IRS辅助的安全通信系统波束成形嵌套优化算法

马好好 解培中 李 汀

（南京邮电大学通信与信息工程学院，江苏南京 210003）

1 引言

下一代无线通信系统要求提供高速、高安全性和无所不在的通信，这些要求导致发射器和接收器能耗更大。为了降低系统能耗，文献［1］、［2］提出联合利用可再生能源、节能设备以及节能资源分配和信号处理算法来克服能源限制挑战。然而，一些可再生能源和节能设备硬件成本较高。另一方面，随着信息时代的发展和各种智能终端的普及，特别是很多金融业务开始在智能终端中进行，无线网络中的通信安全变得越来越重要。为了更大限度地提高无线网络的安全性，出现了协作中继［3］、人工噪声干扰［4］、协同干扰［5］等信号处理策略。但是，这些策略在实施中系统能耗和硬件成本较高。此外，在安全传输中，传输功耗也是衡量系统保密能力的一项重要指标，在保证通信系统安全传输时，应尽量减小基站的传输功率。因此，寻找高能源效率、低硬件成本的解决方案仍是下一代无线通信技术研究的重要挑战［6］。

近年来，智能反射面（Intelligent Reflecting Sur⁃face，IRS）［7］作为一种低成本、低能耗的新兴技术成为通信领域的一个研究热点。IRS 的硬件结构是基于超表面的概念，通过软件控制来重新配置无线传播环境［8］。具体来说，IRS 是由大量低成本的无源反射元件组成的可重构平面阵列［9］，具有控制电磁波传播特性的能力。当电磁波传播到材料表面时，IRS 可以调整电磁波的属性，包括自定义反射、相位控制、波吸收等［10］。同时，IRS的每个元素都能独立地调整入射信号的相移和振幅。因此，通过软件控制器智能的调整反射波束成形，可以提高合法用户期望信号的功率，减少窃听用户的接收信号，从而减少信息泄漏，提高系统的安全性。此外，与中继辅助的传输方案［11］相比，IRS 辅助的通信系统不仅能在全双工模式下工作，而且使用轻型无源组件，可以大大节省能源消耗和硬件/部署成本。

IRS 辅助的通信系统，主要通过调整基站（Base Station，BS）的发射波束成形和IRS 的反射波束成形来改善系统性能。因此，合理的设计发射/反射波束成形在IRS 辅助的通信系统中具有重要的研究意义。文献［12］针对一个IRS 辅助的多输入单输出（Multiple-Input and Single-Output，MISO）无线通信系统BS 发射功率最小化问题，引入半定松弛思想（Semidefinite Relaxation，SDR），通过交替迭代求解出优化问题的次优解。文献［13］提出采用分支界定算法（Branch-and-Bound，BnB）获得BS 发射波束成形和IRS 反射波束成形的全局最优解，作为评价其他方案的基准。文献［14］考虑了IRS辅助的多用户系统加权和速率最大化问题，通过拉格朗日对偶变换将非凸优化问题解耦，然后交替优化发射/反射波束成形。但是上述文献都没有考虑通信链路的安全性。为了解决该问题，文献［15］考虑了一个特殊的情况——BS 和用户/窃听者之间的直接链路被阻断时BS 的有源波束成形和IRS 的无源波束成形设计，当IRS 反射元素数目较少时采用块坐标下降算法（Block Coordinate Descent，BCD）进行波束成形设计；当IRS 反射元素数目较多时基于最大最小准则进行波束成形设计。针对IRS辅助的多天线安全通信系统能效最大化问题，文献［16］先利用Dinkel⁃bach 算法将目标函数转化为辅助变量相减的形式，然后利用交替迭代算法求解变量耦合的非凸优化问题。文献［17］考虑了一个单天线窃听者的简单系统模型，采用基于SDR 的交替迭代算法，实现保密率约束下BS发射功率最小化，并推导出发射波束成形的闭式表达式。文献［18］考虑了一个具有挑战性的场景，即窃听信道比合法通信信道强，且在空间上高度相关，提出交替迭代和SDR 的联合优化策略，来最大限度的提高合法用户的保密率。针对IRS 辅助的多用户多输入多输出（Multiple-Input and Multiple -Output，MIMO）安全通信系统保密和速率最大化问题，文献［19］提出了一种稳健波束成形和人工噪声联合设计方案，并利用惩罚函数、连续凸近似和SDR 算法求解非凸优化问题。文献［20］基于最大比传输（Maximum Ratio Transmission，MRT）和加性量化噪声模型（additive quantization noise model，AQNM），推导出了下行可达速率的近似解析表达式。

