过程中,有两个变量x 和y,每给定一个x 的值,都有惟一的y 值与它对应,我们把y 叫做x 的函数.其中是x 自变量,y 是因变量.

设计意图通过复习函数、一次函数和反比例函数概念,为学习二次函数概念做认知上的准备.

(2)情景引入,探究新知(约8 分钟)

情境1已知正方体的边长为a,写出正方体的表面积s与a 的关系式:____.

情境2龙江某家具企业今年一月份的利润为10 万元,预计利润的月平均增长率为x.设二月份的利润为y 万元,则y =____.设三月份的利润为z 万元,z =____.

情境3两个数的和为20,设其中一个数为t,两数之积为h,写出h 与t 的关系式:____.

问题2上述变量间的关系是函数吗? 你能把他们分类吗?

问题3观察函数: s = 6a2; y = 10x + 10; z =10x2+ 20x + 10; h = -t2+ 20t, 它们有什么共同特征?(强调函数的定义与自变量和因变量的字母表示无关)

问题4你能类比一次函数的概念,尝试给二次函数下定义吗?

归纳出二次函数的定义: 一般地,若两个变量x,y 的对应关系可以表示成____的形式, 则称y 是x 的____函数.其中,a 是____次项的系数,b 是____次项的系数,c 是____项.

设计意图通过三个不同的问题情境,概括出二次函数的概念.体验如何用数学的方法描述变量之间的关系,领悟由特殊到一般的数学思想方法.

(3)辨析新知,深化新知(约4 分钟)

一般地,形如y = ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)的函数叫做y 关于x 的二次函数.

追问(1)为什么a0? (2)b = 0 或c = 0 可以吗? (3)自变量x 能取哪些值?

(4)结合上述3 个情境,请你说说二次函数自变量的取值范围是否都是任意实数?

强调(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x 的整式;(2)a,b,c 为常数,且a0;

(3)等式的右边自变量的最高次数为2;(4)函数是两个变量之间的对应关系,而变量的表达形式可以是多种多样的,可以是不同的字母.

设计意图通过4 个追问,深入理解二次函数的概念,尤其是变量字母表示的等价性,强化数学思维的严谨性,为概念的运用奠定基础.

(4)知识应用,巩固新知(约20 分钟)

例1(约4 分钟)下列函数中,哪些是关于x 的二次函数? 若是关于x 的二次函数,分别指出其二次项系数,一次项系数,常数项.

设计意图在解答(6)(8)(9)过程中,顺带问: 如果x 是常数,那么哪些是关于m 的二次函数? 以此突出本节课的重点: 深刻理解二次函数的概念,并理解函数概念中变量表示的多样性.

例2(约5 分钟)y =(m+3)xm2-7.

(1)m 取什么值时,此函数是关于x 的一次函数?

(2)m 取什么值时,此函数是关于x 的反比例函数?

(3)m 取什么值时,此函数是关于x 的二次函数?

练习(约3 分钟)已知函数y = (m2+2m)x2+mx+m+1.

(1)当m 为何值时,此函数是关于x 的一次函数? (2)当m 为何值时,此函数关于x 的二次函数?

设计意图通过例2 和练习,突破本节课的难点之一,含参数的二次函数的概念问题.学生通过本例题,深入理解二次函数概念,更好地达成理解二次函数的概念的知识与技能目标.

例3(约3 分钟)(课本第31 页练习2)圆的半径是1cm,假设半径增加rcm 时,圆的面积增加了scm2.

(1)写出s 与r 之间的关系式;

(2)当圆的r 分别增加1cm,2cm 时,圆的面积各增加多少?

(3)当s=24πcm2,求r.

练习(约5 分钟,课本31 页第3 题)

1.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.

(1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要油漆的表面积s(m2)如何表示?

(2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5 元,油漆每个长方体所需费用c(元)表示,那么c 的表达式是什么?

2.尝试举出一个生活中二次函数的例子.

设计意图 解释面积增量这个二次函数模型的概括性:以一个简单的模型就可以描述、掌控无穷无尽的面积变化!强化数学信念: 追求简单化是数学的灵魂! 相信数学是来源于生活又服务于生活的!

(5)课堂小结和布置作业(约5 分钟)

课堂小结

1.提出3 个问题:

(1)二次函数的模型是什么? y =____;

(2)理解这一数学模型要注意什么?____;

(3)在某个变化过程中, 有两个变量t, z, 每给定一个t值,都有惟一的z 值与它对应,我们把____叫做____的函数.其中____是自变量,____是因变量.

函数是两个变量之间的对应关系,而这两个变量用什么字母表示都可以.关键是由哪个变量来确定另一个变量.

2.本节课我们从几个具体的例子出发,由特殊到一般概括出了二次函数的概念,体现了从特殊到一般的数学思想方法;

3.例3 及其练习表明,现实世界中的许多问题是可以通过数学模型来描述并求解的.这种建立数学模型来求解问题的思想叫做数学建模思想.

