高等数学教学中的课程思政元素探析

侯茂文

（铜陵学院，安徽 铜陵 244061）

国无德不兴，人无德不立。习近平总书记高度重视培养社会主义建设者和接班人，在多个场合一再强调，教育工作者必须把立德树人作为教育的根本任务和中心环节[1]。高等数学课程作为高校大一新生的一门公共基础课，具有高度的抽象性、严密的逻辑性，但也存在和高中数学脱节、枯燥乏味等难题。因此，高等数学的课程教学需要变得更加有趣生动、寓教于乐，并且把品德教育渗透到课程数学中，让思想政治教育与课程固有的知识、技能传授有机融合，遵循教书育人规律和学生成长规律，更好地促进学生的自由全面发展，实现立德树人的目标。

一、高等数学教学中的爱国主义教育

对大一新生开展高等数学课程教学伊始，我们一般会进行数学史方面的概述，这其中就可以围绕中国古代和近现代伟大的数学领域探索和成就进行爱国主义教育。从战国西汉时期的筹算、十进制和勾股定理；到魏晋南北朝刘徽的《九章算术注》（公元263年）和祖冲之（429-500）的数学成就；再到宋元时期高深数学和珠算盘，公元前3-4世纪至14世纪初，中国是当之无愧的世界数学强国。魏晋时期的数学家刘徽，是中国史上的用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，被称作“中国数学史上的牛顿”。他的代表作《九章算术注》和《海岛算经》是中国重要的经典数学著作。刘徽第一次提出了“极限思想”，并创造性地运用割圆术，得到π=3.1416，被称为“徽率”。此后，南北朝祖冲之（429-500）年进一步把圆周率精确到小数点后第七位，这个纪录直到15世纪的阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破。宋元时期的贾宪创造了“贾宪三角”和“增乘开方法”，前者比欧洲阿皮纳斯的系数表要早400年，后者直到770年后才由欧洲数学家霍纳研究出来。秦九韶（约1202-1261）于1247年写成著名的《数书九章》，提出了“大衍求一术”和“正负开方术”，前者即数学上常说的“一次同余式解法”，后者则为“高次方程的求正根法”。二者在当时都领先于世界。元朝著名数学家朱世杰代表著作《四元玉鉴》和《算学启蒙》把高次方程组解法和高阶等差级数等问题的论述详密精到，美国著名的科学史家萨顿评论说：“朱世杰是他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是整个中世纪最杰出的数学著作之一”[2]。但是随着明清时期推行八股取士的科举制度，在科举考试中大幅削减自然科学的相关内容，自此中国古代数学便开始衰退，中国在数学领域的研究逐渐失去了大国地位。我们也能发现，虽然近现代我们国家也涌现出华罗庚、徐光启、陈省身、陈景润、苏步青等伟大的数学家，他们也取得了举世瞩目的数学成就，但是目前的高等数学教材中很少能够看到以中国人命名的定理和公式。因此，我们的学生在为我们国家取得伟大数学成就而自豪的同时，要有深刻的忧患意识和强烈的民族责任感，要通过自身不懈的努力，让我们国家继续屹立于世界数学之林。

二、高等数学教学中的诚实守信教育

当下大学生随着年龄的增长及接触社会的机会增多，有一部分受到社会不良因素的影响，诚信匮乏，出现诸如恶意贷款、冒充贫困生、表里不一、考试作弊、借钱不还、求职履历作假、涂改成绩、甚至制造假证件和假荣誉证书等不诚信行为。针对这种现象，我们可以结合高等数学教学中的贝叶斯公式进行示例教学：

Thomas Bayes（托马斯·贝叶斯）对概率论和数理统计早期发展有重大影响，作为概率论中的一个定理贝叶斯定理，可以用公式表示出来就是贝叶斯公式。

贝叶斯公式 设随机试验的样本空间为Ω，A1，A2，……,An，为一完备事件组，且P(Ai)＞0(i=1,2,…n)，B为任一事件，若P（B）>0，则有：

在这个公式中，我们通常称P（A1），P（A2），…，P（An）为先验概率，称P（A1/B）,P（A2/B）,…,（An/B）为后验概率，贝叶斯公式就是从先验概率推算后验概率的公式，又称逆概公式。

