彭 娇,宫春梅
(西安建筑科技大学 理学院,陕西 西安 710055)
正则半群是半群代数理论的重要研究对象.作为正则半群的推广,1982 年,Fountain[1]引入Green ∗关系,定义了富足半群.1990 年,Lawson[2]在半群上定义了Green~关系.为了将广义正则半群在rpp 半群中做进一步推广,2011 年,郭聿琦等[3]首次提出Green ∗,∼关系,定义了r-宽大半群.
半群幂等元集的性质对半群代数结构有着重要影响.在文献[4]中,Yamada 研究了幂等元满足置换恒等式的正则半群,并讨论了这类半群的结构定理.郭小江在文献[5~6]中分别给出了满足置换恒等式的强rpp 半群和富足半群的结构.在此基础上,文献[7]建立了幂等元满足正规带的半富足半群的结构.文献[8]利用拟织积建立了Uσ-富足半群的结构.文献[9]给出了具有真核的正则ω2-半群的结构定理和相应的同构定理.本文则研究了幂等元集为正规带的r-宽大半群的结构,给出了r-宽大半群的幂等元集为正规带的结构刻画.
文中未出现的记号和术语见文献[10].
引理 1[3]令S为一半群,E(S)为半群S的幂等元集,且a,b∈S.则下列2 款成立:
(ⅰ)aL∗,∼b当且仅当关于任意x,y∈S1,ax=ay⇔bx=by;
(ⅱ)aR∗,∼b当且仅当关于任意f∈E(S),fa=a⇔fb=b.
一般情况下,L∗,∼是右同余,而 R∗,∼不 是左同余.L ⊆L∗⊆L∗,∼,R ⊆R∗⊆R∗,∼.
引理 2[3]令S为一半群,E(S)为半群S的幂等元集,且a∈S,e∈E(S).则下列2 款成立:
(ⅰ)aL∗,∼e当 且仅当ae=a,且关于任意x,y∈S1,ax=ay⇒ex=ey;
(ⅱ)aR∗,∼e当 且仅当ea=a,且关于任意f∈E(S),fa=a⇒fe=e.
引理 3[3]令S为一半群,E(S)为 半群S的幂等元集,且e,f∈E(S).则下列2 款成立:
(ⅰ)eL∗,∼f当且仅当eLf;
(ⅱ)eR∗,∼f当且仅当eRf.
称半群S为r-宽大半群[3],如果S中的每一 L∗,∼-类和 R∗,∼-类至少包含一个幂等元;称r-宽大半群S为弱适当半群[11],如果它的幂等元集E(S)是 一个半格;称r-宽大半群S为拟弱适当半群,如果它的幂等元集E(S)构 成子半群,即E(S)是 一个带.称带B为正规带[10],如果带B满足恒等式e fgh=egfh.
对于弱适当半群S,因为E(S)为 半格,所以S的每一 L∗,∼-类和每一 R∗,∼-类有且仅有一个幂等元.含元素a的 半群S的 L∗,∼-类和 R∗,∼-类分别记作La∗,∼和Ra∗,∼.此外,元素a∗和a+分别表示La∗,∼和Ra∗,∼中的幂等元.显然a=aa∗=a+a.
称半群同态α:(S,E(S))→(T,V)为允许同态,如果对于任意a,b∈(S,E(S)),aL∗,∼b蕴含α(a)L∗,∼α(b),aR∗,∼E(S)b蕴 含α (a)R∗,∼Vα(b)且 α(E(S))⊆V.自然地,我们称(S,E(S))上 的同余ρ 为允许同余,如果自然同态 ρ♮:(S,E(S))→((S,E(S))/ρ,E(S)/ρ)为允许同态.
对于r-宽大半群 (S,E(S))上的允许同态有以下引理:
引理 4令θ:(S,E(S))→(T,V)是一个半群同态,且θ(E(S))⊆V.则 θ为允许同 态当且仅当对任意a∈(S,E(S)),存在幂等元e∈La∗,∼∩E(S),f∈Ra∗,∼∩E(S),使得θ(a)L∗,∼θ(e),θ(a)R∗,∼Vθ(f).
