一个加强的Hilbert型不等式

辛冬梅，杨必成

（广东第二师范学院 数学系，广东 广州 510303）

其中，常数因子pq为最佳值（参阅文献[1]的定理341）.

2016年，文献[3]给出了一般离散Hilbert型不等式联系参数的等价条件. 类似的结果可见文献[4-8]. 若文献[9](例4.9.1)有如下Hilbert型不等式：

本文拟建立式（5）的一个加强式，并讨论其最佳外常数因子联系多参数的等价条件.

1 一些引理

引理1[2]35设f(2q+1+k)(t)为[m,n]的连续可微函数，存在区间则对于有：

其中，P2q+1(t)为2q+1阶Bernoulli函数，B2q+1为2q+1阶Bernoulli数若还有则有：

引理 2[2]33设f(t)为区间[m,n]的连续可微函数，则有如下Euler-Maclaurin求和公式：

若还有f(∞)=0，则与同敛散；当它们收敛时，有：

定义如下权系数：

固定m∈N，置函数可算得：

2 主要结果

定理1对于θ∈ [0,1]，有如下加强型不等式：

证明由H˙o˙lder不等式[10]有：

再由式（13-14），有式（15）. 证毕.

注2i）当r=q，s=p，θ=1，式（16）可变为式（1）的如下加强式：

定理2下列陈述等价：i）式（18）（或式（15））的常数因子佳值；ii）

证明i）⇒ii）. 因易见故式（16）（取θ=0）可变为：

由H˙o˙lder不等式有：

由式（20），上式取等号. 上式取等号的充要条件是：存在不全为0的常数A,B，使不妨设A≠0. 有即有，即

即有不等式

这与rs为式（5）的最佳值矛盾. 故式（18）（或式（15））的常数因子对任意θ∈ [0,1]为最佳值. 证毕.