从上述文献可知，文献［16-19］以交替的方式迭代地优化发射/反射波束成形，即每次迭代固定一个，优化另一个，直到收敛或达到最大迭代次数。当IRS 反射波束成形固定时，文献［16］采用SDR 方法，忽略秩为一的约束条件，利用凸优化求解器CVX 求解发射波束成形。为了减少计算复杂度，文献［17］进一步推导出发射波束成形的闭式表达式。当BS 发射波束成形已知，文献［16-19］采用的方法是先放松约束条件将非凸问题转化为凸优化问题，得到目标函数的边界值，再引入额外的步骤获得反射波束成形的可行解。

本文考虑在合法用户保密率约束下，降低系统能耗。针对非凸优化问题，提出了一种拉格朗日函数和粒子群嵌套优化的算法，实现IRS 反射波束成形和BS 发射波束成形的最佳平衡。对于可以控制入射信号相移的IRS 反射波束成形，使用粒子群算法进行优化，同时采用文献［17］拉格朗日函数法推导出的闭式解求解对应的BS 发射波束成形和发射功率，并反馈给粒子群算法作为粒子的适应值，实现两种算法的嵌套。该算法不需要在固定BS 发射波束成形的前提下求解IRS 的反射波束成形，而是巧妙地利用粒子群优化算法的更新方式，每个粒子都代表相移矢量的一个潜在解，自动满足反射元素模为1 的条件，然后粒子根据自身及其他粒子的移动经验进行动态调整，从而实现反射波束成形的更新。仿真结果表明，在降低系统功耗方面所提算法优于SDR方法。

符号说明：(·)T、(·)H、(·)-1分别表示矩阵的转置、共轭转置、求逆；‖X‖、tr(X)、rank(X)分别表示矩阵X的二范数、迹和秩；λmax(X)、umax(X)分别表示矩阵X的最大特征值及其对应的特征向量；X≽0 代表X是半正定矩阵；diag(x)表示由向量x元素构成的对角矩阵。

2 系统模型

本文考虑IRS辅助的安全通信系统的下行传输模型，如图1 所示。该系统由一个多天线BS、一个IRS、单天线合法用户和窃听者组成。其中BS 配备Nt根发射天线，IRS 含有M个无源反射元素，与一个智能控制器相连，协调IRS 在信道估计模式和数据传输模式间切换。

IRS 的行为类似于针孔传播，在一个物理点上接收来自发射机的多路信号，再通过IRS平面阵列将组合信号反射给接收机，从而得到乘法信道模型［21］。定义IRS 相移矢量θ=[θ1，…，θM]，则反射波束成形，其中θn∈[0，2π]，∀n=1，…，M表示IRS 第n个反射元素的相移，βn∈[0，1]为相应的振幅。在实践中，IRS 每个反射元素的设计是使信号反射最大化，所以通常取β=1 以获得最大的反射增益，即每个反射元素模为1。

由于严重的路径损耗，我们只考虑直接通信链路（BS-用户/窃听者链路）和第一次反射通信链路（BS-IRS-用户/窃听者链路），忽略其他路径传播的信号，包括散射信号、衍射信号和经过IRS两次或两次以上的反射信号。因此，在合法用户和窃听者处接收到的信号分别表示为：