证明显然,必要性成立.下证充分性.假设a,b∈(S,E(S))且aR∗,∼E(S)b.因为 (S,E(S))为r-宽大半群,则存在幂等元f,g∈E(S),使得aR∗,∼E(S)f,bR∗,∼E(S)g.显然,fR∗,∼E(S)g.据引理3,fRg.又因为 θ是一个半群同态,则θ(f)Rθ(g),故有θ(f)R∗,∼Vθ(g).据假设,θ(a)R∗,∼Vθ(f),θ(b)R∗,∼Vθ(g),故θ(a)R∗,∼Vθ(b).这表明aR∗,∼E(S)b蕴含θ(a)R∗,∼Vθ(b).类似地,可证aL∗,∼b蕴含θ(a)L∗,∼θ(b).故 θ为允许同态.证毕.
引理 5令 ρ为r-宽大半群(S,E(S))上 的允许同余.则 ((S,E(S))/ρ,E(S)/ρ)是E(S)/ρ上的r-宽大半群.
证明记(T,V)=((S,E(S))/ρ,E(S)/ρ).据引理4,对任意a∈(S,E(S)),存在幂等元e∈La∗,∼∩E(S),f∈Ra∗,∼∩E(S),使得aρL∗,∼eρ,aρR∗,∼V fρ.显然eρ,fρ ∈V,且V⊆E(T).这证明了 ((S,E(S))/ρ,E(S)/ρ)为E(S)/ρ上的r-宽大半群.证毕.
对于拟弱适当半群S,如果E(S)是 一个带E,我们用E(e)表 示带E中包含幂等元e的 D-类.
定义 1在拟弱适当半群S上定义关系 δ如下:
定义 2在带E的 D-类上定义一个偏序集如下:
引理 6令S为拟弱适当半群,a,b∈S,aδb且 R∗,∼为左同余.则下列3 款成立:
(ⅰ)E(a+)=E(b+),E(a∗)=E(b∗);
(ⅱ)E(a+)aE(a∗)=E(b+)bE(b∗);
(ⅲ)aδ=E(a+)aE(a∗).
证明(ⅰ)因aδb,则存在e∈E(a+),f∈E(a∗),使得b=eaf.显然eb=b.由bR∗,∼b+和 R∗,∼为左同余,得b+R∗,∼eb+.据引理3,知b+Reb+,于是有eb+=b+,从而E(a+)E(b+)⊆E(b+),故E(b+)≤E(a+).类似地,可证E(b∗)≤E(a∗).这意味着a+b+∈E(b+),b∗a∗∈E(b∗).又因为
这表明了bδa.显然,(a+b+)a=a.又由aR∗,∼a+和 R∗,∼为左同余,知a+R∗,∼(a+b+)a+.再由引理3,知a+R(a+b+)a+,于是有(a+b+)a+=a+,从而E(b+)E(a+)⊆E(a+),故E(a+)≤E(b+).类似可证E(a∗)≤E(b∗).这证明了E(a+)=E(b+),E(a∗)=E(b∗).
c∈E(b+)bE(b∗)g∈E(b+)=E(a+)h∈E(b∗)=E(a∗)
(ⅱ)设,则存在幂等元,,使得
因此,E(b+)bE(b∗)⊆E(a+)aE(a∗).
反之,设d∈E(a+)aE(a∗),则存在幂等元 λ ∈E(a+)=E(b+),µ∈E(a∗)=E(b∗),使得
因此,E(a+)aE(a∗)⊆E(b+)bE(b∗).故E(a+)aE(a∗)=E(b+)bE(b∗).
(ⅲ) 由 δ定义可得(ⅲ)成立.证毕.
引理 7令S为r-宽大半群,E(S)为 正规带,且 R∗,∼为左同余.则下列3 款成立:
(ⅰ)δ为S上的同余关系;
(ⅱ) δ为S上的允许同余;
(ⅲ)S/δ为弱适当半群.
