考虑役龄的预防性维修计划与缓冲区库存联合优化决策

沈 斌，李 芳，吕文元

(1.上海理工大学 管理学院，上海 200093；2.哈尔滨工业大学 管理学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

为保证生产线正常运行，通常在上下游设备之间建立库存缓冲区，并对设备进行预防性维修。因此，缓冲库存和预防维修(preventive maintenance,PM)联合优化决策一直是研究的热点。

Salameh等[1]考虑缓冲库存持有成本和周期内缺货造成的损失成本，提出缓冲库存优化的数学模型。Chelbi等[2]考虑预防性维修，优化缓冲区大小和预防性维修周期。陆志强等[3]提出一种可修复设备多目标预防性维护决策模型。Nahas[4]为了确定串联生产系统中最优的预防性维修周期和缓冲区分配量，提出在给定系统吞吐量下的预防维修策略模型，并通过算例验证模型。Lopes[5]针对带有缓冲区库存的生产系统，提出考虑产品质量的预防性维修模型。Khatab等[6]在复杂多部件系统维修模型中考虑人员分配的问题。Sett等[7]联合考虑缓冲区库存优化和保修策略建立模型，求解出不完美预防维修活动中的最优策略。Kang等[8]利用马尔科夫决策模型得出带有缓冲区的生产系统中设备的最优维修策略。上述文献考虑了设备之间的缓冲库存，但模型中的故障率只是服从某一概率分布，没有考虑设备故障率相对于役龄以及维修活动的影响。

当设备进行维修之后，故障率会产生变化。为了更清晰地量化这种变化，Malik[9]引入役龄回退的概念，即每次维修后设备性能的改善，故障率的降低过程称为役龄回退。在役龄回退的预防性维修模型基础上，Zhou等[10]考虑故障率增加因子，即设备经过多次维修后故障率增加的情况，提出混合风险维修模型。Aghezzaf等[11]应用混合整数非线性规划方法，优化混合风险维修模型求解方法。潘光等[12]考虑系统预防维修周期随维修次数的变化情况，建立系统预防性维修周期优化模型。陈杏等[13]结合模糊役龄回退机制，构建电力设备最佳运行寿命评估模型。为了更准确地表达役龄回退的过程，考虑役龄回退因子和故障率增加因子的共同影响。刘洋等[14]以多部件系统为研究对象，引入役龄回退因子描述部件不完全维修效果，提出非等检测周期的建模方法。刘宁等[15]考虑役龄回退，提出一种失效概率模型，并采用实例数据验证该模型的有效性。王金贺等[16]将役龄回退模型应用于风电机组的维修问题上，制定定周期的预防性维修策略。上述文献考虑了设备役龄以及役龄回退的作用，但没有考虑由于设备发生故障可能出现缺货损失的情况。

综上所述，学者们对考虑缓冲区库存的维修模型以及基于役龄的维修模型做了很多有意义的研究。本文将缓冲区库存和役龄回退两个因素综合考虑，进一步优化维修策略模型，既能构建故障率更加准确的数学模型，使模型更加贴合实际，又考虑缓冲区库存，有效避免了缺货问题，为维修计划和节省生产成本提供了理论依据。故本文在考虑缓冲区库存和役龄回退的基础上，进行预防维修计划和缓冲区库存的联合优化策略研究。首先，引入役龄回退因子和故障率增加因子，给出故障率表达式。其次，考虑预防维修费用、故障维修费用、缓冲区库存费用和缺货造成的损失费用。以缓冲区库存量和预防性维修周期为决策变量，以单位时间总费用为目标，建立考虑缓冲区库存和役龄回退的预防维修决策模型。通过求解模型，计算出最优的预防维修周期以及缓冲区库存量大小，提出最优的预防性维修策略，帮助企业节省成本。

