多角度探究极值点偏移问题——基于2022年全国甲卷理科第21题分析

孙 璪

(贵州省遵义四中)

极值点偏移问题因为其综合性强、难度大,经常作为压轴题出现在高考试卷中.面对复杂多变的极值点偏移问题,应总结处理该问题的通性通法.本文以2022年全国甲卷理科第21题为例,总结解决极值点偏移问题的方法.处理极值点偏移问题一般有四种解法:构造辅助函数法、对称化构造函数、对数均值不等式、双变量齐次化构造.四种方法各有优劣,其中构造辅助函数和对称化构造函数是解决极值点偏移问题的通法,是从“形”的角度解决问题.对数均值不等式是优法,通过进一步优化构造函数的方法把极值点偏移问题转化为对数平均的问题,是从“数”的角度解决问题.双变量齐次化构造是妙法,通过引入参数t减元,将其转化为单变量不等式问题,最后结合分析法证明不等式.

例1已知函数.证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2＜1.

分析lnx－a,令x－lnx＝t,则g(t)＝et＋t－a(t≥1),故f(x)是以t(x)＝x－lnx(x＞0)为内层函数,g(t)＝et＋t－a(t≥1)为外层函数的复合函数.又t(x)＝x－lnx在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,g(t)＝et＋t－a在(0,＋∞)上单调递增,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,且fmin(x)＝f(1)＝e＋1－a,则当f(1)＜0,即e＋1＜a时,存在x1,x2,使得f(x1)＝f(x2)＝0.

1 构造函数——辅助函数

对于例1可以通过构造辅助函数h(x)＝f(x)－直接证明,详细证明如下.

点评构造辅助函数的核心是把要证问题中的多元变量不等式x1x2＜1转化为证明单元变量不等式),即判断h(x)＝f(x)－与0的大小关系.该方法通过构造函数巧妙地把多变量问题转为化为单变量问题,但是在探究辅助函数)与0的大小关系时,由于原函数f(x)的解析式比较复杂,导致辅助函数h(x)解析式更为复杂,从而成为学生的一个难点.因此在后面的方法中进一步转化问题,简化函数.

转化问题此题可转化为内层函数t(x)＝xlnx的极值点偏移问题,由题目分析可知:若a＞e＋1,外层函数g(t)＝et＋t－a在(1,＋∞)上单调递增,则存在唯一的实数t0∈(1,＋∞)使得g(t0)＝0;又因为内层函数t(x)＝x－lnx在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,则例1可转化为例2.

2 数形结合——对称化构造函数

2.1 极值点偏移的本质

从形的角度看,如果一个函数关于x＝a(其中a为函数的极值点)对称,则该函数不会发生极值点偏移.而一旦出现如图1、图2所示的情况,则会发生极值点偏移,其中图1(快减慢增)极值点左偏,即a＜,图2(慢减快增)极值点右偏,即

如图1所示,函数f(x)在x＝a左侧切线斜率变化速率比右侧变化速率快,极值点向左偏移,图像“左快右慢,单峰不对称”,对于任意x＞0,f(a－x)＞f(a＋x),若f(x1)＝f(x2),且x1＜a＜x2,令ax＝x1,则a＋x＝2a－x1(2a－x1＞a),则f(x1)＝f(x2)＞f(2a－x1),由f(x)在(a,＋∞)上单调递增可知x2＞2a－x1,即x1＋x2＞2a.

图1

如图2所示,函数f(x)在x＝a左侧切线斜率变化速率比右侧变化速率慢,极值点向右偏移,图像“左慢右快,单峰不对称”,对于任意x＞0,f(a－x)＜f(a＋x),若f(x1)＝f(x2),且x1＜a＜x2,令a＋x＝x2,则a－x＝2a－x2(2a－x2＜a),则f(2a－x2)＜f(x1)＝f(x2),由f(x)在(－∞,a)上单调递减可知x1＜2a－x2,即x1＋x2＜2a.

