基于变指数趋近律的永磁同步电机滑模控制*

陈德海, 曹永康, 阳 攀

(1.江西理工大学 电气工程与自动化学院,江西 赣州 341000；2.江西理工大学 外国语学院，江西 赣州 341000)

0 引 言

目前，永磁同步电机(PMSM)在航空航天、机器人、新能源汽车等控制领域应用广泛，主要原因是其具有结构简单、器件体型小巧、稳定性高等优点。PMSM的控制策略则影响电机使用性能，因此吸引了一大批学者对其控制方法进行深入研究。

传统的PI控制虽然具有算法简便、易于操作调节、可靠等优点，但是当系统受外界干扰或参数发生变化时，PI控制应变能力不足，抗干扰性较差，鲁棒性差，不能满足系统的实际需求。于是，充分考虑系统各方面的需求特点之后，对其查漏补缺，致其控制策略层出不穷，例如模糊控制[1]、自适应控制[2-3]、神经网络控制[4-5]、滑模控制(SMC)[6～14]等，其中滑模变结构控制具备抗干扰性强、响应速度快、稳定调节时间短等特点，而一般的控制策略不能满足PMSM非线性、多变量、强耦合等特点，因此近年来，国内外学者致力于将滑模变结构控制应用于PMSM控制系统。由于SMC不可避免地会出现抖振、超调等问题，对系统运行有一定影响，研究人员致力于对趋近律进行改进创新，并且以此构造滑模速度控制器，进一步抑制超调和抖振的产生。文献[6]在传统指数趋近律上引入了系统状态变量的幂次方，超调和抖振均得到进一步抑制，但效果稍显逊色。文献[7]将传统指数趋近律的趋近系数设计成倒数关系，系统性能改善明显。文献[8]在指数趋近律的等速项中新加一个关于滑模面s的函数，系统自适应调整能力加强，但趋近律略显复杂。文献[9]用幂次函数以及反双曲正弦函数构造新的趋近律，抖振得到削弱。文献[10]使用新建函数代替传统符号函数，并且引入了一个包含两个状态变量的表达式，优化指数趋近律，降低了系统的抖动程度。文献[11]在双幂次趋近律基础上，增加了自适应项，但是没有考虑外部干扰。文献[12]基于传统指数趋近律，引入了变指数函数和双曲正切函数，提高了系统趋近速度自适应调节能力和抖振抑制能力。文献[13]提出一种带饱和函数的幂次趋近律，系统动态品质得到一定改善。文献[14]在传统指数趋近律上，结合了终端吸引因子和状态变量的幂函数，控制效果得到提升。通过以上文献内容得知，要改善系统超调、抖振等问题，解决方法较多，但或多或少都有其不足之处。

本文设计了一种新的趋近律，在传统指数趋近律基础上，将一个以滑模面s为变量的函数引入等速项中，用以加快系统响应速度，缩短系统响应进程，并优化传统符号函数，对此作了平滑处理，提高控制系统的动态品质。

1 PMSM数学模型

为了方便分析，假设电机元件、条件等是理想的。在id=0的条件下，选取d-q坐标轴下的数学模型，PMSM定子电压方程为

(1)

式中:ud、uq为d轴、q轴定子电压分量；id、iq为d轴、q轴定子电流分量；R为定子电阻；φd、φq为d轴、q轴磁链分量；φf为永磁体磁链；ωe为电角速度。

电磁转矩表达式：

Te=1.5piqφf

(2)

式中:Te为电磁转矩;p为电机极对数。

电机机械运动表达式：

(3)

式中:J为转动惯量;TL为负载转矩;ωm为机械角速度；ωe=pnωm。

2 改进趋近律设计

2.1 传统指数趋近律

指数趋近律这一概念最早由我国院士所提出，并亲自设计了指数趋近律表达式，具体如下：

(4)

式中：s为滑模面函数；ε、q为趋近系数，并且都是大于0的数；sign(s)为符号函数。

算法第一项-εsign(s)是等速项，第二项-qs是指数项。当运动点离滑模面s较远时(趋近运动)，等速项与指数项共同作用，指数项起主要作用；当运动点在滑模面s附近时(滑模运动)，等速项起作用，指数项逐渐为0。其中q越大，到达滑模面所用时间越短，ε越小，到达滑模面时的速度越小。合理平衡两者的数值关系，才能达到加快系统响应速度、减小超调和抖振的效果。

2.2 改进趋近律

趋近律的设计原则：

(1) 运动点在滑模面较远处时，趋近速度要大，加快响应速度，缩短趋近时间。

(2) 运动点在滑模面附近处时，趋近速度要尽量小，以免产生较大的超调。

以趋近律设计原则出发，进行趋近律改进的深入研究，改进后的趋近律表达式如下：

(5)

式中:ε>0，q>0，a>0，b>0。

函数f(s)的作用是加快系统响应速度，缩短系统趋于稳定过程，系统状态变量绝对值的幂次项抑制抖振幅度，减小误差。当运动点在无限远处时，|s|趋近于无穷，则f(s)趋近于无穷，趋近速度大；当运动点在滑模面附近处时，|s|接近于0，此时f(s)≈a/(1+a)，小于1，趋近速度较小。与传统指数趋近律相比，改进后的趋近律在控制趋近速度方面效果较好，超调得到抑制，抖振幅度被削弱，自适应调整能力更为出色。

为了进一步对曲线进行优化，对符号函数采取平滑处理化，让仿真曲线更加平滑顺畅，平滑处理后的符号函数表达式如下：

(6)

