优化高中数学概率统计教学策略研究——以“德·美尔”问题的教学为例

朱 瑾，李碧荣

(南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 530100)

1 引言

概率统计是高中数学的一个重要内容，高考对于高中数学概率统计的考察，题型多种多样。概率统计的大多数概念都比较抽象，让部分教师在教学中感到困惑，学生理解具有一定的难度，以至于学生解题没有思路，找不到切入点。概率起源于中世纪的博弈问题—金币分配问题，又称之为“德·美尔”问题。本文主要以高中概率统计的古典概型中的经典问题——“德·美尔”问题为例，通过评析教学案例发现教学的优点与不足，针对呈现出的问题，分析出现问题的原因，结合波利亚解题进行比较分析，进而提出相应的优化教学效果的建议。

2 高中数学概率统计教学案例评析

以下案例是作者见习时观摩的一位青年教师的课堂教学的一个教学片段，课题是人教版必修三的古典概型。本文对该古典概型中的金币分配问题教学片段进行分析研究。

2.1 案例展示

(1) 创设情境,故事分享

师：概率的历史源于中世纪的博弈问题，后来称之为“德·美尔”问题：博弈实力相当的两个人甲和乙，每人各押32个金币，先赢得对方三次的人获得这64个金币。博弈进行了一段时间，甲赢了对方两次，积2分，乙赢了一次，积1分。如果这时博弈被迫中断，那么这两人应该怎么分这64个金币呢？[1]

师：是不是按照一人一半去分金币？

生1：对于甲来说不公平，甲已经赢了两次，乙才赢了一次。

师：是不是根据赢的次数来分呢？

生2：如果甲赢一次，就能赢得全部金币，而乙还要赢两次才能赢得全部金币。这样分也不公平。

师：那应该怎么分才合理公平呢?让我们一起来探究今天学习的主题——古典概型。

(2) 合作探究,探索新知

古典概型(有限的等可能概型)，用公式表示为

师：你能举出古典概型的例子吗？

师：你能总结一下古典概型满足的条件吗？

生4：其一，所有可能出现的结果有限(有限性)；

其二，每种结果出现的可能性相等(等可能性)。

师：金币分配问题是古典概型吗？思考如何计算。

(学生分组，合作探究，教师引导)

师：甲在第四局获胜的概率是多少？

师：甲在第四局落败，在第五局获胜的概率又是多少呢？

师：于是金币“公平”的分配方式是？

师：“公平”一词在博弈中的含义是什么呢？

师：事实上，博弈的“公平”性是和概率中的一个概念“期望”密切有关，后面再揭晓答案。

2.2 案例评析

这部分教学有以下优点：整体思路合理，案例最大的亮点是选择的问题情景——“德·美尔”问题。故事引入吸引了学生的注意力，进而引出金币分配问题，充分激发了学生思考。问题设计合理，课题展开自然，教学过程循循善诱，教学内容娓娓道来，注重师生间的交流合作等。

不足之处有以下几点：

(1) 对古典概型思想挖掘不够，只是轻描淡写地给出了计算公式，不利于学生对于古典概型概念的理解。面对高考的压力，教师往往只重视解题教学，轻视了系统化知识的探究性教学，从而可能导致学生理解不深刻，很多时候学生仅仅记住某个符号，却未能理解符号所代表的真正含义。案例中教师直接给出古典概型的计算公式，再总结满足公式运用的条件。此时大多数学生都无法理解公式的真正含义，进而对于公式的应用就更加困难。

(2) 对于解决金币问题的难点，教师直接引导提问，没有从学生的角度出发引发学生思考，而是把事件发生的可能情况全部灌输给学生。这样做，学生在学习过程中会出现主体性不强的情况。此时学生的学习心态、学习方法和学习习惯等，还没有形成一个良好的体系，在学习过程中，过多依赖于教师，学生的主观能动性就相对比较薄弱，教师直接把基本事件发生的可能情况输出给学生，学生没有思考的空间，无法探索到数学的奥秘，久而久之，学生对于数学知识的学习兴趣就会慢慢降低。在教师的引导下，学生可以容易理解所学知识，但是当学生独立分析和解题时，往往无从下手。对于有些学习落后的学生，可能会形成恶性循环，自信心受到打击，并且没有养成好的学习方法，思维得不到开发，加上概率统计知识比较抽象，这些学生难以理解学习的重点和难点，导致数学知识的学习往往一知半解，理解不深刻，做题过程中容易出错。

(3) 概率论的解题要旨在于对未发生事件进行估计和评价，根据基本事件发生的概率来解决问题[1]，而教师在教学过程中没有充分渗透概率统计的思想，衔接比较生硬。在概率统计学习的过程中，学生的逻辑思维能力是关键条件，运算能力是基础条件，然而，在实际生活中学生缺乏对于这方面的敏感性，很难形成关于概率统计的一些直接经验。所以，对于金币分配可能出现的情况，学生很难建构新学知识与已有知识之间的联系，也很难利用综合、分析、想象、判断、推理和运算进行解题。对于这部分知识的教学，教师只是简单地求解金币分配的答案，没有达到渗透概率统计思想的目标。

(4) 虽然教学过程中注重师生间的交流合作，但很多交流和提问都是无效的。对于事件可能发生的情况的认识，没有留给学生试错的机会，而这是学生突破思维的关键点，教师却没有做到真正意义上的引导。有些教师认为概率统计不好教，主要有两个方面的原因，一方面，教师自身对于这部分的专业知识虽然掌握，但教学较少贴合学生的直接经验，容易导致教师讲不生动和学生不易理解；另一方面，教师没有根据学生的思维和身心发展情况选用恰当的教学方法，导致学生不能实质性地掌握概率统计的知识。案例中，教师就是没有从学生的角度出发，难点部分没有让学生独立思考和进行小组讨论，没有思维火花的碰撞。教师把正确的思路告知学生，学生仅仅顺着教师的思路来思考，所以师生之间的提问与交流是无效的，采用的教学方式也没有贴合学生的理解需求。

