浅谈新高考背景下的函数同构备考

刘晨凡

这几年以来，高考试卷中对函数中特别是导数的同构类型考得是越来越多，比如2020全国Ⅰ卷12题，2020全国Ⅱ卷11题，全国Ⅲ卷的12题，都考查了同构式，2020山东卷21题也可以用指对同构的方法解答。

并且，各个省份地市的各种模拟考试对同构式也是多有偏爱。比如，2021年八省联考第8题，湖北3月八市联考第8题，都考查了同构式。因此基于同构式子的探讨分析就尤为重要。探索同构式子中的常考问题——指数型函数与对数型函数的同构，对解决指对型含参并且不可分离参数的不等式问题，以及不等式或等式或函数恒成立之类求参数取值范围的，或证明不等式，都能带来极大的便利。

不过现实的情况是：一些学生仍然觉得题目很陌生，好像从没做过类似的题型，不知从何入手。因此在平常的复习备考中，要培养学生善于总结方法，体会问题的本质，做到一题多角度解答，从一个题目灵活多变，生成其他题，多个题目殊途归源用同一种解法，反复训练中提升学生创新思维的能力，转化化归的能力，突出逻辑推理，不断与新高考进行接轨，强化学生内在数学素质。如今高考命题对情境设计有很大的提升，倾向于在现实的基础上对事实材料进行加工，知识从生活中来，也要走入生活中去，不能脱离现实，强调不能死记硬背和盲目的“机械刷题”现象。并努力把创新思考的思维和个人自学的学习能力考查方方面面渗透进命题的全过程，既要“重思维”，也要“重应用”，更要“重创新”，这样的指导理念才能使学生从单纯的解答型应试转变为能力型选手。

高考数学不仅是十二年来从课本上学习的知识的较量，也是考生的心理素质心理稳定和考试技巧考试耐力的比拼。如果想要在紧张的高考中获得良好的成绩，不仅要取决于是否掌握了扎实的数学基础知识，是否掌握了熟练的基本技能以及是否拥有出色的解题能力，还可能取决于临考前的身体健康状况、心理健康状况和考试临场发挥。所以考前的充分复习准备是相当重要的，例如同构题型的熟练程度，同时含有指数形式和对数形式并且含参的题型很有可能用到同构形式，必须要对相关条件进行进一步变形，或配凑常数系数，或添加项。

一、 基础部分

什么是同构？简单地说一个方程或不等式中出现两个变量时，左右两边移项或左右两边增删某些量，使得改变之后左右结构一样，进而利用左右边中明显可以构造出函数的特征去重建一个函数，再利用新建函数求出单调性，最后把方程或不等式变成能求解或能比较的形式。

(2020·新课标卷Ⅱ文数·12)若2-2<3--3-，则

( )

Aln(-+1)>0 Bln(-+1)<0

Cln|-|>0 Dln|-|<0

将已知2-2<3--3-按照“左右两边移项或左右两边增删某些量”的目标变形，然后使用新建函数的单调性本题可解。

由2-2<3--3-移项变形为2-3-<2-3-。

设()=2-3-，

可知()是增函数，故由2-3-<2-3-，可得<，所以->0⟹-+1>1，从而ln(-+1)>0，故选A。

将含和含的各一边放一起，观察到其结构是一致的，很明显是同一个函数的两个不同变量构成的，借助构造出来的函数单调性来求解。

(2020·新课标Ⅰ理数·12)若2+log=4+2log，则

( )

A>2B<2

C>D<

∵4+2log=22+log=22+log=22+log2-1，

∴2+log=22+log2-1。

设()=2+log，利用作差法结合()的单调性即可得到答案。

∵4+2log=22+log=22+log=22+log2-1，

∴2+log=22+log2-1，故2+log<22+log2。

设()=2+log，则()为增函数，

所以()<(2)，所以<2。

()-()=2+log-(2+log)=22+log-(2+log)=22-2-log，

当=1时，()-()=2>0，此时()>()，有>；

当=2时，()-()=-1<0，此时()<()，有<，所以C、D错误。

故选B。

基本策略是：“左右形式相当，对比明显，容易新构建一个函数”，最后再使用新的构建函数判断出单调性再解题。

若+ln=2+ln，则

( )