1 问题描述

本文研究的2M1B生产系统如图1所示，M1为上游设备，M2为下游设备，两个设备之间有一个库存缓冲区，能有效避免生产系统因设备故障造成的缺货损失。上游设备M1的最大产能为α+β。为了保障生产的稳定，平时以速度β进行生产，在每次预防维修前上游设备提高到最大生产速度α+β，以速度α积累缓冲区库存，直到达到目标缓冲区库存量S，将预防性维修周期和预防性维修时间定为一个循环周期。

图1 2M1B生产系统的结构Figure 1 Structure of 2M1B production system

图2为缓冲区库存在周期内的变化轨迹，纵轴为缓冲区的库存量，横轴为时间。其中，Ni(t)指第i−1次预防维修后的故障次数；TF为设备在当前周期的平均寿命；TR为设备故障维修的平均时间。开始时，缓冲区库存从零水平开始累积，以α的累积速率达到目标库存量S后设备恢复正常生产速度，停止累积缓冲区。在预防性维修周期T内设备可能会发生随机故障，每当发生故障时所累积的缓冲区库存就发挥了作用，上游设备停止工作，缓冲区库存持续为下游设备提供半成品以保证生产系统的连续，故缓冲区库存量以β的速率减少，持续的时间为设备故障维修的平均时间TR。发生Ni(t)次随机故障，库存量消耗至S−TRβNi(t)后，时间来到预防性维修的时间点，则进行预防性维修，预防维修时间为Tp，完成之后开始下一个循环周期。预防性维修时间与图2中最后阶段缓冲区库存消耗完的时间相比较后可以判断是否会出现缺货的情况。图中缓冲区库存变化轨迹所包裹的面积与单位库存维持费用的乘积为一个循环周期内库存的维持总成本。

图2 缓冲区库存变化分析图Figure 2 Buffer stock change analysis diagram

设备的随机故障次数和维修后的平均寿命与设备的故障率密切相关，因此需要准确把握故障率在预防维修前后的动态变化。在非完美维修[17]后，设备的剩余寿命发生变化，性能会恢复一定的程度，但不会恢复到全新的状态。为了表示设备故障率的变化，引入役龄回退因子和故障率增加因子，通过役龄回退描述设备进行预防性维修后所恢复的程度，推算故障率函数的演化过程。

通过上述问题描述，本文的研究目的是在把握设备故障率变化情况前提下建立考虑缓冲区库存的预防性维修策略模型，通过求解，计算出最佳预防性维修策略，使周期内的单位时间总费用达到最低。为了使模型更加清晰，结合实际作以下假设。

1) 在开始预防性维修之前，缓冲区库存都会及时地补充至S；

2) 设备初始时刻的故障率服从威布尔分布，位置参数δ 为1，尺度参数m为 2，形状参数η 为2；

3) 在正常的生产过程中，生产系统的补货率大于生产率；

4) 每次预防性维修后都会有足够的产能进行缓冲区库存的积累，且缓冲区补充从零水平开始；

5) 当设备发生随机故障则进行故障维修，故障维修后设备的故障率不发生改变；

6) 每次预防性维修不能使设备修复如新，故障率在预防维修后降到维修前某一程度，并以更快的速度增长，预防维修次数为i，第i−1次预防性维修后的故障率为λi(t)。

本文模型的符号描述如表1所示。

表1 符号描述Table 1 Symbol description

2 模型建立

2.1 目标函数

周期内总费用由预防性维修费用、故障费用、缓冲区库存维持费用和下游设备库存缺货费用构成。故维修模型所产生的总费用为

周期内的单位时间总费用为

故维修策略目标函数为

2.2 故障率的计算

设备的故障率与设备役龄息息相关，故引入设备的实际役龄和有效役龄。实际役龄为设备真实运行役龄，即设备从投入使用开始计时，将所有运行时间相加所得的数值。设备经过预防维修后性能得到改善，状态会恢复到更“年轻”的状态。将设备性能得到改善后的役龄称作设备的有效役龄，有效役龄小于实际役龄。每次维修后设备的改善程度不同，故有效役龄也不同。两者之间的关系为