其中，s表示BS发送给合法用户的期望信号，且满足E{|s|2}=1。ω∈表示BS 的发射波束成形。，i∈(u，e)表示合法用户和窃听者处的加性高斯白噪声，且均值为0，方差为σi2。

根据香农定理，合法用户和窃听者的信息速率分别为：

结合式（3）和（4），系统的保密率（比特/秒/赫兹（bps/Hz））可以表示为：

其中，[z]+=max(z，0)，|·|表示复向量的欧几里得范数。

IRS 辅助的安全通信系统中，BS 到用户/窃听者的直接链路和BS 经IRS 再到用户/窃听者的间接链路都携带相同的有用信息。因此，反射波束成形Θ的设计一般需要实现以下两个目标：一方面，用户的反射通道与直接通道相一致，以最大限度地提高合法用户期望信号的功率，增强Ru。另一方面，窃听者的反射通道与直接通道处于相反的相位，干扰窃听者的接收信号，降低Re。

为了降低系统功耗，我们的目标是在给定保密率Rsec的情况下，联合优化BS 的发射波束成形ω和IRS 的反射波束成形Θ，使BS 的发射功率最小。因此，优化问题可以制定为：

3 算法设计

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是受鸟群觅食行为启发的智能优化算法。PSO 算法没有过多的约束条件，所以求解连续变量的非凸优化问题时，计算复杂度低［22］。因此，为了求解前文给出的非凸优化问题，提出了拉格朗日函数和粒子群嵌套的优化算法。使用粒子群算法搜索相移矢量θ，以此计算拉格朗日函数法推导出的BS发射功率的闭式解，再反馈给粒子群算法作为适应度值，实现两种算法的嵌套。

3.1 拉格朗日函数法求解BS发射功率

在粒子位置已知（即IRS反射波束成形Θ已知）的情况下，问题（P1）可以简化为

同时运用问题（P2）和问题（P3）的拉格朗日函数及其对偶问题，推导出BS 发射功率的闭式解，并反馈给粒子群算法作为适应度值。详细步骤可以在文献［17］中找到，因此这里省略。

3.2 利用改进的粒子群算法，设计相移矢量θ

PSO 算法是一种基于迭代模式的优化算法，一般使用最大迭代次数作为停止准则。本文，种群中每个粒子的位置都代表相移矢量θ的一个潜在解。因此，每一次迭代，粒子速度和位置的更新公式为［23］

其中，i∈{1，…，L}，L为种群规模；t∈{1，…，Nit}表示当前迭代次数，Nit为最大迭代次数；分别表示第i个粒子在第t次迭代时的位置和速度；xi=[θ1，…，θM]表示粒子i在M维空间的位置矢量，vi=[v1，…，vM]为相应的速度矢量；r1、r2为［0，1］之间服从均匀分布的随机数；学习因子c1和c2是两个非负值，c1是粒子跟踪自己历史最优值的权重系数，决定其局部搜索能力；c2是粒子跟踪群体最优值的权重系数，决定其全局搜索能力，c1和c2通常等于2；w为惯性权重，用于衡量粒子上一次速度对当前速度的影响，起到平衡PSO 算法全局搜索能力和局部搜索能力的作用。

w较大时，全局搜索能力强；w较小时，局部搜索能力强。通常算法的初期，采用大的惯性因子来扩大搜索范围，避免算法陷入局部最优。算法的后期，小的惯性因子可以加快收敛速度。因此，采用线性微分递减策略的惯性权重［24］，可以使算法更稳定，表达式为：

此外，为了保持种群的多样性，避免过早收敛，我们对传统的PSO方法做了一些改进。传统的PSO算法，每次迭代只利用式（18）和（19）更新粒子速度和位置，生成新的种群。为了避免陷入局部最优，参考文献［22］采用的策略，前L/2 个粒子通过式（18）和（19）更新速度和位置，剩余的粒子通过随机更改最佳粒子的某些列生成新的粒子。

