n-强Gorenstein弱内射模和弱平坦模

宋彦辉, 郭 婷, 赵海军

(兰州信息科技学院 通识教育学院, 甘肃 兰州 730300)

1 序言及预备知识

20世纪90年代,文献[1-2]推广了经典的内射模和平坦模,引入Gorenstein内射模和平坦模,并讨论了相关的同调性质.随后,众多学者对Gorenstein内射和平坦模及其维数进行了深入的研究和推广[3-6].其中,文献[6]中推广了Gorenstein内射和平坦模,引入了弱Gorenstein内射和平坦模,并通过该模对n-FC环进行了刻画.近年来,文献[7-9]引入并研究了n-强Gorenstein投射、内射和平坦模,并给出了该模的许多性质.2015年,文献[10]对内射模和平坦模进行了推广,引入弱内射模和弱平坦模,研究相关性质,证明了模M是弱内射模当且仅当M+是弱平坦的,并给出了模的弱内射维数和弱平坦维数的等价刻画.2020年,文献[11]推广了弱内射模和弱平坦模的概念,引入并研究了Gorenstein弱内射和弱平坦模,给出了相关的性质和等价刻画.特别地,讨论了模的弱余合冲与Gorenstein弱余合冲之间的关系.

受以上工作的启发,引入n-强Gorenstein弱内射模和弱平坦模,给出其等价刻画,并证明n-强Gorenstein弱内射模的特征模是n-强Gorenstein弱平坦模,n-强Gorenstein弱平坦模的特征模是n-强Gorenstein弱内射模.

本文中R表示具有单位元的结合环,所有涉及的模均是酉模,所有R-模均指左R-模,右R-模可视为反环R∘上的模.未解释的标记、事实和概念见参考文献[12-14].下面回顾一些基本概念.

定义 1.2[10]设M是R-模.若对任意超有限表现R-模L,都有则称M是弱内射模.类似地,若对任意超有限表现R∘-模L,都有则称F是弱平坦模.显然内射(平坦)模是弱内射(弱平坦)的.将弱内射(弱平坦)R-模的类简记为WI(R)(WF(R)).

定义 1.3[11]设M是R-模.称M是Gorenstein弱内射模,若存在一个弱内射R-模的正合列

使得M≅Coker(E0→E1),并且对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,HomR(L,E)是正合的.称M是Gorenstein弱平坦模.若存在一个弱平坦R-模的正合列

使得M≅Coker(F0→F1),并且对任意投射维数有限的超有限表现R∘-模L,L⊗RF是正合的.显然每个(弱)内射模是Gorenstein弱内射的,每个(弱)平坦模是Gorenstein弱平坦的.

显然,内射模(平坦模)是强Gorenstein弱内射的(强Gorenstein弱平坦的),每个强Gorenstein弱内射模(强Gorenstein弱平坦模)是Gorenstein弱内射的(Gorenstein弱平坦的).

2 n-强Gorenstein弱内射模

引入并研究n-强Gorenstein弱内射模,并给出n-强Gorenstein弱内射模的一些等价刻画.

定义 2.1设n是正整数.称R-模M是n-强Gorenstein弱内射模,如果存在R-模的正合列

其中，对任意0≤i≤n-1,Ei是弱内射R-模,使得对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,函子HomR(L,-)保持序列η正合.

将n-强Gorenstein弱内射模的类简记为n-SGWI(R).显然,1-强Gorenstein弱内射模(弱内射模)是n-强Gorenstein弱内射的,且1-强Gorenstein弱内射模是强Gorenstein弱内射的.在正合列η中,对任意1≤i≤n,Imfi是n-强Gorenstein弱内射模.

命题 2.2设m和n是2个正整数,则以下成立:

1) 任意强Gorenstein弱内射R-模是n-强Gorenstein弱内射的;

2) 任意n-强Gorenstein弱内射R-模是Gorenstein弱内射的;

3) 若n|m,则每一个n-强Gorenstein弱内射模是m-强Gorenstein弱内射模.

2) 设M是n-强Gorenstein弱内射R-模,则存在正合列

其中每个Ei是弱内射R-模,且对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,HomR(L,η)正合.因此可得正合列使得函子HomR(L,-)保持此序列正合.故M是Gorenstein弱内射R-模.