经过预防维修设备会恢复一定的性能状态，设备的故障率降低。但是，预防维修不会使设备性能提高到全新状态，设备在经过周期性的预防性维修后性能得到相应的改善，但是其运行时间不断累积，随着维修次数的增加，设备的性能衰退速度也会增加，故障率函数呈递增趋势，所以引入故障率增加因子来描述设备性能衰退速度的变化。

设备的故障率在每次预防性维修后状态发生改变。在役龄回退因子和故障率增加因子的影响下设备的故障率函数产生的变化如图3所示。

图3 故障率函数的变化Figure 3 Change of failure rate function

设备在第i个预防性维修周期内的故障率函数受到故障率增加因子b的影响，关系如下。

结合式(6)和式(7)，综合考虑役龄、运行时间、役龄回退因子a和故障率增加因子b，得出故障率函数的变化关系，为

根据可靠性理论[18]，在初始时刻，设备的故障率服从威布尔分布，初始故障率函数为

其中，δ为位置参数，η为尺度参数，m为形状参数。

当系统第i次预防维修时刻到来时，经过预防性维修，故障率下降到本次预防维修时有效役龄所对应的故障率，即经过预防维修后，系统中的设备产生了役龄回退，故障率在一定规律下发生变化。所以，在第i个预防性维修周期内，故障率λi(t)的表达式可以由以下递推关系得出。

2.3 CT(T, S )的计算

预防性维修周期内设备可能发生故障而产生的费用为

不同的预防性维修周期内，设备故障率会产生动态变化，通过推算故障率的演化过程，得到役龄回退下的故障率表达式，故第i个预防性维修周期内的故障次数期望值为

从图2的缓冲区库存变化分析图中可以得出缓冲区库存维持费用为

其中，TRβNi(t)为发生随机故障后缓冲区库存在维修时间内的平均消耗量。

第i−1次预防性维修后设备的平均寿命为

每个周期的预防性维修时间为

预防性维修周期内设备故障维修的平均时间为

通过图2的缓冲区库存轨迹图可以得出，进行预防性维修时会产生两种情形。1) 预防性维修时间小于缓冲区库存消耗时间，不会发生缺货，故缺货费用为0。2) 预防维修时间大于缓冲区库存消耗时间，会产生缺货费用，周期内产生缺货的单位数量为ω (t)。

故缺货费用为

2.4 E(T )的计算

本文模型中每个运行周期的期望为

2.5 模型求解

该模型目标为寻找最优维修策略(T*,S*)，使周期内总费用最低。在求解过程中可以利用历史数据记录进行设备维修决策的优化[19]。本文通过历史数据得出预防性维修和故障维修的固定费用、缓冲区累积与消耗的速率、单位维持费用和单位缺货费用、役龄回退因子和故障率增加因子等参数。然后确定初始故障率函数，初始故障率满足威布尔分布，结合实际选取合适的位置参数、尺度参数及形状参数。

由于该决策模型函数为非线性优化问题，直接求解最优目标较为困难，故本文通过离散迭代算法对模型进行求解，该算法的核心为降维[20]。对预防性维修周期T和缓冲区库存量按一定的步长赋值，通过Matlab计算取值范围内的所有解，以单位时间总费用最低为最优解，求解流程如图4所示。

图4 算法流程图Figure 4 Algorithm flow chart

求解最优决策集(T*,S*)的步骤如下。

步骤1赋值每次故障维修的固定费用c1、每次预 防 维 修 的 固定费用cpm以 及 α、β 、ρ、h等参数，确定自变量预防维修周期T和缓冲区库存量S的步长、初始值和取值范围。

步骤2求解CT(T,S)，赋值CT(T,S*)=CT(T,S)。

步骤3令S=S+ΔS，求解CT(T,S)。

步骤4判 断CT(T,S*)＞CT(T,S)，若 判 断 成立，则赋值CT(T,S*)=CT(T,S)，S*=S。

步骤5输入步骤4的结果，赋值CT(T*,S*)=CT(T,S*)，令T=T+ΔT，返回步骤2，求解CT(T,S*)并 判 断CT(T*,S*)＞CT(T,S*)，若 成 立，则 赋 值CT(T*,S*)=CT(T,S*)，T*=T。