式中:σ是一个数值较小的正常数，σ>0取0.01。

2.3 新趋近律性能分析

选用以下系统对趋近律进行性能分析，验证改进趋近律的优越性：

(7)

滑模面函数设为s=Cx，对其求导可得：

(8)

将式(4)、式(5)、式(7)、式(8)进行公式变换，则系统的控制输出u表达式如下：

u=(CB)-1(-CAx+slaw)

(9)

对传统指数趋近律以及改进趋近律控制器进行Simulink建模仿真，而后进行各参数的调试工作(参数自整定方法和频域分析法)，最终选取各参数值为,改进趋近律参数a=15，b=15，两种趋近律共同参数q=10、ε=5。

两种趋近律控制性能效果对比如图1所示。

图1 两种趋近律性能对比

从图1对比可知，在系统响应速度、趋于稳定时间、抖振幅度等方面，改进后的趋近律控制效果比传统指数趋近律更好。

3 滑模速度控制器设计

3.1 控制器设计

在id=0、Ld=Lq=Ls的条件下，对PMSM调速系统进行状态变量的定义：

(10)

式中：ωref为给定转速；ωm为电机实际转速；Ls为定子电感。

由式(1)～式(3)可得：

(11)

将式(11)代入式(10),则：

(12)

(13)

定义滑模面函数s：

s=cx1+x2

(14)

式中：c为待定系数；x1为转速误差；x2为位转速误差的微分。

对滑模面函数s进行微分：

(15)

对式(5)、式(15)进行公式变换，则控制输出u为

(16)

q轴参考电流为

(17)

由于式(17)带有积分项，既削弱了抖振，也降低了稳态误差，系统动态品质得到提升。

3.2 稳定性分析

由李雅普诺夫(Lyapunov)函数：

(18)

可知，对其微分，并代入趋近律，可得：

(19)

4 仿真分析

图2为PMSM控制系统的调速框图，是一个由电流环、转速环构成的双闭环控制系统，其中电流环采用最原始的PI控制方法进行控制，而转速环则运用由改进的趋近律所构成的滑模速度控制器进行控制。随后搭建PMSM调速系统的Simulink仿真模型，并与PI控制器、基于传统指数趋近律的控制器进行仿真效果的对比。

图2 PMSM调速系统框图

电机参数如表1所示。

表1 电机参数表

控制算法参数设置：PI控制电流环Kp=45，Ki=220，转速环Kp=0.06，Ki=3；传统指数趋近律、改进趋近律参数c=200，q=100，ε=280，a=12，b=10。

从图3仿真效果可以得知，在转速方面，系统刚起动时，PI控制器产生的超调最大，稳定下来所用时间也最长；传统指数趋近律控制器超调较小，稳定所用时间较短；改进后的趋近律控制器无超调，并且达到稳定状态所用时间最少。在0.2 s突加负载后，改进趋近律超调最小，传统指数趋近律次之，PI控制表现最差，超调最大，如表2所示。

图3 电机转速变化曲线

表2 转速响应性能对比

为使视图清晰，图4和图5只显示系统起步响应阶段与跳变阶段。图4、图5中，在电磁转矩方面，控制系统刚起步阶段时，改进趋近律和传统指数趋近律控制器接近无超调，但PI控制器产生超调较大。在0.2 s突加负载阶段，改进趋近律响应速度最快，并且稳定下来耗费时间最少；传统指数趋近律响应速度次之，稳定耗费时间次之；PI控制响应速度最慢，稳定耗费时间最多。详细数据对比如表3所示。

图4 电磁转矩变化曲线

图5 电磁转矩局部放大曲线图

表3 电磁转矩响应性能对比

从以下图6～图8可知，在第一次三相电流趋于稳定阶段中，PI控制响应速度最慢，电流趋于0幅度变化最小，并且趋于稳定过程最长，电流容易紊乱；传统指数趋近律与改进趋近律响应速度、电流变化幅度差不多，均较快，电流曲线也比较平稳，趋于稳定过程较短。在系统0.2 s突加负载后三相电流第二次趋于稳定过程中，PI控制不能够及时到达特定转矩，稳定过程中电流变化幅度较大，约2 A，不够稳定，在0.26 s处稳定下来；传统指数趋近律稳定时电流幅度变化较大，约3 A，不够稳定，在0.25 s处稳定下来；改进趋近律稳定时电流幅度变化较小，约0.1 A，稳定性较好，在0.23 s处稳定下来。

图6 PI控制三相电流变化曲线

图7 传统指数趋近律三相电流变化曲线

图8 改进趋近律三相电流变化曲线

从以上仿真效果以及说明解释可知，改进趋近律控制器不论是在响应速度快慢、超调大小方面，还是抖振幅度大小、稳定过程所用时间长短方面，其展现出来的效果均比传统指数趋近律控制器和PI控制器要好，系统动态品质全方面地得到提升。

5 结 语

本文在传统指数趋近律的基础上，针对性地对其不足之处(超调大、抖振幅度大等)进行分析以及解决，具体为在等速项中引入以滑模面s为变量的函数，并将符号函数进行平滑处理。而后构建相关的滑模速度控制器，搭建PMSM调速系统的Simulink仿真模型，并且与传统指数趋近律控制器和PI控制器进行仿真效果对比。结果表明，改进后的趋近律控制器在系统响应速度、抑制超调和抖振等方面控制效果均比之前的方法要更为精进，进一步改善了系统动态品质。由此可见，该方法是完全有效的，并且改善效果显著。美中不足的是，超调和抖振并没有达到完全消除的效果，因此需要再进一步的深入研究。