基于非线性吸振器的深水导管架平台减振特性研究

陈益群，刘利琴，罗 超，吴志强，胡文韬

(1.天津大学a.建筑工程学院;b.机械工程学院，天津 300072；2.海洋石油工程股份有限公司，天津 300461)

0 引 言

随着海洋资源的开发走向深水海域，越来越多的深水导管架平台投入使用。由于长期承受波浪、风、流、地震等环境载荷的作用，不可避免地会引起导管架平台系统的振动问题。特别是深水导管架平台的刚度较小，低阶自振频率会落入波浪能量主要频率范围，产生较为剧烈的振动[1]。这不但会损坏平台的结构强度，还会对在平台上进行施工的人员身心健康与工作能力产生很大影响。因此开展波浪激励下海洋平台的减振研究，对平台安全非常重要。

国内外学者对导管架平台的振动问题开展了一系列研究：孙树民[2]通过在独桩平台上附加质量调制阻尼器（TMD）进行了波浪激励和地震激励下的减振分析，结果表明，TMD对波浪激励作用下独桩平台的减振非常有效；Patil[3]在导管架平台上安装粘弹性摩擦阻尼器，增加了原结构的粘性阻尼和横向刚度，从而极大降低了海洋平台的振动响应；李宁[4]运用LQG 控制算法来对海洋平台进行磁流变阻尼器半主动振动控制和鲁棒性研究，结果表明，虽然半主动控制和主动控制下的TMD 对平台均具有十分良好的减振效果，但有源控制需要传感器、外部能源等设备，比被动控制减振要求更为复杂，而且被动控制理论设计更为简易，更适合在工程领域中使用。

传统的TMD 线性吸振器减振频带较窄，在偏离减振频带时可能会出现振动放大现象[5]。基于此，人们研究了非线性吸振器（NVA），这是一种减振频带宽、鲁棒性能好的减振装置。一般来说，使用同等质量的线性吸振器与非线性吸振器进行减振分析，非线性吸振器往往会有更好的减振效果[6]。非线性的形式多样，许多学者采用了纯立方刚度的非线性吸振器作为研究对象，在面对冲击载荷的情况下，满足一定的立方刚度条件时，结构会出现能量不可逆传递（TET）现象[7]。受简谐激励时，会出现一种特殊的强调制响应（SMR）[8-9]。出现TET 和SMR 的情况下，主系统中的大部分能量会传递到非线性吸振器中，通过阻尼元件进行耗散，从而实现减振的效果。对于NVA 的解析分析，目前多采用复变量平均法[10]。Luongo 和Zulli[11]采用了多尺度法混合谐波平衡法对方程进行解析求解，这种方法不需要进行复变量替换，参数的物理意义更加清晰。

本文基于非线性吸振器（NVA）对深水导管架平台的波激振动进行减振研究。采用多尺度混合谐波平衡法[11]对动力学方程进行解析求解，分析结构的响应与非线性特性，并基于振动传递率[12]对非线性吸振器的参数进行优化。

1 平台减振动力学建模

波浪作用下海洋平台的第一阶模态振动响应占据整个结构响应的主要部分[13]，且一阶频率更加接近波浪频率。为了简化计算，突出结构的主要振动特性，考虑平台运动为单自由度（以下称为主系统），吸振器为附加的一个含有非线性立方刚度的振子（以下称为子系统），如图1所示，并写出两自由度运动方程：

图1 海洋平台减振模型Fig.1 Offshore platform vibration control model

式中：m1为平台的一阶模态质量；m2为NVA 的质量；c1和c2分别为海洋平台和吸振器的阻尼；k1为平台刚度；k2为吸振器的立方刚度；x1、ẋ1、ẍ1分别为主系统水平位移、速度、加速度；x2、ẋ2、ẍ2分别为附加的子系统水平位移、速度、加速度。平台受到的波浪载荷处理为规则波fcos(Ωt)。

导管架平台的桩腿直径相对于波浪波长一般小于0.2，目前主要使用莫里森公式计算作用于桩腿上的波浪力。单位长度上桩腿水平受载为

式中：ρ为海水密度；Cd为拖曳力系数；Cm为惯性力系数；D为特征长度，这里为桩腿的直径；u为某高度水质点的水平速度；u̇为某高度水质点的水平加速度。u和u̇由AIRY波理论得到。

2 运动方程解析分析

2.1 基于多尺度混合谐波平衡法的运动方程求解

为了简化推导过程，进行以下变量替换：

式中，z为主系统和子系统的相对位移。子系统质量相对主系统来说较小，为了使用多尺度混合谐波平衡法对方程求解，引入小量ε≪1对一些变量进行重新标度，变量替换之后的运动方程为

