机械波经典问题与突破

蒋纬

一、机械波的形成与传播

介质由大量质点构成，相邻质点间有相互作用力，当介质中的某一质点发生振动时，就会带动它周围的质点振动起来，形成机械波。

例1如图1甲所示，一根水平张紧的弹性长绳上有等间距的Q'、P'、O、P、Q五个质点，相邻两质点间的距离均为1m，t=0時刻质点0从平衡位置开始沿y轴正方向振动，并分别产生向左和向右传播的机械波，质点0的振动图像如图1乙所示。当质点0第一次到达正方向最大位移处时，质点P刚开始振动，则（）。

A. P'、P两质点的振动步调始终相同

B.若质点O振动加快，则波的传播速度变大

C.当波在绳中传播时，绳中所有质点沿x轴移动的速度大小相等且保持不变

D.当质点Q'第一次到达负方向最大位移处时，质点P'通过的路程为20 cm

解析：向左和向右传播的两列波关于y轴左右对称，步调总是相同的，选项A正确波速由介质本身的性质决定，与频率无关，故质点0振动加快，波的传播速度不变，选项B错误。质点不随波一起传播，当波在绳中传播时，绳中所有质点只在其平衡位置附近上下振动，选项C错误。振动从质点O传到Q'时，质点P'已经振动了一个周期，质点Q'的起振方向向上，当质点Q'第一次到达负方向最大位移处时，质点P'第二次到达平衡位置处，共运动了1个周期，通过的路程s=4A=20 cm，选项D正确

答案： AD

突破口正确理解波的形成与传播，应抓住以下几点：（1）机械波传播的是机械振动这一运动形式和能量;（2）所有的质点都在其平衡位置附近振动，并不随波迁移;（3）所有质点都在其前一个质点的驱动下做受迫振动，故在无能量损失的情况下，各质点的周期、频率、振幅都与波源的周期、频率、振幅相同，起振方向也与波源的起振方向相同;（4）相距波长整数倍的两质点的振动情况完全相同，相距半个波长奇数倍的两质点的振动情况完全相反。

二、对机械波图像的理解

1.波长入、频率f和波速v的关系满足关系式。

2.波的图像：在平面直角坐标系中，用横坐标表示在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置，用纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移，连接各位移矢量的末端，得出的曲线即为波的图像。简谐波的图像是正弦（余弦）曲线。波的图像表示某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。

例2一列简谐横波在t=0时刻的波形图如图2中实线所示，t=，s时刻的波形图如图2中虚线所示。若波的传播速度8 m/s，则下列说法中正确的是（）。

A.这列波的周期为0.4s

B.这列波沿x轴负方向传播

C.t=0时刻质点a沿y轴负方向运动

D.从t=0时刻开始，质点a经0.25 s 通过的路程为0.4 m

解析：根据简谐波的图像可知，波长入=4 m，则波的周期T==0.5 s，波传播的时间。s—，根据波形的平移规律可知，波的传播方向沿x轴负方向，选项A错误，B正确。波沿x轴负方向传播，根据“上下坡法”可知，t=0时刻，质点a沿y轴负方向运动，选项C正确。从t=0时刻开始经过0.25s，波传播的时间0.25 s=号，质点a通过的路程s=2A=0.4 m，选项D正确。

答案：BCD

突破口根据波的图像可获取的信息：（1）波长;（2）各质点振动的振幅;（3）图示时刻各质点的位移;（4）各质点的加速度方向;（5）若已知波的传播方向，则能确定各质点的速度方向

三、波形图与振动图像相结合

质点振动方向与波传播方向互判的经典方法是“上下坡”法：沿着波的传播方向看，上坡的点向下振动，下坡的点向上振动，即“上坡下、下坡上”。例如，如图3所示，质点A向上振动，质点B向下振动，质点C向上振动。

例3一列沿x轴传播的简谐横波在t=0时刻的波形图如图4甲所示（此时波恰好传播到M点），如图4乙所示是位于x=1m处的质点N此后的振动图像，Q是位于x=10 m处的质点。下列说法中正确的是（）。

A.波沿x轴正方向传播，波源的起振方向向下

B.t=7 s时刻，质点Q开始振动

C.t=12 s时刻，质点Q的位置坐标为（10 m，-8 cm）

D.在5s～5.5 s时间内，质点M的速度在增大，加速度在减小

解析：根据质点N的振动图像可知，t=0时刻后其振动沿y轴负方向，根据“上下坡法”可知，波沿x轴正方向传播，t=0时刻甲图中的M点刚好起振，方向向上，则波源的起振方向向上，选项A错误。根据波形图可知，波长入=4 m，根据振动图像可知，周期T=4 s，则波速m/s，因此波传播到Q点所用的时间t==7s，选项B正确。t=12 s时刻，质点Q振动的时间5 s=T+1，则质点Q的位置坐标为（10 m，8 cm），选项C错误。在5s～5.5s时间内，质点M从波峰向平衡位置振动，其速度增大，加速度减小，选项D正确

