发散思维 融会贯通——2022年新高考I 卷第7题解法探究与启示

云南师范大学数学学院 华子艳 刘冰楠 （邮编：650500）

数值大小比较题型在高考选择题中出现频率高，知识点涉及面广，综合性强，学生需明晰解法本质，将知识储备融会贯通，有利于其思维品质和关键能力的培养.下面以2022年新高考Ⅰ卷第7题为例，通过对不同解法的评析，感悟试题中数学知识的内在联系，为学生解题活动增加途径与方法，也为教师提高教学实效性提供参考和建议.

1 试题再现

（2022年新高考Ⅰ卷第7题）设a=0.1e0.1，，c=-ln 0.9，则

A.a

C.c

分析数值大小比较问题作为一道选择题，学生只需灵活运用一种解法正确推理出与选项相符的结果即可.但因题目选项相似度高，且存在三个结构不同的待比较实数a、b、c，只凭直观感知或简单计算错误率高，因此在计算该题时，可将解题过程拆分为三部分，分别采取适当的 方法比较“a与b”“a与c”“b与c”的大小关 系.如何从已有的解法储备中迅速检索到与本题相关的要点，或从众多解法中提取“最快最优解”尤为重要.本题遵循高考命题稳中求新的规律，求解过程并非一种解法生搬硬套，而是糅合多种方法，强调知识间的联系，体现高考命题的基础性与综合性，能鼓励学生在发散思维中分析和解决问题，提高知识迁移与综合运用能力.

2 解法评析

解法一 构造函数+作差或作商

因此得到c

解法2 构造函数+取对数法+作差

解答（比较a与b）构造函数同解法1，对a(x)，b(x) 取对数后作差得ln[a(x）]-ln[b(x)]=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令φ(x)=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，φ′(x)=即得φ(x)在(0，0.1]上单调递减，所以φ(x)<φ(0)=0.即ln[a(x)]-ln[b(x)]<0，于是a(x)

评析解法1 属于常规解法，在数值大小比较问题中，常用作差与作商法，考查学生对知识点基础解法的理解应用.但此法往往不能直接得出答案，需辅以其他方法.本题依据数的结构特点构造函数，需要学生有较强的观察能力.难点在于构造函数时，学生难以察觉各数背后隐含的关系，如，进而导致构造函数不得当，无法得到最终答案.解法2 在解法1 的基础上，增加了“取对数”的环节.原因是学生在解题中会将各代数式化为统一形式进行解答，进而联想到课堂中教师教授的技巧“取对数”.尽管增加了一个环节，但减少了二次求导的过程，也不失为一个好方法.

解法3 构造函数+放缩法

解答（比较a与b）构造函数同解法1，由放缩公式ex≥x+1，得e-x≥-x+1，因此ex≤即a(x)≤b(x)，a(0.1)≤b(0.1).依据选项特点得a

评析巧妙运用放缩法，可以针对选择题选项特点快速求解.放缩法对学生的要求比解法1、2 更高，首先学生需掌握一定数量的放缩公式，并恰当选择与本题相符的式子.在无法直接放缩时，还需针对不同结构的实数进行变形，进而得到相联系的数量关系，有效考查学生数学运算和逻辑推理等素养.教科书的课后习题中也有求放缩公式的例子，如人教A 版选择性必修第二册《5.3导数在研究函数中的应用》课后习题第12题.因此教师可多关注试题的拓展外延，利用优质试题丰富学生解题视野，体会其变式应用，并引导学生主动发现和提出问题，在培养发散思维的同时获取基础知识、基本技能，积累基本思想、基本活动经验，在体验探究中推动学生核心素养的发展.

解法4 构造函数+放缩法+飘带函数

解答（比较a与c）构造函数同解法1，由放缩公式ex≥x+1，得e0.1≥1.1，因此a=0.1e0.1≥0.11.又因为有飘带函数所以c(0.1)=-ln(1-0.1)由此可得c

评析飘带函数不属于《课程标准》规定的具体课程内容，但可由高中所学知识推理得出，属于延伸性知识，在实际解题过程中只有少部分学生能用到这种非常规的进阶解法.由解题步骤可知，较之前的解法更清晰直观.因此教师在教学中可由“低起点”引入，对一些“高观点”下的解题方法进行适当补充，并鼓励学生勇于探索新解法，感受数学探究之乐.

解法5 直接计算+放缩法

解答（比较a与b）

解法6 直接计算+放缩法+取幂

解答（比较b与c）

因此b>c.

评析最后两种解法对学生的思维发散性及数学运算能力要求较高，计算量大且复杂.在日常练习中可以鼓励学生使用，但由于考试时间受限，学生需对不同方法的便捷程度和有效程度进行甄别，以期择出既简便又快速的“最优解”.这就需要教师和学生在教学中共同努力，对练习题进行深度挖掘，获取解法中的内在联系.课下功夫做足，运用时才能融会贯通，有选择的空间.

3 解法启示

2022年新高考Ⅰ卷第7题属于数值大小比较问题，体现了基础性和综合性的考查要求.在解题过程中运用作差法、作商法、构造法等比较实数大小的基础方法，注重数学本质和通性通法，持续渗透理性精神[2].解题过程中解法灵活多变，学生针对不同解法的特点进行恰当选择综合运用，淡化解题技巧，培养发散思维能力.且每种方法都呈现不同的切入点，培养学生敏锐的数学眼光，也对学生的综合能力以及逻辑推理、数学运算核心素养提出了一定的要求，发挥数学学科的选拔与引导功能，体现教育公平.

对题目解法的多样性评析，不但能提高学生学习兴趣，帮助学生认知自我，增强自信，也能帮助教师改进教学，提高质量[1].走马观花式的解十道题不如解透一道题，模式化的题海战术不利于学生思维品质特别是发散思维和创新品质的培养.在实际课堂中，教师往往重视解答题的讲解而忽视了选择题中巧妙又广阔的天地.教师可以尝试在课堂教学中更广泛地选择能发散学生思维的题目，不仅仅局限于一些难以解答的“低分题”，借由探究过程，达到师生共同重过程，重思想，重探究的教学氛围，充分发挥题目在课堂中的“能力之助，探究之效”.