A<2B>2

C>D<

又由+ln=2+ln，必有()<(2)，即<2，

故选：A。

二、 进阶部分

二轮导数章节复习之后不一定要做到面面俱到，而是要把握重点、聚焦难点、力求突破难点。导数章节中主要复习解决不等式恒成立求参数的取值范围、证明不等式的一种思路：指对函数同构。通过对指对函数同构问题的多级设计，实现知识的层层解析，思维的步步深入，方法的自然迁移。教学过程中，引导学生面对新问题时主动联想已解决问题运用的各种策略，通过观察、判断、分析、比较寻得新问题的解决方法。在问题的逐级递进中，让学生逐渐领悟解决该类问题常用的思想方法，并在此基础上优化方法，从而让学生活用知识，升华思想，提高能力。通过习题的训练，让学生学会识别题目的类型、联想方法，在各种不一样的函数情境中看破题目考查的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”。

新高考数学不仅在题型上，也在试卷结构上进行了创新性的改革，新加入了多选题型及结构不良的试题。新增的多选题，绝对是改革的一个亮点，为不同学习能力水平的同学开了个新视界，按能力需求分配时间，也按能力水平高低考核到各个层次的同学。高考数学中引入了结构不良试题，如果将指对同构放入结构不良问题中就能够更有效地考查学生建构解释数学问题的能力和分析问题能力。结构不良问题中，学生处于绝对主体的地位，自己掌控要让哪些成为条件哪些成为结论，对数学理解能力和数学探究能力的考查是十分积极并且深刻的。

所以在复习的过程中，要将新题型与同构函数相结合，知识点的考查更灵活多变，按照新高考的要求，在复习备考中要指引学生将问题归类，识别题目的类型、联想方法，归纳方法，注重每个题目与其他题之间的关联，在各种函数的不同设计情境中看破题目考查的本质，从而在数不胜数、无穷无尽的数学题目中找到突破的方法，用恰当的、最优的构造函数的方法解决问题。

指对函数同构式到底是什么？同构式是来自指对超越不可解的问题，+与+ln的方程或不等式属于超越方程超越不等式，而+ln更是属于超过了一般高中的函数，所以正常处理这类函数问题，在高中课堂没有解决它的通式通法，只能通过隐零点替换来化简，就是利用、、ln三者之间相互变换，即=ln，=ln简化了分析，最后才得以计算求解。

同构式能解决什么问题？

同构式是一种超越的复合函数，也就是复合函数如果能解决的，构建了同构形式也能解决。在高考中出现的参数范围、零点个数或证明不等式，都能利用复合函数的性质，来快速解题。

同构式怎么构造？如何选取函数？

同构式需要先构建一个从变形的左右边形式一样的函数，我们暂时称为外函数，这个函数要做到：①指对数超越形式；②最值容易求得，函数单调性易证易得。

必须知道的前期知识：

常见同构式：

ln与型：ln=lnln，=ln；+ln与+型：+ln=ln+ln，+=ln+。

( )