基于拉格朗日函数和粒子群嵌套优化波束成形的流程如图2所示，算法步骤详述如下：

1）初始化，系统参数：Nt，M，随机生成L个粒子，组成初始种群[x]=x1，x2，…，xL，随机产生各粒子初始速度[v]=v1，v2，…，vL，组成初始速度变化矩阵。

2）评价种群，利用式（15）～（17），计算BS 的发射波束成形和发射功率，并反馈给粒子群算法作为适应度值。

3）寻找pbest和gbest，最佳的粒子是‖ω‖2最小的粒子。

4）更新粒子位置和速度。前L/2 个粒子通过式（18）和（19）更新速度和位置；后L/2 个粒子通过以下步骤生成：（a）以给定的概率p1，对最佳粒子（gbest）进行如下操作生成新的粒子：以给定的概率p2，随机更改最佳粒子某些列，否则，以概率（1-p2）保留此列；（b）以概率（1-p1）随机生成一个完整的新粒子，如参考文献［22］。下一次迭代的种群由这一步产生的粒子组成。

5）以最大迭代次数为停止准则，检查结束条件。若满足，结束寻优，θbest=gbest；否则，转至2）。

本文中，PSO 算法的主要参数Nit=1000，wmax=0.6，wmin=0.1，c1=c2=2，p1=0.2，p2=0.1。

3.3 计算复杂度分析

该算法的复杂度主要来源于初始化参数、采用拉格朗日函数计算粒子的适应值，以及更新粒子的速度和位置。根据文献［25］可知，其复杂度分别为和Ο(2ML)。综上，该算法的总复杂度可以表示为，其中Nit表示算法的迭代次数。采用SDR 算法求解反射波束成形时，参考文献［18］，可知其复杂度为Ο(Nit(M+1)3.5)。可以发现，当反射元素数目较多时，所提算法的复杂度低于SDR算法。

表1 复杂度比较Tab.1 Complexity comparison

4 仿真结果

为了验证所提算法的性能，本文将利用Matlab进行数值仿真，并给出数据分析。

4.1 仿真参数设置

假设BS 天线数量Nt=4，噪声功率=10-9W，安全速率门限值=10 bps/Hz。BS 和IRS 处于同一水平线，用户和窃听者也处于同一水平线，两条水平线平行，垂直距离dv=2 m，该系统的具体部署如图3 所示，与参考文献［17］相同。为了简单起见，在仿真中，我们以迭代次数Nit作为停止准则。

BS 到用户的水平距离用du表示，BS 到窃听者和IRS的水平距离分别为de=20 m 和dBI=50 m，则BS到用户的距离为dBU=，到窃听者的距离为dBE=；IRS 到用户的距离为dIU=，到窃听者的距离为dIE=。

大尺度衰落取决于任意两节点间的距离，因此定义距离相关的路径损耗为PL(d)=C0(d/D0)-a，式中C0=-10 dB 表示参考距离D0=1 m 时的路径损耗，d表示通信链路距离，a表示路径损耗指数。BS到用户和窃听者的路径损耗指数分别为aBU=aBE=4，BS 到IRS、IRS 到用户和窃听者的路径损耗分别为aBI=aIU=aIE=2。我们假设所有涉及的信道均采用瑞利衰落信道模型。此外，为了提高仿真结果的准确性，蒙特卡洛仿真次数设为1000。

除了本文所提的改进的粒子群优化方案，还将与以下3种方案进行比较。

1）不采用IRS，即M=0。

2）随机相移，从区间[0，2π]中随机选取θn的值。

3）基于SDR的交替优化算法，即参考文献［17］提出的解决方案。

4.2 仿真结果分析

首先评估所提算法的收敛性，如图4 所示。考虑IRS 反射元素数量M∈{20，30，40}，粒子数量L=30 的情况。从图4 可以看出，不同反射元素数目的IRS，经过数次迭代（大约200 次迭代），BS 的发射功率均收敛到固定值，这说明所提算法具有很好的收敛性。同时可以观察到，IRS辅助的方案中，BS发射功率随着反射元素数量M的增加单调递减。这是因为，反射元素数目越多，反射信号越强，合法用户接收的信号增强。此外值得注意的是，迭代次数不会随着M的增加而显著增加，降低了复杂情况（例如，M较大）时的训练开销。