步骤6判断T是否小于设置范围，若成立，返回步骤2，否则结束程序。依次迭代求解，记录所有结果并比较，得到最小值CT(T*,S*)和最优决策集(T*,S*)。

3 算例分析

3.1 数据准备及求解结果

根据相关文献以及实际生产数据，假设威布尔分布的位置参数为1，尺度参数和形状参数均为2。为了便于求解，实际役龄ta设为5 a，预防维修次数设为10。f1(t)服从均值为0.004个月的指数分布，f2(t)服从均值为0.02个月的指数分布，求解步长设为ΔT＝0.1。其他参数如表2所示。

表2 参数数据Table 2 Parameter data

通过上述算法求解，计算结果如表3所示，在取值范围内所有解的模型图如图5所示。对于本文提出的预防性维修策略模型，最优策略为预防性维修周期T=3.9 d，最佳缓冲区库存量S=1 520.3 件，此时单位时间总费用最低，CT*=2 360.1 元。

表3 算例结果Table 3 Example results

图5 可视化模型求解结果Figure 5 Visualization model solution results

当维修策略模型不考虑缓冲区库存时，周期内的总费用包括维修费用和缺货损失费用。将考虑缓冲区库存，不考虑缓冲区库存以及同时考虑缓冲区库存和役龄回退3种情况进行对比分析，分析结果如图6所示。从图6可以看出考虑缓冲区库存的单位时间总费用明显低于不考虑缓冲区库存的维修策略模型。比较最优的预防维修周期所对应的单位时间总费用，综合考虑缓冲区库存和役龄回退的维修策略模型总费用最低，说明本文提出的预防性维修策略模型是有效且可行的。

图6 算例对比分析Figure 6 Comparison and analysis of examples

3.2 灵敏度分析

本文模型中的缓冲区库存补货率和消耗率等参数的取值是通过历史数据得出的，相对固定。故本文首先对以下参数进行灵敏度分析，包括单位库存维持费用h、单位库存缺货费用ρ，以及役龄回退因子a、故障率增加因子b。改变其中一个参数时，其他参数保持不变，计算结果如表4所示。

表4 参数灵敏度分析Table 4 Parameter sensitivity analysis

首先分析单位库存维持费用h和单位库存缺货费用ρ对最优预防维修策略费用的影响。h和ρ以相同的速率增加，变化关系如图7所示。从图7可以看出，当单位维持费用增大时，周期内总费用也随着增大。即库存维持费用增大时，可以适当减小缓冲区库存量。当单位缺货费用增加时，周期内总费用也与之保持正相关，规律与考虑缓冲区的预防维修模型的假定相符合。最优的周期总费用关于单位维持费用h的增长幅度大于关于单位缺货费用ρ的增长，维持费用在缓冲区模型中影响更大。从图8可以得出，最优缓冲区库存量S*随单位维持费用h的增大而减小，即维持缓冲区库存的成本增加，预防维修周期增大，则要适当减少缓冲库存量。最优缓冲区库存量S*随着单位缺货费用ρ的增大而增大，当缺货费用增加时应该增加缓冲区库存，避免缺货带来的亏损，与实际情况相符合。

图7 最优策略费用随h和ρ的变化分析Figure 7 Analysis of the optimal strategy cost with h and ρ

图8 最佳缓冲区库存量随h和ρ的变化分析Figure 8 Analysis of the optimal buffer stock with h and ρ

图9为最优策略费用随役龄回退因子a的不同而产生的变化趋势。在役龄回退因子的影响作用下，每次预防维修之后故障率会恢复到之前水平。当a增加时，CT*随之减小。a增大，代表设备经过预防性维修之后役龄回退的程度更大，会导致故障率降低，减小库存持有量，故单位时间总费用会减小。

图9 最优策略费用随役龄回退因子a的变化分析Figure 9 Analysis of the change of optimal strategy cost with service age regression factor a

