GeoGebra 软件在条件极值问题求解中的应用举例

路 云，褚鹏飞

（北京科技大学天津学院 天津 301830）

随着信息技术的日益发展，越来越多的信息技术被应用到课堂教学中，不断优化传统的教学模式。GeoGebra数学软件具有强大的绘图、计算、演示功能，特别是它强大的动态化、交互式的演示功能有效地解决了许多教学中的难点。高等数学是高校理工、经管类学生必修的基础课，理解并掌握高等数学相关知识有利于当代大学生应用数学知识解决实际问题。GeoGebra 软件是一款较容易学习和使用的动态几何软件，对高等数学的可视化教学有很大的帮助。条件极值在生产、生活中有着广泛的应用，学习并掌握条件极值及求解方法对学生后续课程的学习、提高解决实际问题的能力有着重要的作用。

1 常用方法举例

1.1 代入消元法

代入消元法是微分学中求多元函数条件极值问题常用的方法之一。代入消元法思想是“化有约束为无约束”，即将约束条件通过一定的运算转化到目标函数中，从而把条件极值问题转化为无条件极值问题进行求解。

例1 求在条件+=2下函数=的极大值。

解：由约束条件+=2解得：=2，将其代入函数=中，

得：=2=2——无条件极值问题

对上式求导并令=2 2=0，得到一个可疑极值点为（1，1），

代入=得到函数的极大值是1。

求出极值的可疑极值点只有一个，由所学知识可知唯一的可疑点极值就是所求极大值的点的坐标。在学习时学生可以应用所学知识求出其解，但是对于唯一的可疑极值点不需要判断就可以认定为极大值点是存在质疑的。为此，我们应用GeoGebra 数学软件给学生演示出求解过程，从直观上给学生答疑解惑，帮助学生更好地理解、掌握和认同相关知识（见图1）。

图1 z=xy的极大值

例1 中将附加条件+=2代入函数=中求最大值，实质是求平面+=2与双曲线=交线的最大值。由图1 可以直观地看到其交线是一条开口向下的抛物线，此抛物线只有一个顶点，这个顶点就是所求的最大值点。因此，我们通过应用GeoGebra 数学软件给学生直观地演示出求解的几何过程，从而用具体的实例解决了学生的疑惑，帮助学生更好地理解和掌握如何求解最值问题的方法和步骤。

例2 求在条件+=1下函数=2（+）的极值。

解：方法一：由条件+=1解得=1，将其代入函数=2+中，得：=2 1+——无条件极值问题

方法二：由条件+=1解得=1，将其代入函数=2+中，得=2+ 1=+1：——无条件极值问题

注意到在例2 中，同一个问题都是应用代入消元法进行的求解，得到的结果却不一样，第一种消元法只得到了极小值点，而第二种消元法既得到了极小值点也得到了极大值点，那如何判断两种方法的正确性呢？

我们可以通过GeoGebra 软件绘制函数的几何图形来验证，我们绘制出旋转抛物面=2+和抛物柱面+=1，找到两个图形所形成的交线（如图2 所示）。

图2 z=2 x2+y2 的极值

1.2 参数方程求解法

用代入消元法求解条件极值问题是有要求的，如果通过约束条件可以较容易地解出相应变量的单值函数，那么将条件极值问题转化为无条件极值问题是可行的；如果通过约束条件不能解出单值函数而得到的是多值函数的话，这时用代入消元法就不可行了。但可以利用参数方程求解法将条件极值问题转化为无条件极值问题，且计算简单方便。

例3 求椭圆+4=4上到直线2+36=0距离最短的点的坐标。

图3 例3 所求的距离最短的点的坐标

1.3 拉格朗日乘数求解法

拉格朗日乘数法也是常用的一种把条件极值转化为无条件极值求多元函数极值的方法，此方法是通过引入辅助函数和辅助参数，把一个或多个约束条件加入目标函数中，实现把条件极值问题转化为无条件极值问题的目标。此方法的优点是当条件极值问题通过其他方法转化为无条件极值问题后却无法求解、或当问题中约束条件较多时，拉格朗日乘数法可以优先选择，并更便于使用、计算和求解。此方法的缺点是对函数的要求较严格，必须保证函数满足连续且偏导数都存在的条件才可使用。

拉格朗日乘数法如何构造辅助函数和辅助参数呢？以二元函数在一个条件下求极值的情况为例：要求函数=,在条件,=0下的极值问题，只需要通过构造辅助函数,=,+,，并使得所求点的坐标满足以下条件：

求驻点：对求一阶偏导数，并令其都等于0，有：

图4 例4 的最长距离和最短距离

例5 求双曲线=3上离原点最近的点的坐标。

求驻点：对求一阶偏导数，并令其都等于0，有：

图5 例5 的最短距离

通过上述两道例题的求解并用GeoGebra 数学软件进行结果的验证，让我们体会到了拉格朗日乘数法的思想，并学会了如何通过引入拉格朗日乘子将原来有约束条件的极值问题转化为无约束条件的方程组的问题。拉格朗日乘数法是将条件极值问题转化为无条件极值问题一种非常行之有效的方法，为解决相关极值问题带来了非常大的便利。

2 结语

条件极值问题是高等数学中非常重要的部分，其知识点在经济学、运筹学、生产与销售等多个领域中都有着广泛的应用。条件极值知识点的学习和应用具有方法灵活，综合性强，对学生能力要求高等特点，是培养学生发散性思维与创造性思维的重要手段之一。

GeoGebra数学软件易于操作，通过直接使用工具栏中的图标就可以完成常用几何图形的绘制；对于已经绘制好的图形，可直接在绘图区域对图形进行修改。此外，可以绘制动态图形是GeoGebra 数学软件的特色，通过插入滑动条即可实现绘制图形的动画展示。

因此，将GeoGebra 数学软件引入条件极值问题的讲解中，可以通过直观的、动态的图形演示将晦涩的数学定理、抽象的数学定义等知识传授给学生，不仅提高了学生学习高等数学的主动性还增加了课堂教学的趣味性，同时也培养了学生的创新意识，开拓了学生的视野，从根本上提高了学生的综合素质，实现了“以学生为中心”的教学理念和高效的课堂教学。