图5比较了M=20时，不同方案BS的发射功率与BS-用户水平距离（du）之间的关系。本文考虑了两种情形：IRS 部署在BS 附近（图5（b），dBI=10 m）和离BS 较远位置（图5（a），dBI=50 m）。首先观察到，与其他方法相比，本文提出的方案BS 所需的发射功率更低，这进一步验证了本文所提算法的有效性。此外可以观察到，对于无IRS辅助的方案，随着du的增大，BS 所需的发射功率持续增大，这是因为用户离BS 越远，信号衰减越大。但是，在IRS 辅助的安全通信系统中，BS 和用户距离较大时，BS 所需的发射功率不一定很高。从图5（a）可以看出，开始随着BS-用户水平距离du增大，BS 的发射功率下降，因为远离BS 的合法用户可能更靠近IRS，因此它能够从IRS 处接收到更强的反射信号，所需的发射功率越低。当基站与用户的水平距离du=50 m时，IRS 到合法用户的距离dIU最小，BS 的发射功率最低。但随着距离du继续增加，即du>50 m，dIU变大，来自IRS 的反射信号变弱，BS 所需的发射功率增加。图5（b）考虑了IRS部署在BS附近的情形，从图5（b）中可以看出，IRS 辅助方案在安全传输功率方面优于没有IRS 的方案，且在反射元素数目M、保密速率及du相同的情况下，本文所提方案BS 所需发射功率更低，这表明了正确设计IRS 反射波束成形的重要性。此外，可以发现，增加种群数目L，相互协同搜索的粒子就越多，得到的精度变高，但搜索时间增加。因此在实际中，应该综合考虑算法的可靠性和系统运行时间，选取适当的粒子数。

传统的无线通信系统中，在收发器上部署大规模天线阵列是提升系统性能的有效途径。图6中的虚线说明了这一效果。在本文考虑的IRS辅助的系统中，图6 中点线表示IRS 反射元素数量保持不变(M=4)的情况下，增加BS 天线数量Nt，BS 发射功率变化趋势；实线描述了BS 天线数量保持不变（Nt=4），增加M，BS 发射功率变化趋势。我们观察到IRS辅助的系统明显优于无IRS的策略，这证实了将IRS 应用于安全通信领域的有效性。从图6 中还可以看出，在降低BS发射功率方面，增加IRS反射元素数量比增加BS发射天线数量更有效。此外，为了驱动更多的天线元件，需要部署额外的RF链和功率放大器，与部署大规模无源IRS相比，能源消耗和硬件成本较高。因此，在安全通信领域中引入可以控制电磁波传播方向的IRS是一种更经济有效的选择。

5 结论

针对IRS 辅助的多天线安全通信系统，本文提出采用拉格朗日函数和粒子群嵌套优化算法设计BS 的发射波束成形和IRS 的反射波束成形。具体来说，利用改进的粒子群算法优化IRS 的反射波束成形，拉格朗日函数法求解BS 的发射功率，并反馈给粒子群算法作为适应度值，实现在合法用户保密速率约束下，最小化基站的发射功率。该算法将相移矢量设置为粒子的位置，巧妙地满足反射元素模为1 的约束，获得非凸优化问题的次优解。仿真结果可以看出，IRS 辅助的系统明显优于无IRS 的策略，说明IRS 在安全通信领域具有很大的潜力。此外，反射元素数目较多时所提算法的复杂度低于SDR 算法。本文假设IRS 的每个元素是连续相移，但由于硬件限制，在实际应用中IRS 的相移只能取有限数量的离散值，当IRS 反射元素为离散数值时如何求解值得未来的工作继续研究。