建构深度教学提升核心素养
——议核心素养下的小学“数学广角”教学

2022-09-23 08:43王宏伟

数学学习与研究 2022年19期

◎王宏伟

(甘肃省天水市清水县原泉小学，甘肃天水 741400)

数学核心素养是学生经过较长时间的学习，有了诸多的数学活动经历和体验，获得了一定的数学知识，具备了一定的数学技能基础后，所形成的能够促进他们全面和可持续发展的关键能力和思维品质，也是数学课程目标的集中体现数学核心素养具体包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析这六大核心素养既各自独立，又相互融合，是一个有机的整体“数学广角”的深度教学暗合了数学思想方法的渗透和数学核心素养的落实，教师施教时必须有计划地部署和设定目标，挖掘知识背后蕴藏的数学思想方法，做到心中有数，从而在教学时做到游刃有余、深入浅出

一、彰显数形结合的魅力，发展逻辑推理能力

华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”在数学中，数和形是两个主要的研究对象，也是数学呈现在学生面前的两个主要形式几何图形直观形象，便于理解，代数方法可操作性强，便于把握在一定条件下，数与形之间又可以相互转化，相互渗透数形结合作为小学数学学科的重要思想方法，其目的是既分析数量关系，又揭示其几何图形所蕴含的意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，从而探求解决问题的思路和方法，使学生脑洞大开，这对于培养学生的学习兴趣十分重要从学生深度学习数学知识这一层面来说，引导学生掌握数形结合思想是非常有必要的随着学生对数学学习和研究的不断深入，数学知识本身的抽象性也会逐渐体现出来，而数形结合思想就是帮助学生解读抽象数学知识的工具，使学生更加全面地认识数学知识

又如，在五年级数学广角“植树问题”的教学中，难点就是帮助学生理解树与树之间的间隔和种植数量之间的关系，如果没有图形的直观帮助，学生很容易走入误区，单纯地用乘除法解答问题，忽略了两个端点要各种上一棵树这一现实问题，导致最终的运算结果出现错误为降低教学难度，在突破重难点时，小学数学教师可以引导学生依据题意画线段图，用线段上的点表示树，用点与点之间的线段表示间隔，从而形象地解决了三种植树问题中的间隔数和种植数之间的关系，促进学生逻辑思维的发展，并让学生对这部分知识理解深刻，结合生活实际感受数学和实践的关系，巧妙地突破了教学难点数与形的完美结合，不管是以形解数，还是以数助形，都在推动学生的思维向深层次迈进，都是为了启发学生从更多角度去思考数学问题，不被数学问题的表面形式迷惑作为小学数学教师，要注重对学生数形结合思想的引领，让学生发现在不能单纯地用数量关系求解的时候，应考虑是否能够转换成图形来解决问题，反之亦然，借此提高学生的逻辑推理能力当然，不同学生的思维能力是不同的，教师需要在相关知识的传授中制订个性化的解决方案，让每一个学生都能通过思维的发展感受数学知识的乐趣，进而在探究兴趣的引导下进行深度学习

二、激活假设思维，搭建数学模型思想

数学模型是指参照某种事物的特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一个数学结构数学模型思想的应用价值在于让学生彻底吃透一类数学题型，而不仅仅是记住某一道题目的解题方法在数学学习的过程中，有很多学生没有尝试去理解问题本身的数学逻辑关系，而是通过死记硬背的方式强行记下某道题的答案，此之谓重术轻道，因小失大而数学建模思想就是通过建立数学模型解决问题的方法小学数学广角涉及数学建模思想的内容有鸡兔同笼、植树问题、鸽巢问题等

“鸡兔同笼”是著名的古题，最早出自《九章算术》，也是具有代表性的题目之一它的解法多样，也渗透着不同的数学思想教材中的列表法和画图法为学生思维的切入降低了难度，并渗透了列举、猜想和假设的数学思想可列表法和画图法受到数据的限制，解题过程较为烦琐，有一定的局限性，在数量过于庞大的时候，列表法和画图法无法成为解答这类问题的首选答题方法这就要求我们的思维上升到数学抽象的层面，寻求更全面、更有代表性的解答方法这时，假设思想下的算术方法应机而生，它既不受限于数据的大小，又能将解题方法放大，将解题范围扩大