答案： BD

突破口振动图像与波形图的联系：（1）由振动图像可确定波的周期，结合波形图获取的波长信息，可求出波的传播速度;（2）由振动图像可确定质点的振动方向，结合波形图可确定波的传播方向;（3）由两个质点的振动图像可画出某时刻两质点间的最简单的波形图;（4）由某时刻的波形图可确定某质点的振动图像。

四、波的多解问题

1.造成波动问题多解的主要因素：（1）周期性，

①时间周期性：时间间隔At与周期T的关系不确定。

②空间周期性：波传播距离Ax与波长入的关系不确定。

（2）双向性。

①传播方向双向性：波的传播方向不确定。

②振动方向双向性：质点的振动方向不确定。

（3）波形的隐含性：在波动问题中，往往只给出了完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其他信息均处于隐含状态，这样波形就存在多种情况，造成相关波动问题的多解。

2.解决此类问题，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，若知道时间关系则加，若知道空间关系则加。

例4一列简谐横波沿x轴方向传播如图5所示的实线和虚线分别为t=0时刻与t=1s时刻的波形图。

（1）若该横波沿x轴的正方向传播，则虚线上x=2 m处的质点到达平衡位置所需的时间应为多长？

（2）若该横波的传播速度v=75 m/s，请分析该波的传播方向。

解析：（1）根据波形图可知，波长入=8 m。当波沿x轴正方向传播时，在0～1s时间内传播的距离As=（n +3） m=（8n+3） m （n =0，1，2，…），波的传播速度v= A=（8n+3） m/s（n =0，1，2， ）。虚线上 x=2 m处的质点到达平衡位置时波应沿x轴的正方向传播Ax=1 m，则所用的时间-8+3 s（n=0， 1，2，.）

（2）若波沿x轴的正方向传播，则在0～1s时间内，该波传播的距离As=（8n+3） m（n=0，1，2，……）。若波的传播速度U=75 m/s，则在0～1 s时间内波传播的距离s=75X1 m=75 m，即（8n+3） m=75 m，解得n=9。显然波可能沿x轴的正方向传播

若波沿x轴的负方向传播，则在0～1s时间内，该波传播的距离As=（8n+5） m（n=0，1，2，……）。若波的传播速度U=75 m/s，则在0～1 s时间内波传播的距离s=75 m，即（8n+5） m=75 m，解得n=。因为n必须为整数，所以波不可能沿x轴的负方向传播

综上可知，当波的传播速度u=75 m/s时，波一定沿x轴的正方向传播。

突破口时间和空间的对应关系：在At时间内波的传播距离为Ax，在T时间内波的传播距离为，在nT时间内波的传播距离为，故波速v=时间和相位的对应关系：At对应p。=2m， T对应2m，例如，同一列波中a质点的振动方程为y=Asint，b质点比它先振动，则6质点的振动方程为。

跟踪训练

1.如图6甲所示为沿x轴方向传播的一列简谐横波在t=0.2s时刻的波形图，如图6乙所示为质点B的振动图像，下列说法中正确的是（）

A.在0～0.1 s时间内，该波沿x轴正方向传播了2 cm

B.从t=0时刻开始，质点A的速度方向和加速度方向均沿y轴正方向

C.在0.2s～0.3 s时间内，质点B通过的路程等于5 cm

D.t=0.1 s时刻，质点C和质点D的速度相同

2.一列自右向左传播的简谐横波，在t=0时刻的波形图如圖7所示，此时坐标为（1 cm，0）的质点刚好开始运动，t=0.3s时刻，质点P首次到达波峰位置，质点Q的坐标是（—3 cm，0），则下列说法中正确的是（）。

A. t=0时刻，质点P的速度方向沿y轴负方向

B.这列波的传播速度为

C.在0～0.3s时间内，质点A通过的路程为0.03 m

D.t=0.5 s时刻，质点Q首次到达波峰位置

3.有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10 Hz，介质中各质点沿竖直方向振动。当绳上的质点P到达其平衡位置且向下振动时，在其右方相距0.6m处的质点Q刚好到达最高点。由此可知波速和传播方向可能是（）。

A.8 m/s，向右传播

B.8 m/s，向左传播

C.24 m/s，向右传播

D.24 m/s，向左传播

4.一列简谐横波由质点A向质点B传播。已知A、B两点相距4m，这列波的波长大于2m而小于20m。在波的传播过程中，A、B两质点的振动图像如图8所示。求波的传播速度

参考答案：1. BC 2. AD 3. BC4. U=m/s或=m/s。