证明 1(ⅰ)显然,δ是自反的.由引理6(ⅰ)的证明,得 δ是对称的.下证 δ是传递的.令a,b,c∈S,使得aδb,bδc.则存在e∈E(a+),f∈E(a∗),g∈E(b+),h∈E(b∗),使得b=eaf,c=gbh.因此c=geafh,据引理6,知E(a+)=E(b+)=E(c+),E(a∗)=E(b∗)=E(c∗),于是有ge∈E(a+),fh∈E(a∗),从而aδc.这表明 δ是传递的.因此,δ是S上的等价关系.
要证 δ是S上的同余关系,只需再证 δ是相容的.为此,假设aδb.则存在e∈E(a+),f∈E(a∗),使得b=ea f.因此,对于任意c∈S,由E(S)为正规带,得
又因为 R∗,∼为 左同余,则 (bc)+R∗,∼(bc)+(ac)+.据引理3,(bc)+R(bc)+(ac)+.因此,(bc)+=((bc)+(ac)+)(bc)+且(bc)+(ac)+=(bc)+((bc)+(ac)+),故E((bc)+)≤E((bc)+(ac)+)且E((bc)+(ac)+)≤E((bc)+).这证明了E((bc)+)=E((bc)+(ac)+).因为 ((bc)+(ac)+)(ac)+=(bc)+(ac)+,则E((bc)+(ac)+)≤E((ac)+),因此,E((bc)+)≤E((ac)+).根据 δ的对称性,类似地,可证ac=(ac)+bc.因此,E((ac)+)≤E((bc)+),故E((ac)+)=E((bc)+).又据bc=(bc)+ac=(bc)+ac(ac)∗,其中 (bc)+∈E((bc)+)=E((ac)+),(ac)∗∈E((ac)∗).因此,acδbc,δ是右相容的.类似地,可证 δ是左相容的.这证明了 δ 是S上的同余关系.
(ⅱ)令aL∗,∼b.设x,y∈S1,(ax)δ=(ay)δ,则存在m∈E((ax)+),n∈E((ax)∗),使得ay=maxn.又因为E(S)是正规带,则有
由aL∗,∼b,得by=bxn=(bx)+bxn.又因为aL∗,∼b且 L∗,∼为 右同余,则axL∗,∼bx,从而有 (ax)∗L∗,∼(bx)∗.据引理3,得 (ax)∗L(bx)∗,因此 (ax)∗=(ax)∗(bx)∗且 (bx)∗=(bx)∗(ax)∗.故E((ax)∗)≤E((bx)∗)且E((bx)∗)≤E((ax)∗).这证明E((ax)∗)=E((bx)∗).又据by=(bx)+bxn,其中n∈E((ax)∗)=E((bx)∗),(bx)+∈E((bx)+),因此,(bx)δ=(by)δ.类似可证 (bx)δ=(by)δ蕴含 (ax)δ=(ay)δ.这证明了aδL∗,∼bδ.
令aR∗,∼b.设e∈E(S),eδaδ=aδ,则存在p∈E((ea)+),q∈E((ea)∗),使得a=peaq.显然,aq=a.因此aqR∗,∼b.又 由aq=a=peaq,得b=peb=peb(eb)∗.因aR∗,∼b且 R∗,∼为左同余,则eaR∗,∼eb.从而 (ea)+R∗,∼(eb)+.据引理3,(ea)+R(eb)+,因此,(ea)+=(eb)+(ea)+且 (eb)+=(ea)+(eb)+.故E((ea)+)≤E((eb)+)且E((eb)+)≤E((ea)+),这 证明 了E((ea)+)=E((eb)+).又据b=peb(eb)∗,其中p∈E((ea)+)=E((eb)+),(eb)∗∈E((eb)∗),因此,eδbδ=bδ.类似可证eδbδ=bδ 蕴含eδaδ=aδ.这就证明了aδR∗,∼Vbδ,V=E(S)/δ.因此,δ 为S上的允许同余.