教学示例1—烽火戏诸侯

烽火戏诸侯，出自司马迁《史记：周本纪》：“褒姒不好笑，幽王欲其笑万方，故不笑。幽王为烽燧大鼓，有寇至则举烽火。诸侯悉至，至而无寇，褒姒乃大笑。”在西周末年，烽火本是敌寇犬戎侵犯时候紧急军事报警信号，由国都到边境各寨都设有烽火台，每隔一段距离就有一个烽火台，一旦敌寇犬戎进攻，第一个发现的哨兵立刻在烽火台上点燃烽火，临近的烽火台看见了，也相继点燃烽火，向附近的诸侯报警，而诸侯看见了烽火就知道京城受到敌寇犬戎的进攻，天子有难，必须起兵赶来救驾。昏庸的周幽王为博美人褒姒的笑容，在没有敌寇进攻的情况下，第一次点燃烽火，各诸侯看到烽火，纷纷带兵到京城城下，结果一个敌人没有，只看到周幽王和褒姒在城楼上饮酒作乐，褒姒见千军万马召之即来，挥之即去，如同儿戏一般，觉得十分好玩，禁不住嫣然一笑。周幽王为此数次戏弄诸侯们，诸侯们渐渐地再也不来了。公元前771年犬戎进攻镐京，周幽王惊慌失措，急忙命令烽火台点燃烽火，可是诸侯们都不再理会，西周灭亡。下面用贝叶斯公式来分析在周幽王三次点燃烽火的情况下，他的信用度下降的程度。我们不妨假设如下：

诸侯对周幽王的初始信任度为0.8，可信时周幽王被认为说谎的概率为0.1，不可信时周幽王被认为说谎的概率为0.5。设A表示周幽王可信，A軍表示周幽王不可信，B表示周幽王被认为说谎。当诸侯第一次看到烽火点燃时，有

由贝叶斯公式，得到：

当诸侯第二次看到烽火点燃时，有

再次由贝叶斯公式，得到

当诸侯第三次看到烽火点燃时时，有

第三次使用贝叶斯公式，得到

当诸侯第一次看到烽火点燃时，长途奔袭到京城时发现被骗后，对周幽王的信任度由0.8下降到0.444。当诸侯第二次看到烽火点燃时，跑到京城发现又被骗后，对周幽王的信任度由0.4下降到0.138。当诸侯第三次看到烽火点燃时对周幽王的信任度由0.138下降到0.031。由于诸侯对周幽王完全失去了信任，最终再也没有一个人在敌寇犬戎进攻时带兵来京城救他，导致国家灭亡。

通过上面这个教学示例教育学生要具有诚信品质，当代大学生应该在学习和生活中注重个人信用评价的点点滴滴，注重个人修养，为自己建立一份良好的个人信用档案，这样才能让自己在这个信用社会立于不败之地。缺乏诚信、背信违约的行为最终导致的结果就和周幽王一样。

三、高等数学教学中的质量意识教育

产品的质量关乎企业生存和发展，质量是坚定不移走强国路、加快实现中国梦的一个战略举措。贝叶斯公式在产品的质量检控中也有着重要作用，可以通过数据的研判来提高生产质量。

教学示例2—产品质检

已知某批产品100件中有次品4件，从100件中任取3件进行质检，若发现次品则认为整批产品不合格，考虑到质检存在误差，正品被误检为次品的概率为5%，次品被误验为正品的概率为1%，求：

（1）这批产品质检结果为合格的概率；

（2）质检结果若为合格，但实际上所取的3件产品中恰有1件次品的概率是多少？

分析：本体的试验可看成两个试验所成之试验序列。第一个试验E1是从100件产品中任取3件产品，第二个试验E2是对3件产品进行检验。该批产品合格即“未发现次品”是E2的一个可能结果，导致这个结果的“原因”是E1的结果：任取的3件中恰有i件次品（i=1，2，3），最终都被检验成了正品。因此，问题（1）和（2）分别利用全概率公式和贝叶斯公式。

