某些可微函数类的N宽度

王家玮,吴嘎日迪

(内蒙古师范大学 数学科学学院,内蒙古呼和浩特 010022;内蒙古师范大学 应用数学中心,内蒙古呼和浩特 010022)

§1 引言

本文用M(u)和N(v)表示互余的N函数,关于N函数的定义及其性质见文献[1]中P1,由N函数M(u)生成的Orlicz空间[-π,π]是指具有有限的Orlicz范数

文中C表示常数,且在不同处可取不同的值.

设Wr[-π,π]表示[-π,π]上r次非周期可微函数类,f(r-1)绝对连续,且‖‖f(r)‖‖M ≤1.下面用Ls表示任一线性赋范空间,‖·‖表示该空间上的范数.WrL*M[-π,π]在Ls下的n维Kolmogorov宽度,线性宽度,Gelfand宽度分别定义为[2,P298]

其中Ln ⊂Ls为Ls的任一n维子空间,Ln是Ls的n余维子空间,A是Wr →Ln的任一线性有界算子.

Lp空间中非周期类WrLp内的函数可以分解为一个周期卷积函数加一个代数多项式的形式,若可解决相应的周期卷积函数类的宽度问题,那么非周期类的宽度问题也可得到解决,文献[2]研究了周期可微函数类

并得到以下两个结果.

定理A

定理B

定理中φn,r均表示sign(sinnx)的r阶周期积分,且满足在周期上的平均值为零.

文献[3]将上述结果推广到非周期函数类上.本文将进一步研究Orlicz空间中定义域为[-π,π] 的非周期函数类Wr在L1内Kolmogorov宽度的渐近精确估计及其渐近最优子空间,并进一步讨论Kolmogorov 宽度,线性宽度,Gelfand宽度的对偶形式.

下面引入Orlicz内的周期函数类

定义1.1X是一个Banach空间,其范数为‖·‖X,M⊂X是其中心对称集,FN ⊂X为X的子空间,dim(FN)≤N.称{FN}是M在X内关于Kolmogorov宽度的渐近最优子空间,如果

其中πr(x)是一个r次代数多项式.由此把非周期函数类WrL*M[-π,π]内的函数进行了分解.

§2 主要结果

定理2.1dn(Wr,L1)≈2r‖φn,r‖(N)(n →∞).

证首先证明对于周期函数类有

由文献[4]中定理1结合文献[5]的计算方法可得

为此,取2n-1维三角多项式子空间,由文献[2]中P64最佳逼近的对偶定理有

事实上,由文献[6]可知上式中最后一个等号成立.由此可得

式(1)得证.

接下来考虑非周期函数类Wr.令Pr表示r次代数多项式子空间,且

是L1[-π,π]内(2n-1)+r维子空间,任取f ∈WrL*M[-π,π],由非周期函数类内的函数分解式f=φ+πr,φ ∈HM与式(1)可得

任取一自然数N ＞r使N -r为奇数,由式(2)可知

定理2.1得证.

定理2.1证明了L(2n-1)+r可以作为非周期函数类Wr的一个渐近最优子空间,下面的定理将说明的渐近最优子空间之间有着密切的关系.

定义2.1取

则有如下定理.

定理2.2L(2n+1)+r是Wr在L1内的(2n+1)+r维渐近最优子空间,即

另一方面,若hr(t)满足补充条件

式(3)得证.

定理2.2证毕.

接下来考虑分别研究三种宽度的对偶形式.

定理2.3

证由文献[7]中结论结合文献[5]中的方法可证得

其中Li(x)表示基本样条,即Li(tk,r-1)=δi,k,(i,k=1,2,...,2n).

利用文献[7]能够证明可以找到一个函数Fn,r(x)使

定义2.2Qn表示以2π为周期的函数类,且满足对∀f(x)∈Qn,存在点x0＜x1＜...＜xN=x0+2π,1≤N ≤2n.满足对每一个区间[xi-1,xi]上f(x)=εi,εi=±1.

令f(x)∈Qn,且在区间[0,2π]上的平均值为0,令fr(x)为函数f(x)的r阶周期积分,由文献[4]的推论3可得

对中任意不包含常数的子空间L2n,由文献[4],存在一个函数F(x)∈L2n满足F(r)(x)∈Qn.于是

因此

定理2.3证毕.