图10中最优维修策略费用CT*随着故障率增加因子的增大而增大，由于故障率增加程度加大，周期内进行故障维修的次数增加，维修费用增加，缓冲库存量增大，维持费用也增大，所以最优策略费用提高，符合维修模型的规律。

图10 最优策略费用故障率增加因子b的变化分析Figure 10 Change analysis of the cost failure rate increase factor b of the optimal strategy

设备的初始故障率服从威布尔分布，故针对威布尔分布的尺度参数和形状参数进行灵敏度分析，分别分析这两个参数的改变对单位时间总费用产生的影响以及对维修策略产生的变化，结果如表5、表6所示。由表5可知，当威布尔分布的尺度参数保持一定时，随着形状参数的增加，该模型最优的预防性维修周期减小，所需的最优缓冲区库存量增大，单位时间总费用增大。

表5 形状参数灵敏度分析 ( η=2)Table 5 Shape parameter sensitivity analysis ( η=2)

表6 尺度参数灵敏度分析 ( m=2)Table 6 Sensitivity analysis of scale parameters ( m=2)

表6体现了尺度参数对模型的敏感程度。分析表6可知，当威布尔分布的形状参数保持一定时，随着尺度参数数值的增大，设备的最优预防性维修周期也随之增大，最优库存量和单位时间总成本随之减小。最优策略下的单位时间总费用变化相对于尺度参数的变化比相对于形状参数的变化的敏感程度要差，形状参数的改变对于最优维修策略费用有着较大的影响。

综上所述，根据算例求解得出的最优策略为：当预防性维修周期为3.9 d，缓冲区库存量为1 520.3件时总费用达到最低，单位时间总费用为2 360.1元。对比分析3种模型的维修费用，本文综合考虑缓冲区库存和役龄回退的决策模型的单位时间总费用最低。灵敏度分析得出如下结果。1) 当缓冲区库存维持成本h增大时，最优缓冲区库存量减小，即需要降低缓冲区库存量来节省成本。2) 当缺货费用ρ增大时，最优缓冲区库存量和最优策略费用都增大，此时需要增加库存量减少发生缺货的概率。3) 随着役龄回退因子a增加，故障率减小，系统故障次数也随之减小，需要的维修活动减少，所以单位时间总费用降低，故障率增加因子b与单位时间总费用的关系则与之相反。4) 威布尔分布的形状参数与最优预防维修策略下的缓冲区库存量与单位时间总费用正相关，与最优预防性维修周期负相关；尺度参数则与最优策略下的维修周期正相关，与库存量及费用负相关，且形状参数的敏感程度更大。因此，本文的维修决策模型对于确定预防维修周期和缓冲区库存量有一定的指导意义。

4 结论

本文主要研究了生产系统中的预防性维修问题。综合考虑设备的役龄回退和缓冲区库存，建立了预防性维修计划和缓冲区库存联合优化决策模型，提出了该模型的求解思路，计算出模型的最优解，得出了最优的预防性维修周期和缓冲区库存量，使成本达到最低。通过算例对比分析，以及对相关参数的灵敏度分析(包括单位维持费用、单位缺货费用、役龄回退因子、故障率增加因子及威布尔分布的形状参数和尺度参数)，得到参数变化对最优策略下的缓冲区库存量及单位时间总费用的影响。

算例分析结果表明，同时考虑缓冲区库存和役龄回退的维修模型能够获得成本最优的预防性维修策略。本文所提出的维修决策模型相对于未考虑缓冲区库存的维修模型，单位时间总费用更低。从灵敏度分析可以看出最优维修策略与各参数之间的关系。结果表明，在参数改变时，合适的缓冲区库存量和维修周期能够有效减小维修费用、维持费用以及缺货费用，同时能够有效地降低生产成本。企业决策者可以依据实际情况改变模型的相关参数，调整预防性维修策略。因此，本文所建立的决策模型具有一定的有效性和灵活性，对于降低维修计划总费用具有一定的指导意义，适用于不考虑下游设备故障带来影响的情况。如何在考虑上下游设备同时发生故障的情况下建立维修模型是进一步研究的内容。