引入协调因子σ，表示外激励频率接近平台一阶固有频率的程度，Ω=ω+εσ。设解为

式中，t0=t，t1=εt，并引入

式中，cc为共轭复数。A是变量t1的待定复函数，z11通过谐波平衡法设解：

其中，B1是变量t1的待定复函数。将式（11）～（12）代入式（8）中，消去永年项，得到的一阶摄动解的关系可以表示系统的慢不变流形方程，如式（13）所示：

式（13）得到了系统的不变流形方程，表示主系统和非线性吸振器的振幅关系。

把式（11）、（12）代入式（7），消去永年项，得到第一个可解性条件为

为了进一步分析二阶摄动，需要对式（10）作进一步分析。将式（11）、（12）、（14）代入式（7），求得x12，其中z12再由谐波平衡法来设解，得到：

将式（12）、（15）代入式（10）中，消除永年项后得到的解表达式与式（13）进行B=B1+εB2重组，得到第二个可解性条件为

将式（17）代入式（14）、（16）中，分离实虚部，得到关于a、b、α、β的四个方程和解的形式，如式（18）所示：

由式（18）数值求解a、b、α、β四个变量，最终求得系统的一阶摄动解为

2.2 幅频响应曲线

上一节的推导结果可以得到结构的响应时程图，进一步求解幅频响应曲线，可以更加全面地观察振动响应特性。

考虑式（19）当ȧ=0，ḃ=0，γ̇1=0，γ̇2=0时，可以得到系统的平衡解，推导出以下由γ1和γ2表示的方程：

通过三角函数的关系可以将式（21）中的γ1和γ2消去，可以得到两个含有a、b、σ的方程，再进行代换消去a，可以得到只含有b和σ的非线性方程。求解方程则可以得到系统的幅频响应曲线。具体b和σ的表达式可参考附录A。

2.3 平衡解稳定性分析

同样，当式（18）中ȧ=0，ḃ=0，γ̇1=0，γ̇2=0时，为了分析平衡解的稳定性，需要将式（18）写成直角坐标形式，由式（20）得到

式中，p1=acos(γ2)，q1=asin(γ2)，p2=bcos(γ2-γ1)，q2=bsin(γ2-γ1)，v1=σ，v2=0。将式（23）代入可解性条件式（14）、（16）并分离实虚部，得到以下四个表达式：

写出式（24）的向量形式，并求其雅克比矩阵，并写出该雅克比矩阵的特征方程式（25），其中特征方程系数的表达式在附录A中给出。

根据罗斯霍尔维兹准则，可判断系统的稳定性如下：

（1）当δ4=0时，发生鞍结分岔，系统平衡点数目发生变化；

（2）当δ1δ3＞0，δ1δ2δ3-δ32-δ12δ4=0时，系统发生Hopf分岔。

3 算例和结果分析

3.1 平台减振结果分析

本文算例参数[14]有：深水导管架平台，桩腿长度为249 m，水深为218 m，等效桩腿直径为1.83 m，一阶模态质量为7 852 307 kg，一阶固有频率为2.046 rad/s，主结构阻尼比取为0.02。根据主结构模型，初步选取非线性吸振器参数为ρ2=0.02，κ=100，ξ2=0.0034。计算海况取1.5 m波高、周期为3.07 s。

根据2.1节中的求解方法，得到近似解析解的响应时历曲线，并与数值模拟结果进行对比（数值解采用四阶龙格库塔方法直接求解方程组（1）），对比结果如图2所示。

图2 响应时间历程（σ=0）Fig.2 Response time history(σ=0)

图2（a）表明，平台响应为非简谐的概周期运动，吸振器与平台的相对运动明显大于平台自身的运动。此时，作用于主系统的部分能量转移到了吸振器中，使得平台的运动响应减小，从而实现了减振目的。比较图2（a）和图2（b）的结果表明，数值解与解析解吻合较好，验证了多尺度混合谐波平衡法求解的有效性。

图3给出了根据解析解求出的幅频响应曲线，并根据2.2节中的方法判定解的稳定性。图中直线表示稳定的周期解，点划线表示出现了不稳定解，其中不稳定解包括出现了Hopf分岔与鞍结分岔。计算表明，发生Hopf分岔时，结构的振动响应出现了概周期现象，系统的振动幅值不断变化。图3（a）表明，主系统幅频响应曲线在固有频率附近向下弯曲，整体表现不稳定解，最低幅值为0.005 m左右。

图3 幅频响应曲线Fig.3 Amplitude-frequency response curve

图3（b）表明，子系统响应在左上角出现了部分区域响应相对较高的平衡解，经分析，为协调因子σ=[-0.18，-0.072]时出现了多解，具体解的情况受初始条件影响。图3（b）共振区域运动响应明显放大，同向表现为不稳定解。因此，这时在共振区域附近，大部分能量转移到了非线性吸振器上，使得平台的运动幅值减小。以下通过数值方法计算不同初始条件下的响应，结果如图4所示。