3) 因为n|m,不妨设m=kn.设M是n-强Gorenstein弱内射R-模,则存在正合列

其中每个Ei是弱内射R-模,且对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,HomR(L,η)正合.将k个正合列η合并可得正合列

其中,每个Ei是弱内射R-模,且HomR(L,-)保持此序列正合.因此，M是m-强Gorenstein弱内射模.

推论 2.3设M是n-强Gorenstein弱内射R-模，则对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,及任意i≥1,有

证明由命题2.2和文献[11]的命题2.5可得.

命题 2.4对任意的n≥1,n-强Gorenstein弱内射R-模的类对直积封闭.

证明设{Mi}i∈I是一族n-强Gorenstein弱内射R-模,则对任意i∈I,存在正合列

ηi:0MiEin-1Ei

下面给出n-强Gorenstein弱内射模的等价刻画,其中也给出了利用n-强Gorenstein弱内射模构造1-强Gorenstein弱内射模的方法.我们先看以下引理.

引理 2.5设M是R-模.对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,若则对任意n≥1,有

定理 2.6设n是正整数.则以下等价:

1)M是n-强Gorenstein弱内射R-模;

证明1)⟹2) 设M是n-强Gorenstein弱内射R-模.则存在正合列

其中Ei是弱内射R-模,且对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,HomR(L,-)保持正合.因此,对任意1≤i≤n,有正合列

EImfi0.

将这些正合列叠加可得正合列

E0⊕…⊕En-2…,

其中,α=diag{α1,α2,…,αn},f=diag{fnf0,f1,…,fn-1}.注意到ImImfi,且Imfi是n强Gorenstein弱内射的.所以,对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,由推论2.3可得

Imfi)≅⊕ni=1Imfi)=0,

即有正合列

2)⟹3) 显然成立.

Ext1R(L,Imfi)，

故有正合列

1)⟹4) 由定义2.1和推论2.3可得.

因此,M是n-强Gorenstein弱内射R-模.

引理 2.7设m和n是正整数.若WI(R)关于满同态的核封闭,则以下成立:

1) 若n|m,则n-SGWI(R)∩m-SGWI(R)=n-SGWI(R);

2) 若m=kn+i,使得k>0且0

证明1) 由命题2.2可得.

2) 一方面,由命题2.2可知,m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)⊆m-SGWI(R)∩kn-SGWI(R)显然成立.另一方面,设M∈m-SGWI(R)∩kn-SGWI(R),则存在正合列

其中,Ei∈WI(R),使得对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,HomR(L,-)保持序列正合.令Hi=Ker(Ei→Ei-1),2≤i≤m.因为M∈kn-SGWI(R)且WI(R)对扩张封闭,从而由文献[14]推论8.6.4知,存在W1,W2∈WI(R),使得M⊕W1≅Hkn+1⊕W2.考虑拉回图(图1).

图1 拉回图

因为WI(R)对扩张封闭,且W1∈WI(R),所以X∈WI(R).又由于WI(R)关于满同态的核封闭,因此Y∈WI(R).将序列ε和图1第二个拉回图的第二行合并可得正合列

定理 2.8m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)=(m,n)-SGWI(R),其中(m,n)是m和n的最大公约数.

证明由命题2.2知,(m,n)-SGWI(R)⊆m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)显然成立.下证反过来的包含关系也成立.事实上,若m=nq0+r0,使得0

推论 2.9n-SGWI(R)∩(n+1)-SGWI(R)=1-SGWI(R).特别地,∩n≥2n-SGWI(R)=1-SGWI(R).

3 n-强Gorenstein弱平坦模

定义 3.1设n是正整数.称R-模M是n-强Gorenstein弱平坦模,如果存在R-模的正合列

F

其中,对任意0≤i≤n-1,Fi是弱平坦R-模,使得对任意投射维数有限的超有限表现R∘-模L,函子L⊗R-保持序列ε正合.