在设计教学时，小学数学教师可以先假设笼子里全是鸡(或兔)，让学生得出矛盾，即假设后的腿数比实际腿数少(或多)，再引导学生找出假设与实际问题出现矛盾的原因：一只鸡比一只兔少2条腿，然后将所缺失的条件补足，这样，学生就可以算出把多少只兔(鸡)当成鸡(兔)了，进而就知道了兔(鸡)的只数教师可以将假设法解题的思路归结为：假设—出现矛盾—寻找原因—解决矛盾—回答问题教师在帮助学生梳理了解题思路之后，无论鸡兔同笼问题中的数量扩大了多少倍，学生都能够灵活地使用列式法和方程法轻而易举地得到答案学生一旦建立起这样的数学模型，思维就有了支撑框架，当鸡兔同笼问题变式延伸至龟鹤问题、人民币问题、抢答题问题、运输中的赔付问题等复杂的生活问题时，他们都可以不变应万变，应用数学模型思想顺利解决

在上述教学预设中，学生接触到的是生活中的数学，触摸到的是数学中的核心，感受到的是数学建模思想的浸润和渗透在经历了有深度、有广度、有张力的学习体验之后，学生的思维是活跃的，知识脉络是清晰的，知识框架是立体的数学建模思想带给学生最大的启发就是当所需条件不足的时候，可以去创造条件，无论问题的形式和提问的方法怎么变化，只要其最终解答的思路和寻求的答案没有变化，就可以利用所构建的数学模型去解决

三、降低文本难度，助力数学抽象走向深入

数学抽象是将具有共同特性的事物集中起来，穿过这些事物的表象，提取事物的本质和共性，形成数学概念，并且运用这些数学概念进一步推理、判断、发现事物存在的数学规律数学作为一门较为抽象的学科，抽象是其最基本的表现形式和思维方式学生对数学学科抽象性特点的认知水平决定了其思维的深入程度，而思维的深刻性是思维品质的重要表现，是衡量人的智力水平的重要指标小学生抽象思维能力不足，为了更好地发展学生的数学抽象素养，数学教师应夯实抽象的基础，指导抽象的方法，重视抽象的过程，加强学生的抽象实践活动，强化对学生抽象素养的评价和引导

在实际的数学教学当中，小学数学教师可以适当地通过一些方法降低文本理解难度，使学生的抽象思维即有纵深度又有活跃度，而不是浅尝辄止，轻描淡写，这也不是数学深度教学所期望的降低文本难度的方法有很多，如教师可以引导学生通过画线段图变抽象知识为直观感受，再由直观感受升级为数学方法，从而解决问题；又如列举法、代换法，学生可透过表象寻求本质去解决问题；也可以通过对文本的深度阅读和理解，寻找题设和问题之间的联系，从而分析解决问题应该说，方法的形式不是最关键的，关键是让学生能够理解题意，避免主观臆断

“找次品”是人教版五年级“数学广角”的内容，这一广角内容研究的问题是：在一堆零件中有一个是次品(次品轻一些)，假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？这个问题具有非常规的问题模式，其背后又有深刻的中学知识背景，给师生的教与学都带来了很大的挑战，是数学广角中较有难度的案例自入选教材内容以来，它也一直是教学研究的热点学生在初次读题的时候往往摸不着头脑，但是在反复研读后，学生就会发现，理解“至少称几次能保证找出次品”这句话是解题的关键而“至少称几次能保证找出次品”指的是保证能找出次品的最少称重次数，而不是用最大称重次数来包含这个最小值最少称重次数与称法有关，而可选称法又是复杂多样的，那么该如何有章法、可操作地去研究它呢？这似乎让人没有头绪教师可以引导学生通过反复试验，记录数据，对比分析，得到将一堆待查零件尽量平均分成3组，才可以得出找出次品的最少称重次数这样的练习将寻找次品的范围由天平上扩大到天平外，收到“称一查三”的效果，即称一次就能对已称和未称的部分都进行排查，大大减少了称的次数，达到了求最少称重次数的目的为了给这一问题增添更多的变化，教师可以在天平的称重数量上做出限制，如一方托盘最多能同时容纳两个零件等，让学生更加深入地理解“三分法”和“均分法”整个解题思路中，“三分法”和“均分法”的提出和理解离不开对文本的深度解析，离不开师生的反复试验，更离不开学生数学抽象思维培养的层层深入和稳步推进培养学生的数学抽象思维能力必须要有科学、合理的教学规划，教师把握好教学节奏才能够收到更好的教学效果