(ⅲ)显然S/δ是 L∗,∼-富足和 R∗,∼-富足的,则S/δ为r-宽大半群.
下证E(S/δ)为 半格.因为S为r-宽大半群,则对任意a∈E(S),存在e,f∈E(S),使得aL∗,∼e,aR∗,∼f.据引理3,aLe,aRf.因此a=ae且e=ea,a=fa且f=af,因为E(S)为正规带,则进而fLef,eRef.又因为e fR∗,∼(e f)+和e fL∗,∼(e f)∗,则e fR(ef)+,e fL(ef)∗.从而fLe fR(e f)+,eRefL(ef)∗,因此fD(ef)+,eD(ef)∗,故f∈E((ef)+),e∈E((ef)∗).又因为E(S)为 正规带,则fe=f fee=fefe,其中f∈E((ef)+),e∈E((ef)∗),故有e fδfe,从而eδfδ=fδeδ.这证明了E(S/δ)为 半格.因此,S/δ为弱适当半群.证毕.
引理8[11]令S为弱适当半群,E(S)为S的幂等元集,且a,b∈S.则下列5 款成立:
(ⅰ)aL∗,∼b当且仅当a∗=b∗;aR∗,∼b当且仅当a+=b+;
(ⅱ) 一般地,(ab)∗=(a∗b)∗,但 (ab)+≠(ab+)+;
(ⅲ) 若 R∗,∼为 左同余,则 (ab)+=(ab+)+;
(ⅳ) 对任意e∈E(S),(ae)∗=a∗e;若 R∗,∼是 左同余,则 (ea)+=ea+;
(ⅴ) 若 R∗,∼为 左同余,则 (ab)+≤a+,(ab)∗≤b∗,其中 ≤是E(S)上的自然偏序.
令半群T为弱适当半群,Y为其幂等元集的半格.令为一左正规带关于左零带Lα的强半格,为 一右正规带关于右零带Rα的强半格.设集合QS=QS(L,R,T;Y)={(e,a,f)∈L×T×R:a∈T,e∈La+,f∈Ra∗}.定义QS上的乘法如下:
其中ab为a和b在T上的积.据引理8(ⅴ),知 (ab)+≤a+,(abc)+≤(ab)+.因 此,a+≥(ab)+≥(abc)+,故φa+,(ab)+φ(ab)+,(abc)+=φa+,(abc)+.对任意 (e,a,f),(u,b,v),(i,c,j)∈QS,有
因此,QS关于上述运算构成半群.我们把QS称为左正规带L,右正规带R和弱适当半群T关于半格Y的拟织积.
引理 9令QS为左正规带L,右正规带R和弱适当半群T关于半格Y的拟织积,(e,a,f),(u,b,v)∈QS,且R∗,∼为左同余.则下列4 款成立:
(ⅰ) (e,a,f)∈E(QS)当且仅当a∈E(T);
(ⅱ) (e,a,f)L∗,∼(a∗,a∗,f),(e,a,f)R∗,∼(e,a+,a+);
(ⅲ) (e,a,f)L∗,∼(u,b,v)当且仅当aL∗,∼(T)b且f=v;
(ⅳ) (e,a,f)R∗,∼(u,b,v)当且仅当aR∗,∼(T)b且e=u.
证明(ⅰ)设 (e,a,f)∈E(QS).则 (e,a,f)=(e,a,f)(e,a,f)=(eφa+,(a2)+,a2,fψa∗,(a2)∗).因此a2=a,即a∈E(T).反之,假设a∈E(T),则a2=a,从而
从而有ac=ad且hψc∗,(ac)∗=hψd∗,(ad)∗.因为aL∗,∼a∗,则a∗c=a∗d.又因为L∗,∼为右同余,则acL∗,∼a∗c,adL∗,∼a∗d,从而 (ac)∗L∗,∼(a∗c)∗,(ad)∗L∗,∼(a∗d)∗.据引理8(ⅰ),知 (ac)∗=(a∗c)∗,(ad)∗=(a∗d)∗,故有
因此,(e,a,f)L∗,∼(a∗,a∗,f).