4.这节课,我们一共学习了几个二次函数? (呈现所有的具体例子)

通过明确每一个例子中的,,是多少,以及三个系数取值的无限性来强化二次函数模型的概括性和统一性.

5.我好喜欢二次函数模型!

理由之一: 那么多无穷无尽的二次函数,居然被这个模型全部统一起来,了不起的、威力无比的二次函数模型!

理由之二: 有了这个模型,我们可以通过建立二次函数模型来解决自然界和人类社会中无穷无尽的问题,为人类创造财富!

理由之三: 一旦研究清楚这个函数的性质,我们就可以搞定所有的二次函数的性质,实现了以一个有限的模式驾驭无穷的具体! 好一个化繁为简的二次函数模型! !

同学们,让我们一起共同期待下一次课的到来! 下课!

设计意图把书读薄,画龙点睛,强化教学目标的达成.

课后作业

A 组(基础问题共5 题，具体略)

B 组(拓展题目共2 题，其中第7 题是能力提升题)

7.(能力提高)如图(单位:米),等腰直角三角形ABC 以2 米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合.设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为y.

(1)写出y 与x 的关系式;(2)当x = 2,3.5 秒时,y 分别是多少?

(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?

(4) 请你自己改变题目条件, 例如如果把“直线AB 与CD 重合”去掉,求y 与x 的关系式.

设计意图设计以上作业的目的是巩固本节课的重点和难点,为了达成本节课的知识与技能目标;同时设计一些不同背景的实际问题,让学生体会到数学的实际应用价值和数学的简洁之美: 学好一个数学模型竟然可以解决千千万万动态的问题! 第7 个题目(4)的设计,是为了发散学生的思维能力,让学生学会自己编题,拓展学生的数学应用能力.

教学设计反思

1.数学三维目标落后了吗?

高中的六条数学核心素养只是一些宏观的数学关键能力,它们不是操作性定义,不能机械地直接套用作为中小学一节数学课的教学设计的框架,备课时仅作宏观参考.

中小学数学课应该以体现数学素养三个层次的知识与技能、过程与方法、情感态度价值观这一框架的操作性定义进行教学设计[1]:

知识与技能知道什么,理解什么,会做什么;

过程与方法数学的思想、眼光、能力(包括高中的六条数学核心素养以及义务教育课程标准中的部分关键词的操作性定义,数学学习能力等)、思维品质、问题解决和数学活动经验;

情感态度价值观数学信念、数学兴趣、数学具体内容的喜好感受.

本节课为以上追求数学素养达成的数学教学设计的标准做出了实践探索,起到了明确标准,示范引领,达成共识的培训作用.

2.为“数学眼光”这一数学核心素养的落实培养做出了创新设计

代数眼光即:“要学会以数的眼光看待代数字母和代数式.对于代数字母a, 一要会‘看死a’: 把a 理解为一个确定的数值,a 就是一个具体的数,‘小鲜数’,不要在心理再问a =? ; 二要会‘看活a’: 看活a, 它就是一个变数、变量, 可大,可小,可正,可负;三要跳出代数看a,理解它在四种空间中的几何意义: a 是某一点的坐标, 某一线段的长度, 某一图形的面积,某一几何体的体积,这些度量的正负是有意义的,表明了对象所处的方位;四要看破代数字母之间的等价性: 表示数的所有字母的变与不变的双重性质都是一样的,a ≡b ≡c ≡··· ≡x ≡y ≡z.不要总是默认a、b、c 是常数,x、y、z 是未知数、是变量,x 是自变量、y 是因变量[2].”

关于函数概念,几十年来,我们已经习惯于教科书、练习册、考试卷默认x 是自变量、y 是因变量.其实,函数概念与用什么字母表达两个变量毫无关系,这是函数概念理解的难点.为突破这一难点,我们多管齐下,通过环节2 中的情境1、2、3 与问题2、3、4,环节3 的思辨,环节4 中的例1、例3、课堂练习,环节5 中问题(3)和课后作业中的相应问题,来解决这一教学难题,突破难点的效果明显.

3.“双减”背景下的分层作业设计

“双减”背景要求教师提高课堂的质量,减少学生的课后负担.基于“双减”的背景,本节课针对重点和难点给学生设置了分层作业,A 组作业为了巩固本节课的重点知识——二次函数的概念和突破本节课的难点——含参数的二次函数概念问题和实际应用问题.设置B 组作业是提供给学有余力的同学,特别是最后一题最后一问,要求学生自己改编题目,培养学生的发散思维能力,符合“双减”对作业的要求.

致谢: 感谢华南师范大学何小亚教授的建设性意见.多谢佛山市教育局教研室和佛山市顺德区龙江外国语学校数学科组为此次全市公开课提供的一切帮助!