拉梅系数在力学中的应用

周 健，马瑛晗，毛英臣

(辽宁师范大学 物理与电子技术学院,辽宁 大连 116029)

拉梅(G. Lamé)系数，又被称为度规元，反映了在任意点P处沿坐标(q1,q2,q3)方向的长度(微元)增量分别与沿各自坐标增量的比值，在数学与物理中有重要的应用.如沈孝明利用拉梅系数给出了动力学方程的一种新形式[1]，张春雷等利用拉梅系数给出了正交曲线坐标系中加速度的矢量求法[2]，谢树艺利用拉梅系数给出了梯度、散度、旋度与调和量的表达式[3], 上述工作仅对拉梅系数在某一知识点的应用进行了介绍.本文对拉梅系数在力学方面的应用做了系统梳理，为方便读者理解、记忆给出了对应物理量的一般表达式，并结合具体事例介绍了其在运动学和分析力学里的应用．

1 拉梅系数

在空间中任意一点，如果3个坐标曲线都互相正交，并且3个坐标曲面也互相正交，则称这样的坐标系为正交曲线坐标系．若空间某一点P的坐标为(q1,q2,q3)，位矢为r，则位矢r的增量为

(1)

(2)

(3)

由式(3)可知，拉梅系数反映了任意点P沿(q1,q2,q3)方向的长度(微元)增量分别与沿各自坐标增量的比值．

图1 球坐标示意图

如图1所示，可通过对球坐标系中拉梅系数的计算来加深对其定义的理解．在点P沿(r,θ,φ)方向的长度增量分别为

dlr=dr， dlθ=rdθ， dlφ=rsinθdφ

根据定义很容易得到球坐标系中拉梅系数为

(4)

同理，易求得其他坐标系中的拉梅系数，如表1第2列所示．

2 拉梅系数在运动学中的应用

2.1 弧长、面元和体元

(5)

进一步，利用上式可以将弧长表示为

(6)

曲线的弧长微元ds在坐标轴上的投影为dsi，通常取弧长增大的方向与对应的曲线增大时坐标曲线的走向一致，这样dsi与dqi就有相同的正负号，从而有

dsi=hidqi

(7)

由此可将面元和体元分别表示为

dSij=dsidsj=hihjdqidqj， (i≠j)

(8)

dV=hihjhkdqidqjdqk， (i≠j≠k)

(9)

2.2 速度

设点P处位矢r可表示为曲线坐标的函数r=r(q1,q2,q3)，其中q是时间t的函数，故点P处的速度可表示为

(10)

利用式(3)可将点P处的速度表示为如下形式：

(11)

式(11)给出的速度是正交曲线坐标系中的一般形式，实际问题中最常用的直角坐标系、极坐标系、柱坐标系以及球坐标系都可看作正交曲线坐标系的特殊情况．为表述方便，可将正交单位向量基用ei(α)(下标标注对应不同的坐标参量)表示．下面以极坐标系为例，来看一下点P处速度的具体表达式．

极坐标系下的位矢r=rer，从表1可知其拉梅系数为hr=1、hθ=r，将其代入式(11)可以得到在点P处的速度为

(12)

所得结果即大家所熟悉的形式．

为方便理解和记忆，笔者在表1中列出了不同坐标系中点P的拉梅系数、位移dr、体元和速度．

表1 不同坐标系中点P的拉梅系数、位移dr、体元和速度

3 拉梅系数在分析力学中的应用

3.1 广义力

分析力学是对经典力学的高度数学化的表达[5]，它通过用广义坐标来描述质点系．对受稳定、理想约束的体系，一般将广义力定义为

(13)

其中qα为广义坐标，将不同坐标系的拉梅系数代入公式(13)，可得极坐标系中广义力为

Qr=Fr

Qθ=rFθ

以及球坐标系中广义力为

Qr=Fr

Qθ=rFθ

Qφ=rsinθFφ

其他坐标系中的广义力被展示在表2中，通过对比表2的第2列，利用拉梅系数可将广义力表示为

(14)

显然广义力Qα是主动力Fi在其坐标方向的投影与相应拉梅系数乘积的代数和．结合虚功的定义和式(14)，我们可以得到广义坐标下虚功的表达式为

(15)

下面，可通过对质点在球坐标系中运动方程[6]的求解过程来理解应用拉梅系数的便捷性．

将球坐标系中的拉梅系数hr=1、hθ=r、hφ=rsinθ代入式(6)可得

(ds)2=(dr)2+r2(dθ)2+r2sin2θ(dφ)2

故质点的速度可表示为

进而可得质点的动能为

将质点动能和广义力代入基本形式的拉氏方程,有

整理可得质点在球坐标系下的运动方程为

这里需要指出的是，在求解质点速度时，还可直接应用式(11)，这样计算更加简洁．从上述分析中可以看出，应用拉梅系数可串联对线元、速度和广义力的求解，从而利于对这些知识的整合理解．

3.2 哈密顿量

对于稳定的保守系统，哈密顿量H等于系统的总机械能，即哈密顿量H=T+V.H的物理意义是代表广义能量，它是用正则坐标和正则动量表示的函数，而利用拉梅系数hα可将广义动能表示为

(16)

因此利用拉梅系数可将系统的哈密顿量表示为

(17)

一般地，势能是已知项，利用带有拉梅系数的广义动能函数很容易求出体系的哈密顿量．例如在求解平面开普勒问题的哈密顿量时，我们可以直接由极坐标系下的动能函数求得系统的哈密顿量[7]．

取极坐标r、θ为广义坐标，则势能为

其中κ为比例系数.将极坐标系的拉梅系数hr=1、hθ=r代入式(16)，可得

故开普勒问题的哈密顿量为

由此我们发现，可不用求解体系的拉格朗日量，便可利用拉梅系数直接写出体系的动能函数，从而得到哈密顿量，简化了运算过程．表2展示了利用拉梅系数表示的广义力、虚功和动能函数的一般表达式．实际上，也可通过坐标变换关系得到用广义坐标、广义速度表示的力和动能等物理量．结合表1和表2可以看出，利用拉梅系数，我们可以把运动学和分析力学串联起来，从而很容易得出力学量的一般表达式，有利于对相关知识的串联整合．

4 小结

本文首先介绍了拉梅系数的定义，然后以球坐标系为例，求解了该坐标系的拉梅系数，进而系统分析了拉梅系数在求解面元、体元、位移以及速度中的应用．为充分理解拉梅系数的使用范围，我们通过两个具体问题讨论了拉梅系数在表示广义力、虚功和哈密顿量中的应用．通过分析，我们可知拉梅系数揭示了一类物理问题的数学基础，利用该量可简化对这类问题的理解．此外，利用拉梅系数表示力学量的过程可以增强对力学中相关知识的整合与梳理．

表2 利用拉梅系数表示的广义力、虚功和动能函数