图2

若f(x)＝c的两个解分别是x1,x2,且x1＜a＜x2,要证明x1＋x2＞2a或x1＋x2＜2a,实质上是证明极值点左偏或右偏的问题.证明此类问题的本质就是对称化构造函数将自变量转移到极值点的同侧,再利用单调性比较大小.

2.2 对称化构造函数解题

例2对于函数t(x)＝x－lnx,若存在0＜x1＜1＜x2,使得t(x1)＝t(x2)＝t0,证明:x1x2＜1.

证明由于0＜x1＜1＜x2,要证x1x2＜1,即证lnx1x2＜ln1＝0,即lnx1＋lnx2＜0,令lnx＝z(z∈R),则x＝ez,函数t(x)＝x－lnx转化为新函数m(z)＝ez－z(z∈R),函数m(z)在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增,则问题转化为存在z1＝lnx1＜ln1＜lnx2＝z2,即z1＜0＜z2,使得m(z1)＝m(z2),故只需证明z1＋z2＜0.函数m(z)的图像如图3所示.

图3

构造对称函数h(x)＝m(x)－m(－x)(x＞0),下面比较h(x)与h(0)＝0的大小.由于

即h′(x)＝ex－1＋e－x－1＝ex＋e－x－2＞0,h(x)在(0,＋∞)上单调递增,则h(x)＞h(0)＝0.当x＞0时,m(x)－m(－x)＞0,即m(x)＞m(－x).令x＝z2,则m(z2)＞m(－z2),又m(z1)＝m(z2),即m(z1)＞m(－z2).又m(z)在(－∞,0)上单调递减,故z1＜－z2,即z1＋z2＜0.因此,x1x2＜1成立.

2.3 对称化构造函数解决极值点偏移问题的推广

图4

图5

3 代数变形——对数均值不等式

从上面的分析可知,证明x1＋x2＜a(＞a),都是双变元的不等式问题,从不等式的结构可以看出涉及算数平均、几何平均、调和平均、平方平均等,因此极值点偏移的问题可考虑对数均值不等式.

3.1 对数均值不等式

两个正数a和b的对数平均数的定义如下:

证明当a＝b时,等号显然成立.

3.2 利用对数均值不等式解题

在处理原函数中含有ex或lnx的极值点偏移问题时,可通过取自然对数等适当变形,将原问题转化为对数均值不等式模型,将不同的问题化归为同一类型,这样可以简化解题过程,利用对数均值不等式证明例2的具体解法如下.

对称化构造函数与对数均值不等式解决极值点偏移问题实质上都是把两个变元的不等式转化为一元问题求解,本质上都是构造函数.对称化构造函数是利用对称性构造函数,对数均值不等式解法是利用捆绑构造函数(证明对数均值不等式的方法).但是如果不能找到题目中的极值点,对称化构造函数就失效了,此时可利用对数均值不等式来解决.

4 转化化归——双变量齐次化构造

对于极值点偏移问题,可以考虑依据已知条件f(x1)＝f(x2)列方程组,通过两式作差或作商消去参数,将问题转化为只含x1,x2的式子,再利用比值换元)或差值换元(即t＝x1－x2)化归为关于t的函数解题.

以下利用比值换元法和差值换元法证明例2.

4.1 比值换元法

4.2 差值换元法

上面两种解法都是巧引参数t,通过对含有x1,x2的方程组变形分别得到x1,x2关于参数t的等量关系式,最后从结论入手,结合分析法进行证明.这种利用比值换元和差值换元(x1－x2＝t)将x1,x2统一为只含变量t的关系式的方法是一种常见的减元方法,通过换元将双变量问题转化为单变量问题.该解法没有分析原函数的图像性质,而是另辟蹊径构造关于参数t的函数,进而将要证问题转化为关于t的函数进行证明.只要找到x1,x2关于参数t的等量关系,不仅可以证明对称结构x1x2＜a(＞a),x1＋,对于不对称的结构ax1＋bx2＞c(＜c),alnx1＋blnx2＞c(＜c),也可进行证明.但是此方法也存在一定的局限性,即有些题目无法顺利找到x1,x2关于参数t的等量关系.

(完)