四、注重知识生成，拓展直观想象空间

直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形来理解和解决问题的素养其主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用几何图形描述问题、分析问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，从而探索出解决问题的思路

人教版六年级数学广角“鸽巢问题”是一个疑难课例，其难点在于：第一，结论描述的抽象性，教材中的“总有”“至少”两个关键词将抽屉原理的多种情况和丰富内涵全部概括，直观上给学生的理解造成了困难；第二，探究的繁杂性，虽然抽屉原理的结论是确定的，但其本身又蕴含着随机性和不确定性，在此之前，学生所接触的数学问题大多都会给出一个确定的数值用于运算，而这类涉及抽象思维和逻辑思维的问题，对于学生而言是一次考验

课中例题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔为什么呢？其中的数学逻辑是什么？怎样解释这种现象？教学中，教师会组织实践探究活动，引导学生初步感知其“原理”，在经历不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔后，让学生用画图的方式将所有情况记录下来，再用自己的发现解释上述现象产生的原因接着，教师引导学生感知“最不利的情况”，也就是先平均分，每个笔筒中放1支铅笔，然后把剩下的1支不管放进哪个笔筒里，一定会出现总有一个笔筒里至少有2支铅笔的结果，从而得出结论：只要铅笔的数量比笔筒的数量多1，就总有一个笔筒里至少有2支铅笔从画图的直观感知，到最不利情况的抽象理解，最后提升至把个物体放进个抽屉，如果÷=……(，，，均为非零自然数，且<),那么一定有一个抽屉至少可以放进(+1)个物体这样的教学设计细化了知识的出处，突出了知识的生成过程，层层铺垫，层层递进，在做到有序思考的同时将学生的抽象思维和直观想象能力发挥到极致，充分体现了“数学广角”内容的意义和价值，促进了学生核心素养的发展

人教版三年级“数学广角”的教学目的是让学生在观察、操作、猜测等初步体验活动之上，逐渐探究出更简洁、更抽象的表达方式，旨在让学生感受排列组合思想的同时提升有序、全面思考问题的能力，是核心素养培养的重要素材举例来说：有4支球队，每两支球队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛？学生已有连线解答问题的基础，不难得出共有6场比赛此时，教师就要重视学生思考的顺序性和表述方式的科学性，引导学生：每支球队不能和自己比赛，所以第一支球队踢了3场，而第二支球队踢了2场，第三支球队踢了1场，一共踢了3+2+1=6(场)比赛再将模型应用于拓展练习：六(1)班有51名学生，在毕业座谈会上，每个人都要和他人拥抱一次，全班同学共拥抱了多少次？列式为：50+49+48+47+…+3+2+1，算式如此庞大，令学生头疼此时，教师可以让学生依托之前的铺垫，每个人都要和除自己之外的50人拥抱，也就是每人都要拥抱50次，那么51人共拥抱51个50次，即50×51=2550(次)，这时有同学会发现，每个人都算50次的话，这2550次中有一半是重复计算了的，所以应是50×51÷2=1275(次)乘法的引入解决了数据太大造成的加法计算的局限性，知识生成水到渠成，使教学柳暗花明，使学生有了思考的深度和广度

五、结束语