下证 (e,a,f)R∗,∼(e,a+,a+).令 (e,a,f),(e,a+,a+)∈QS,则
再令 (g,c,h)∈E(QS),则c∈E(T).假设 (g,c,h)(e,a,f)=(e,a,f),则
从而ca=a且gφc+,(ca)+=e.因为aR∗,∼a+,则 (ca)+R∗,∼a+,据引理8,知a+=(ca)+=(ca+)+=ca+.故
因此,(e,a,f)R∗,∼(e,a+,a+).
(ⅲ) 由(ⅱ),得 (e,a,f)L∗,∼(a∗,a∗,f),(u,b,v)L∗,∼(b∗,b∗,v).因为a∗,b∗∈E(T),且T为弱适当半群,则a∗b∗=b∗a∗.又由(ⅰ),得 (a∗,a∗,f),(b∗,b∗,v)∈E(QS).据引理3,有
类似地,可证(ⅳ)成立.证毕.
定理 1半群QS=QS(L,R,T;Y)是幂等元集为正规带的r-宽大半群.
证 明据引理9,对任意 (e,a,f)∈QS,有 (e,a,f)L∗,∼(a∗,a∗,f),(e,a,f)R∗,∼(e,a+,a+),其中(a∗,a∗,f),(e,a+,a+)∈E(QS).因此,QS为r-宽大半群.
下证E(QS)为正规带.令 (e,a,f),(u,b,v),(i,c,j),(s,d,t)∈E(QS).由引理9(ⅰ),得a,b,c,d∈E(T).因T为弱适当半群,则由幂等元可交换得abcd=acbd.从而有
因此,E(QS)为正规带.故QS=QS(L,R,T;Y)是幂等元集为正规带的r-宽大半群.证毕.
定理 2令QS=QS(L,R,T;Y),且R∗,∼为左同余.则QS/δ ≅T.
证明构造映射ϕ:QS/δ →T,(e,a,f)δa.令a,b∈T,(e,a,f),(u,b,v)∈QS.设 (e,a,f)δ=(u,b,v)δ,则存在(i,c,j)∈E((u,b,v)+),(s,d,t)∈E((u,b,v)∗),使得 (e,a,f)=(i,c,j)(u,b,v)(s,d,t).据引理9(ⅰ),知c,d∈E(T).
下面证明 (e,a,f)R∗,∼(i,c,j).显然,(i,c,j)(e,a,f)=(e,a,f).假设对任意 (x,g,y)∈E(QS),有(x,g,y)(e,a,f)=(e,a,f).则我们可以得到(1)式
因为 (s,d,t)∈E((u,b,v)∗),则存在(λ,k,µ)∈E(QS),使得 (s,d,t)R(λ,k,µ)L(u,b,v)∗,故(λ,k,µ)=(s,d,t)(λ,k,µ).再将(1) 式的两边同时右乘(λ,k,µ)后可得(2)式
又因为(λ,k,µ)L(u,b,v)∗,(u,b,v)L∗,∼(u,b,v)∗,故
从而(2) 式可简化为 (x,g,y)(i,c,j)(u,b,v)=(i,c,j)(u,b,v).因为R∗,∼为左同余,且 (u,b,v)R∗,∼(u,b,v)+,则(i,c,j)(u,b,v)R∗,∼(i,c,j)(u,b,v)+.据R∗,∼的定义,对任意 (x,g,y)∈E(QS),当(x,g,y)(i,c,j)(u,b,v)=(i,c,j)(u,b,v)时,(x,g,y)(i,c,j)(u,b,v)+=(i,c,j)(u,b,v)+成立.从而 (x,g,y)(i,c,j)(u,b,v)+(i,c,j)=(i,c,j)(u,b,v)+(i,c,j),即(x,g,y)(i,c,j)=(i,c,j).这证明了 (e,a,f)R∗,∼(i,c,j).