解答问题：设事件B表示“未发现次品”，事件Ai表示 “任取的3件中有i件次品”（i=0，1，2，3），A0，A1，A2，A3构成一完备事件组，则

P(B/Ai）是3件中有i件次品时，检验的结果却没发现次品的概率，即检验时将i件次品误判为正品，将3-i件正品判为正品，设产品的检验是独立进行的，于是有

（1）由全概率公式得

(2）由贝叶斯公式得

通过该教学示例提醒学生在未来工作要有充分的质量意识，因为影响产品质量的重要因素就是员工的质量意识，每个人都应该充分认识到质量管理的重要性。

四、高等数学教学中的国防教育

习近平总书记提出的关于人民军队发展的强军目标,铸造一支听党指挥、能打胜仗、作风优良的军队队伍,有利于实现中华民族的伟大复兴，有助于实现中国梦。高等数学教学中面对的大学新生，一般都会参加新生军训并进行打靶训练，结合打靶案例对新生开展国防教育是非常有必要且可行的。

教学示例3—打靶

现在有九支枪，经试射校正过的有三支，用试射过的枪打靶，命中率为0.8，而未试射过的命中率为0.1，任取一支枪进行射击，结果命中了，判断该枪是否试射过。

解：设事件A为“该枪试射过”，事件A軍为“该枪没有试射过”，事件B为“打靶命中”，则A軍，A构成一个完备事件组，有：

由贝叶斯公式得

通过计算结果可以看出，试射过的概率是0.8，而没有试射过的概率为0.2，其中最大的就是引起事件B发生的最大可能原因，所以判断该枪是试射过的。

通过该教学示例，在数学教学中加强国防知识教育，让具有良好知识文化基础的大学生树立国防意识，鼓励优秀的青年学子积极响应国家的征兵任务和国防生计划，保家卫国，为国家的长治久安做出无私奉献。

五、高等数学教学中的抗疫精神教育

2020年，一场突如其来的新冠肺炎疫情蔓延了全国，这三年来涌现了很多可歌可泣的英雄事迹，但更多的是医护人员、大白、志愿者、社区工作者这些普通工作人员点点滴滴的默默奉献，他们的工作精神滋润着我们所有的平凡人。在对学生们进行抗疫精神教育的时候，我们可以从疫情防控期间斯公式的计算看出志愿者们尽职尽责。

教学示例4—疫情防控期间宠物存活率

小张因为疫情发展成为密切接触者，需要隔离14天，家中有一只宠物狗需要喂养，于是在隔离前拜托志愿者照看。如果几天内志愿者记得喂食，小狗的存活率为0，77，如果几天内志愿者忘记喂食，小狗的存活率为0.19，假设志愿者记得喂食小狗的概率是0.8，忘记喂食的概率是0.2.

求：（1）小张隔离后小狗的存活概率是多大？

（2）若小张结束隔离后回家，发现小狗还活着，那么“记得喂食”的概率多大？

解：不妨假设事件A=“志愿者记得喂食小狗”

B=“小狗存活”

由题意可得

（1）小狗的存活概率利用全概率公式计算得

(2）利用贝叶斯公式得

所以小张结束隔离回家，发现小狗还活着，志愿者记得喂食的概率为0.942。

当代大学生作为新时代的骄子，应该以抗疫人物的先进事迹激励自己，以习近平总书记对当代大学生提出的“志存高远，德才并重，情理兼修，勇于开拓”的十六字诀要求自己，争做时代先行者。高校教师更应该将伟大的抗疫精神在日常教学中的融入进去，通过数据分析与以德树人紧密结合，为学生成为优秀的社会主义接班人打下良好的基础。

六、结语

高等数学覆盖面广，教学时间长，是几乎所有专业大学新生的必修课之一，是学好各类专业课的重要基础，在高等数学教学过程中巧妙地不留痕迹地融入德育元素，达到润物细无声的教学效果，让德育贯穿教育的始终，是高校全面推进课程思政建设的关键。作为高校数学教师我们不仅要教给学生科学文化知识，更要为国家培养有信念、有梦想、有作为的学生，达到既教书又育人的教学效果。