则()>()，

当∈(0，1)时，″()<0，当∈(1，+∞)时，″()<0，

∴′()=′(1)=2>0，所以()在(0，+∞)上单调递增，

当∈(0，)时，′()>0，()单调增，

当∈(，+∞)时，′()<0，()单调减，

故选：A。

三、 结构不良新题型

已知函数()=-ln(+2)+ln-2，

(1)若()在=0处取得极值，求的值及函数的单调区间。

(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择。如果多写按第一个计分。

①若()≥0恒成立，求的取值范围；

②若()仅有两个零点，求的取值范围。

(1)略

(2)若选①：

因为()≥0恒成立，则-ln(+2)+ln-2≥0恒成立，

整理可得+ln++ln≥ln(+2)++2恒成立，

即+ln++ln≥ln(+2)+ln(+2)恒成立，

令()=+，

则(+ln)≥(ln(+2))恒成立，

因为′()=+1>0恒成立，

则()为单调递增函数，

所以+ln≥ln(+2)恒成立，即ln≥ln(+2)-恒成立，

令()=ln(+2)-，<-2，

当-2<<-1时，′()>0，则()单调递增，

当>-1时，′()<0，则()单调递减，

所以()在=-1处取得极大值，即最大值(-1)=1，

故ln≥-1，解得≥，

所以的取值范围为[，+∞)；

若选②：

因为()仅有两个零点，即-ln(+2)+ln-2=0在(-2，+∞)上有两个根，

整理可得+ln++ln=ln(+2)++2，

即+ln++ln=ln(+2)+ln(+2)，

令()=+，

则(+ln)=(ln(+2))，

因为′()=+1>0恒成立，

则()为单调递增函数，

所以+ln=ln(+2)，即ln=ln(+2)-在(-2，+∞)上有两个根，

令()=ln(+2)-，<-2，

当-2<<-1时，′()>0，则()单调递增，

当>-1时，′()<0，则()单调递减，

所以()在=-1处取得极大值，即最大值(-1)=1，

要想ln=ln(+2)-在(-2，+∞)上有两个根，

只需ln<1，解得0<<，

所以的取值范围为(0，)。

和上面讲的相吻合，引入了结构不良试题，学生处于绝对主体的地位，自我掌控要解决问题的方向，因势利导，顺势而动，这对数学理解能力和数学探究能力的考查是十分积极并且深刻的。

四、 高考真题再现

(2020年新高考山东卷21)已知函数()=-1-ln+ln。

(1)当=时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若()≥1，求的取值范围。

解：(1)当=时，()=-ln+1，

∴′(1)=-1，

∵(1)=+1，

∴曲线=()在点(1，(1))处的切线方程为-(+1)=(-1)(-1)，

(2)方法一：由()≥1，可得-1-ln+ln≥1，即-1+ln-ln+ln≥1，

即-1+ln+ln+-1≥ln+=ln+ln，

令()=+，则′()=+1>0，∴()在上单调递增，

∵(ln+-1)≥(ln)，∴ln+-1≥ln，

即ln≥ln-+1，令()=ln-+1，

当>1时，′()<0，函数()单调递减，∴()≥(1)=0，

∴ln≥0，∴≥1，

故的范围为[1，+∞)。

又因为函数=ln在(1，+∞)单调递增，

方法一用到了上文同构中的和差型，方法二用到了上文同构中的积型中=ln的形式。两种解法对比下来，可以明显地看到指对同构在处理这类问题时的确有独到的地方，另外，本题还有其他的解法，就不一一展示了。

构建指数对数型函数解析式有灵活的技巧，对学生各种能力的考查要求都很高，比如观察、变形，因此，在复习备考教学中，必须熟练掌握几种常见的同构函数式和三种常用模型，更要注重从本质上让学生领会，透过题目表面看出实质，并能配凑系数常数。

新高考复习备考中要遵循课程标准，一轮抓基础，步步为营，稳扎稳打。落实各种基础能力，在复习指对同构题型的设计上，在基础扎实的二轮复习上再去提高，做到学有余力，学而不乱体系清晰，不盲目的拔高学生的需求，在立德树人中提升学生高考数学的素养。

高考改革后数学考试就统一文理不再分科，也关注高校对中学生人才的选拔的要求和数学在中学人才培养中的作用。依据《新高考过渡期数学科考试范围说明》，科学的设计考试考查的内容，并将这部分内容确定为过渡时期的高考数学考查内容。新高考Ⅰ卷的试题全面贯彻了新高考数学中的考试内容要求。对高校而言，希望能招收到合作互助型的学生，这就强调了学生在日常的学习中也需要相互交流和合作探究，要鼓励他们穷于探索，敢于探索，用自己的思维来思考观察这个世界，培养他们果敢的毅力，合作交流的团队精神，归纳反思的良好习惯。