下证 (e,a,f)L∗,∼(s,d,t).显然 (e,a,f)(s,d,t)=(e,a,f).假设对任意 (x,g,y),(λ,k,µ)∈QS1,有(e,a,f)(x,g,y)=(e,a,f)(λ,k,µ),则我们可以得到(3)式
因为 (i,c,j)∈E((u,b,v)+),则存在 (p,h,q)∈E(QS),使得 (i,c,j)L(p,h,q)R(u,b,v)+,故 (p,h,q)=(p,h,q)(i,c,j).再将(3)式的两边同时左乘 (p,h,q)后可得(4) 式:
又因为 (p,h,q)R(u,b,v)+,(u,b,v)R∗,∼(u,b,v)+,则
从而(4) 式可简化为 (u,b,v)(s,d,t)(x,g,y)=(u,b,v)(s,d,t)(λ,k,µ).因为L∗,∼为右同余,且 (u,b,v)L∗,∼(u,b,v)∗,则(u,b,v)(s,d,t)L∗,∼(u,b,v)∗(s,d,t).又据L∗,∼的定义,得 (u,b,v)∗(s,d,t)(x,g,y)=(u,b,v)∗(s,d,t)(λ,k,µ).再两边同时左乘 (s,d,t)可得 (s,d,t)(u,b,v)∗(s,d,t)(x,g,y)=(s,d,t)(u,b,v)∗(s,d,t)(λ,k,µ),即 (s,d,t)(x,g,y)=(s,d,t)(λ,k,µ).这证明了 (e,a,f)L∗,∼(s,d,t).
据引理9,知aR∗,∼c,aL∗,∼d,从而a+R∗,∼c,a∗L∗,∼d.又据引理8(ⅰ),a+=c,a∗=d,因此,a=cbd=a+ba∗.类似地有b=b+ab∗成立.因T为弱适当半群,则由幂等元交换得
从而 (e,b+,v) ∈E((u,b,v)+),(u,b∗,f)∈E((u,b,v)∗),因此 (e,a,f)δ=(u,b,v)δ.综上可知QS/δ ≅T.证毕.
定理 3令S是幂等元集为正规带的r-宽大半群,且R∗,∼为左同余.则,其中 LE,RE和 DE为E上的格林关系.
证明假设S是幂等元集为正规带的r-宽大半群.由E(S)为 正规带,知E(S)为矩形带Eα的强半格S(Y;Eα;ϕα,β),这里Eα是E的 D -类.因此Y≅E/DE.令Eα为 左零带Lα与右零带Rα的直积,即Eα=Lα×Rα.据文献[10]的推论4.4.3,半群同态α,β:Eα→Eβ(α ≥β)决定了同态映射φα,β:Lα→Lβ和ψα,β:Rα→Rβ,使得对任意(lα,rα)∈Eα,有 (lα,rα)ϕα,β=(lαφα,β,rαψα,β).同时L和R分 别为左正规带和右正规带,显然L和R关于半格Y的织积为E,因此L≅E/RE,R≅E/LE.因为E(S)为 正规带,据引理7,知 δ为 允许同余且S/δ为弱适当半群.注意到 δ对E的限制 δ|E为DE,因此,E(S/δ)≅Y.
为简单起见,我们分别用L,R和Y来表示E/RE,E/LE和E/DE.构造映射
由S/δ为 弱适当半群和引理8,得 δ((ab)+)=δ(a+)δ((ab)+)=δ((ab)+)δ(a+),故 δ(a+)≥δ((ab)+).因此,由 RE是E上的同余,得
最后,证明θ 是满射.令(e,x,f)∈QS(L,R,S/δ;Y),则存在a∈S,使得令幂等元g,h∈E(S),则,于是有δ(g)=δ(a+)=(δ(a))+,δ (h)=δ(a∗)=(δ(a))∗,从 而δ(g)δ(a)δ(h)=(δ(a))+δ(a)(δ(a))∗=δ(a).因为 θ是同态映射,则