小学数学教材“多思喜悟”的四个端口

□何绪铜

“多思喜悟”是一种心理活动，也是一种教学思想，更是一种教学智慧和策略。学习需要感悟，知识是悟出来的，“多思喜悟”是课堂教学的灵魂。作为引领学生“多思喜悟”的教师，首先就要对数学教材进行“多思喜悟”。下面从“多思喜悟”谈谈解读数学教材的四个端口。

一、“悟”数学本质，找到核心端口

数学本质包括数学概念、数学方法的本质和数学现象的本质。这是认识数学的核心，需要教师课前用心悟。教师只有“悟出、悟通、悟透”这些本质的东西，课堂教学才知道该“教什么”，这比“怎么教”更重要。

（一）“悟”数学概念的本质

小学数学中的概念，很多是描述性概念。概念的内涵与外延常常隐藏于其背后，有的还不需要给学生明示。作为教师，我们需要充分感悟，悟透概念的本质，把握学生认知与思维的过程，这样才能精准施教。

如“面积的认识”，小学数学教材是这样定义面积的：物体的表面或封闭图形的大小叫做面积。此定义仅仅是一个大体说明，是描述性的定义。“面积”概念的本质应该从六个方面去认识：①它是一个几何计量概念［1］；②它的基本属性是“数”［2］；③它满足面积公理，即有限可加性、运动不变性、正则性［3］；④面积的核心（乘积）是给指定区域一个恰当的数［4］；⑤面积是面积单位的累积，是测量得到的［5］；⑥用“线长×运动的距离”可计量运动形成的面积［6］。

教师对“面积的本质”的认识怎样呢？2020年12月，笔者在西部某县城4所示范小学近百名数学骨干教师中做了问卷调查，结果如下：（1）教师对“面积是一个数”认可度不高，仅占总数55.8%的教师认可，在大多数教师心中，面积依然是一个形。（2）对“面积需要测量得到”认识不到位，有71.4%的教师认可，有28.6%的教师心存疑惑，认为面积是算出来的，不是量出来的。（3）对面积的运动形成，二维度量认识不到位，有80.5%的教师认可，有19.5%的教师不认为“面积的大小可以用‘线长×运动的距离’”计算。

教师尚且如此，也难怪学生容易造成“面积概念的理解狭隘、周长与面积计算混淆、呆板机械套用公式”等现象。这说明教师必须深度感悟，准确把握隐藏在概念背后的本质。

（二）“悟”数学方法的本质

小学数学中很多解题思路和数学方法的背后，隐藏着本质的原理，从它们的外在表现很难发现。这就需要教师多问“为什么”，通过反复推敲、思考，悟出数学方法的本质。如“找次品”问题的教学［7］中，“找次品”的方法是3个物品分成3份，称1次找到次品；4～9个物品每次尽量均分成3份，称2次找到次品；10～27个物品每次尽量均分成3份，称3次找到次品；……这是为什么呢？按生活经验思考，平均分成2份，可以全部放到天平左右两边上称，一次就可以淘汰一半。而分成3份，一次只能在天平上称2份，为什么次数反而少了呢？通过剖析数学方法背后的本质原理，我们会发现：均分成2份，每次只能淘汰，均分成3份，天平上可以“称”2份，通过“称”的结果和“推理”一次可以判断3份，能淘汰，因为，所以次数反而少。而分成4份、5份……每一次淘汰掉的都没有多，所以分成3份是最佳方法。找到了数学方法的本质，学生就一通百通，这才是数学教学应有的追求。

小学数学中的很多数学方法，倒推其本质，你都会收获“原来如此”的惊喜。如“分油”问题的本质是一个形如“（）×大桶ɑ+（）×小桶b=目标c”的混合算式。小学数学里的所有加法（整数、小数、分数、时间、重量、长度、面积、体积、角度）的本质都是数量加法，即单位相同时，接着数数。教师一定要深层参悟，找到本质，实现课堂教学的“精教授妙点拔”。

二、“悟”数学本原，找到源头端口

数学知识的起点和源头就是数学的本原，它是数学的根本，它包括数学源头的基本概念、一般原理和原始方法。因为数学中的很多概念背后都有其上位概念；很多方法背后都有原始方法；很多原理背后都有一般原理。我们将之统称为数学的本原。教学前，教师一定要多思喜悟，一旦把握它们的本原，就找到了教学的锦囊。

如“高”是一个生活中的概念，也是一个数学概念。为什么我们要去研究三角形、平行四边形、梯形的高？要回答这个问题，我们需要去探讨“高”在这些图形的后继研究中的价值，主要体现在图形面积的计算中。图形面积计算的本原是用面积单位为标准去度量的，而被定为面积标准的图形是正方形，它是邻边互相垂直的二维图形。为方便测量，需要采用割补法，将其他被测图形通过运动不变性变成邻边互相垂直的长方形，这就需要用到高。所以说“高”是进一步研究图形的参数。