注意到,1-强Gorenstein弱平坦模(弱平坦模)是n-强Gorenstein弱平坦的,且1-强Gorenstein弱平坦模是强Gorenstein弱平坦的.在正合列ε中,对任意1≤i≤n,Imhi是n-强Gorenstein弱平坦模.类似于命题2.2的证明,可得到任意强Gorenstein弱平坦模是n-强Gorenstein弱平坦的,任意n-强Gorenstein弱平坦模是Gorenstein弱平坦的.

命题 3.2对任意的n≥1,n-强Gorenstein弱平坦R-模的类对直和与直积封闭.

证明由文献[10]命题2.3和定理2.13可知,弱平坦R-模的类对直和与直积封闭.再根据命题2.4类似的方法即可得证.

引理 3.3设M是n-强Gorenstein弱平坦R-模，则对任意投射维数有限的超有限表现R∘-模L,及任意i≥1,有

证明对i进行数学归纳.当i=1时,因为M是n-强Gorenstein弱平坦模,则存在正合列

其中对任意Fi是弱平坦R-模,使得对任意投射维数有限的超有限表现R∘-模L,函子L⊗R-保持正合.令K1=Imf1,则有正合列0L⊗RK1L⊗RF0L⊗RM0.考虑正合列

TorR1(L,F0)TorR1(L,M)L⊗RK1

L⊗RF0L⊗RM0.

因为F0是弱平坦模,所以因此0.假设i≥2,且结论对i-1成立.考虑正合列…注意到K1是n-强Gorenstein弱平坦模,由归纳假设知再由文献[10]命题3.1得因此,0.

引理 3.4设M是R-模.对任意投射维数有限的超有限表现R∘-模L,若则对任意n≥1,有

证明类似引理2.5的证明方法可得.

令R是环.根据文献[16]定义2.2,称R是左GWF-封闭环,如果Gorenstein弱平坦R-模的类关于扩张封闭.以下结论类似于定理2.6,给出了n-强Gorenstein弱平坦模的等价刻画,并给出在左GWF-封闭环上通过n-强Gorenstein弱平坦模构造1-强Gorenstein弱平坦模的方法.

定理 3.5设n是正整数.考虑以下条件:

1)M是n-强Gorenstein弱平坦R-模.

一般情况下,可得到4)⟺1)⟹2)⟹3).如果R是左GWF-封闭环,那么以上条件等价.

证明由文献[16]中定理2.1推论2.2可知,当R是左GWF-封闭环时,Gorenstein弱平坦R-的类投射可解且对直和项封闭.再运用定理2.6类似的证明方法即可得证.

命题 3.6设M是R-模.则以下结论成立:

1) 若M是n-强Gorenstein弱平坦R-模,则M+是n-强Gorenstein弱内射R∘-模;

2) 若M是n-强Gorenstein弱内射R-模,则M+是n-强Gorenstein弱平坦R∘-模;

3) 若M是n-强Gorenstein弱平坦R-模,则M++是n-强Gorenstein弱平坦R-模;

4) 若M是n-强Gorenstein弱内射R-模,则M++是n-强Gorenstein弱内射R-模.

证明1) 设M是n-强Gorenstein弱平坦R-模,由定理3.5可得存在正合列

其中Fi是弱平坦模,且对任意投射维数有限的超有限表现R∘-模L,考虑R∘-模的正合列其中是弱内射R∘-模[10,注记2.2].注意到再由定理3.5可得M+是n-强Gorenstein弱内射R∘-模.

2) 设M是n-强Gorenstein弱内射R-模,由定理2.6可得,存在正合列

其中Ei是弱内射模,且对任意投射维数有限的超有限表现R-模L,考虑R∘-模的正合列其中是弱内射R∘-模[10,定理2.10].因为L是超有限表现的,所以,存在正合列其中，P是有限生成投射模,K是超有限表现模.考虑自然同态

φ:Hom(M,Q/Z)⊗RX→

则由文献[13]引理3.60可知,当X是有限表现模时,φ是自然同构.因为K和P是有限表现的,考虑以下交换图.

0→㊣Tor㊞㊞R1(M+,L)→M+㊞RK→M+RP→M+RL→0↓≅↓≅↓≅↓0→㊣Ext㊞1R(L,M)+→㊣Hom㊞R(K,M)+→㊣Hom㊞R(P,M)+→㊣Hom㊞R(L,M)+→0

通过1)和2)的结论可得到3)和4).