图4 不同初值的主子系统相对位移时程响应（σ=-0.1）Fig.4 Time history response at different initial values

图4表明，在初始位移较小时，平衡点幅值在0.006 m 附近，如图4（a）所示；初始位移较大时，平衡点的幅值在0.035 m左右。根据图3（a），在这个多解范围内，主系统位移幅值会偏大一些，然而整体仍小于0.011 m。在发生这类鞍结分岔时需要格外注意，可能会发生跳跃现象使得结构的动力响应放大，非线性吸振器反而增大了系统振动幅值。

3.2 平台减振系统强调制响应机理

平衡解稳定性分析表明，系统响应可能发生类似概周期的强调制响应。因此分析其特有的强调制响应对认识基于非线性吸振器的海洋平台减振效果有重要意义。将式（17）代入式（13），分离实虚部，得到不变流形的具体方程为

根据式（26）可得到慢不变流形，如图5所示。

图5反映了系统中a、b的变化关系，可以看到不变流形含有稳定与不稳定两个部分。当系统沿着慢不变流形运动到达N1点时，发生跳跃至Nu点；接着系统运动沿着不变流形向下运动，到达N2点时，又会跳跃到Nd点，继续向上运动，形成一个往复的跳跃循环，这就是发生强调制响应的机理。

图5 慢不变流形Fig.5 Slowly invariant manifold

但是产生这种跳跃现象还需要满足一定的参数条件，主要影响参数包括非线性吸振器本身的参数和外激励幅值的影响。在ρ2=0.02，κ=100，ξ2=0.0034 的参数下，就发生了这种强调制响应，如图2所示。发生这类强调制响应时，外激励频率往往接近结构固有频率，此时结构的部分能量会明显地传递到NES 中，从而减小了主系统的振动幅值。

3.3 平台减振效果评价

本节对平台的减振性能进行评价。首先采用振动传递率的评价方法，确定非线性吸振器的最优参数，获得最优的非线性吸振器刚度和阻尼。振动传递率定义为T=RMS(x1)/F，这里F=0.002 54，表示海洋平台振动有效值与外激励幅值的比值[12]。

以下结合全局搜索的方法，基于振动传递率的评价方法对非线性吸振器参数进行优化。为了考虑到在共振频率附近的整体减振效果，这里的RMS（x）取σ∈[-0.2 0.2]时，协调参数σ与数值扫频计算得到的有效值曲线围成的面积，得到系统振动传递率三维图，如图6所示。

由图6 可知，不同的参数组合下，可以得到不同的减振效果。在较差的参数组合条件下，最大振动传递率达到了24.65；而在较好的参数组合条件下，最小振动传递率达到14.3，最小振动传递率对应的非线性吸振器的刚度κ=279、阻尼ξ2=0.0011。优化参数非线性刚度和阻尼在κ∈[300,600]和ξ2∈[0.012,0.02]范围内变化时，仍能保持振动传递率低于17.4的减振效果。

图6 基于振动传递率的参数优化图Fig.6 Parameter optimization diagram based on vibration transmission rate

将得到的优化参数代入式（1），求解得到如图7所示的幅频响应曲线。优化后的参数幅频响应曲线，在σ=0 时主系统的振动幅值为0.005 6 m，而减振前的振动幅值为0.015 m，此时的减振效果为62.7%，在偏左区域存在动力放大现象，偏右区域则整体振动幅值偏小。此时主要表现为鞍结分岔现象，在大范围内出现多解，但共振区域内右侧的减振性能相对参数优化之前有了较好的提升。

图7 幅频响应曲线Fig.7 Amplitude-frequency response curve

4 结 论

本文基于非线性吸振原理研究规则波激励下海洋平台的被动减振，建立了海洋平台-非线性吸振器系统两自由度耦合动力学方程，采用多尺度混合谐波平衡法研究了系统的非线性动力特性。主要结论如下：

（1）附加了非线性吸振器之后深水海洋平台系统可能会出现鞍结分岔和Hopf 分岔的现象，具有明显的非线性。

（2）全局搜索的方法优化后，非线性吸振器在共振频率附近有很好的减振效果。同时给出了优化参数后的幅频响应曲线，可以很好地观察到其在整个频率变化下的减振性能和非线性特性，更加全面地了解设计的非线性吸振器。

（3）非线性吸振器的非线性刚度和阻尼在一定范围内变化时，仍可以保持较好的减振性能，相对于线性吸振器而言，具有较好的稳定性。在σ=0时，最优减振效果为62.7%。

附录A：