教师把握了“高”的本原，在进行“平行四边形面积”教学时，就能引导学生轻松突破“为什么平行四边形面积计算不能用两邻边相乘”的大疑惑。

在小学数学中，这样的本原还有很多。如“分数”的本原是数的原概念，其本质是“先分后数”，先“分”一个标准，再数“标准”被分成的“总份数”，接着是“比”，用“表示的份数”与“总份数”比，整个过程与整数一样，都是先定标准，再“数”所含标准的“个数”。又如“三角形三边关系”的本原是“两点间直线段的长度最短”；“三角形内角和”的本原是“平移和平角”，因为“平移三角形的一边正好构成一个平角”等。这些都需要教师悉心参悟，全面把握，灵活运用。

三、“悟”数学关联，找到连接端口

关联，指互相贯连。数学关联是数学知识间、数学观念间相互联系和相互依赖而形成一个连贯的整体［8］，它包括数学知识间的关联、数学与生活的关联。

（一）“悟”数学知识间的关联

数学是研究数量关系和空间形式的科学，其数量间、数量关系间、数与形间、形与形间，纵横联系，相互依赖，连贯成整体。我们应该多向思考，正逆互通，上下贯通，悟透其关联，引导学生感悟理解，形成对数学的整体性认识。

如计算图1中小正三角形的总数、小正方形的总数、小圆圈的总数，都可以用梯形的面积公式来求得：（1+7）×4÷2＝42。

图1

为什么可以用梯形的面积公式求图形的总数呢？可能有人会反驳，那不是用的梯形面积公式，而用的是等差数列求和公式。用来表征等差数列的图形就是梯形，图1中的三个图形可视为不标准的梯形。

梯形的面积就是所含面积单位的个数，放到图1的三个图中，分别是指所含小三角形、小正方形、小圆圈的个数。此一关联，一下就打通了等差数列、梯形面积、图形个数三者间的关系，使学生形成了对知识的整体性认知。

（二）“悟”数学与生活的关联

数学来源于生活，小学阶段的数学知识大多能在生活中找到原型。教师要感悟数学与生活的关联，让学生体会数学的价值，经历数学抽象的过程，会用数学的眼光观察现实世界。

生活离不开数学。如生活中水管是圆柱形的，热水瓶、油桶、水杯、水桶等是圆柱形的，自然界生长的植物茎杆（树干、玉米杆、稻谷杆、麦杆）是圆柱形的，农村的稻草树、牧草墩等也是圆柱形的，这是为什么呀？为什么人类与自然界都对圆柱“情有独钟”呢？原来，圆柱形可节省材料，在横截面面积一定的直柱体中，圆柱的侧面积最小，表面积也就最小；圆柱体的容积最大，在腰围（周长）一定直柱体中，圆柱的横截面最大，容积也就最大。教师把握了这个关联，学生会感叹：自然界万物也懂数学，植物居然是数学家，人们生活处处离不开数学。

同时，数学也离不开生活。曾有题目：小红外出旅游，连续5天，日期数之和正好是90，小红出游的日期是哪几天？学生解答，90÷5=18，分别是16、17、18、19、20日。从数学方法看，此解完美。但它忽略了生活现实，因为连续5天，除了在一个月的中间，还可能在一个月的末尾与下个月的交接处，这样一关联，你会发现：28、29、30、1、2这5天的日期和也是90。这就是关联的价值，教师需要把数学与生活正向、逆向、横向、纵向、斜向联起来参悟，不断地叩问，找到相互之间的联系。

四、“悟”数学的思想，找到应用端口

数学思想是数学科学发生、发展的根本，是研究数学所依赖的基础。数学思想是对数学知识的本质认识、理性感悟，它是有层次的，较高层次的基本思想有三个：抽象思想、推理思想、模型思想，由这三个基本思想演变、派生、发展出很多低层次的数学思想，如数形结合思想、符号化思想、随机思想等。王永春教授将之归结为如图2的关系图［9］：

图2

教师要透过数学的表面，悟出背后隐藏的数学思想。如人教版五下“打电话”问题，其所含的数学思想是“数形结合、推理、优化、模型”等，需要利用“画图、列表格”把繁杂的信息条理化、层次化、数据化，进而感悟和建立数列“模型”（n分钟后接到电话的总人数是2n，新增人数是2n-1），这个“观察思考，发现一般规律”过程是教学核心所在。

“打电话”问题属于综合实践活动，本质上是一种解决问题的活动，它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。这样的学习活动仅仅感悟出是什么思想还不够，还需要清楚这些数学思想的价值。像“打电话”问题，“数形结合”思想对学生建构数列模型并不利好。首先不容易画图，且非常容易画漏；其次线太多，线的长短不一，错综复杂；最后图画成后，学生往往容易混淆“新增的人数”与“已经通知的总人数”。学生在实践探索过程后，教师要引导学生将规律和方法内化为活动经验，并按照“模式”重复运用这种经验。如新冠肺炎，一个传代间隔内1个人感染1个人，变成2个感染者（1×2）；下一个传代间隔，就变成了4个感染者（2×2）；再往后，依次是2×2×2、2×2×2×2……即2n。

对数学思想的价值感悟，除了质疑它的优劣外，还需将它们归类，找到共性与个性。如“打电话”问题、“汉诺塔”问题及“找次品”问题有什么共同的地方？它们建立的数列模型还适合在哪些情况下使用等。通过感悟，找到它们的共性和个性，提高学生对知识的整体性把握和本原性认知。

总之，数学离不开多思喜悟，教师更是学生多思喜悟的领路人，这是深度教学的根本，更是高品质数学教育的需求。