综上所述，学生对概率统计的学习，没有真正地掌握内涵，仅仅记住某个符号或概念，并没有真正地把握问题的实质，做题时往往考虑不全。 在教学的过程中，教师要重点讲授概念的实质以及概念间的关系，激发学生积极思考，并且在思考过程中允许学生犯错，根据具体情况适当展开讨论，引导学生一步步逼近正确答案。学生在做题的过程中，容易受到前摄抑制的影响，学生面对简单的题目，有时会想得比较复杂；面对复杂的题目，其知识体系又不完善，往往无法运用整体知识进行分析。那么如何化解这些问题呢？下面主要利用波利亚解题理论针对该问题进行分析。

3 高中数学概率统计的教学建议

波利亚解题法从问题和已知条件入手，层层深入，找出已知与未知的联系，对于概率统计概念的理解十分有帮助。对于大部分概率统计的知识都可以进行四步法的教学。我们利用波利亚解题思想针对以上典型问题进行教学设计，提出高中数学概率统计的教学策略，以期为解决上述存在的问题提出改进方向，为优化高中数学概率统计的教学提供教法参考。

3.1 波利亚解题

在概率统计解题的过程中，学生往往独立思考难以解决问题。以分金币问题为例，通过对该问题的具体分析和解决来渗透概率统计的思想方法。

运用波利亚解题具体分析过程如下。

步骤一 了解问题—关于题意的思考。

问题1 你需要求解的是什么?(明确求解目标)

要求解的是分配金币，实现“公平”合理。

问题2 已知条件有哪些?

已知条件如表3-1所示。

表3-1 题目已知条件

先积3分者,赢得全部金币。目前甲得2分，乙得1分。

步骤二 拟定计划--关于已知量和未知量之间联系的思考。

问题3 怎样才能实现公平呢？

思考1 结束博弈至多还要2局，结果有4种等可能情况，如表3-2所示。

(学生独立思考可能出现的情况，再小组讨论，最后进行汇报，教师评价)

表3-2 可能出现情况 局数：2局

表3-3 得分情况

由表可知，可能出现的情况共有四种：

甲甲—甲获胜。

乙甲—乙先积1分，此时甲乙各2分，接着第二局，甲获胜。

甲乙—甲又积1分，共3分，甲获胜。

乙乙—接下来的2局，都是反面，乙积3分，乙获胜。

思考2 如果在原来的基础上再掷一次，会出现什么情况呢？

有两种情况：甲获胜或甲和乙平局。再结合已知信息进行分析。

步骤三 实行计划—注意运算过程中每一步的正确性。

根据以上的分析，写出具体的解题步骤。

解题方法一

甲甲：甲获胜。

乙甲：甲获胜。

甲乙：甲获胜。

乙乙：乙获胜。

解题方法二

(1) 若出现正面，甲积 3 分，获全部金币；

(2) 若出现反面，甲、乙各积 2 分，平分金币。

两种情况可能性相同，平均一下两种情况：

步骤四 回顾与反思。

(1) 正面检验每一步，分析合理，具体解题逻辑正确，演算准确，再思考有没有特殊情况，如果有再进行补充说明。

(2) 回顾反思解题的过程，首先要仔细读题，准确理解题意，明确问题后，了解有用的信息，及时提取有效信息，将有关信息资源作合乎逻辑的整合。

(3) 从解题的整个过程和结果上看，这是综合分析法的一次有效运用。

(4) 解决问题时，先考虑一般解法，其次是功能性问题的解决，最后是特殊性问题的解决。

(5) 在心理机制上呈现出激活扩散的基本过程，激活记忆网络中的知识并向外扩散。

3.2 比较分析

第一种教学，教师精心创设情境，以提高课堂教学的有效性策略，从数学史引出金币分配问题，把问题情境与学生的学习兴趣紧密联系起来，有利于学生理解问题情境中的数学问题。问题的开启渗透了数学史和数学文化，但是问题设计和交流对话显得单薄，学生参与面和参与度不够广、高，无法激发学生思考的火花，这是比较遗憾的。第二种教学，波利亚解题的过程，既依据了课本，又拓展了课本，注重使学生“知其然”，更“知其所以然”。波利亚解题注重引导和启发学生发现和思考问题，反对填鸭式地塞给学生，采用多种有利于学生发展的教学方式，如自主学习、探究性学习、小组合作。波利亚解题强调教师应该让“学生在现有的条件下亲自去发现尽可能多的东西”，思想应在学生的头脑中产生，这样有利于学生亲自去发现，今后一旦需要，学生便能够再次利用它。

两种教学都能用教材教，而不是教教材，尤其第二种教学能创造性地使用教材，相同的内容,不同的课堂结构，形成对比。以上针对第一种教学，分析上课中展现出的亮点与不足，并对出现的问题针对教师和学生进行具体分析；而后通过波利亚解题展示了第二种教学，波利亚解题的理念在一定程度上可以弥补第一种教学的不足，强调引导学生参与观察、分析、思考、猜想、判断、归纳的过程，激发学生主动发现和探索知识，引起学生思维火花的碰撞，经历初步学会运用数学进行观察、分析和判断的体验过程。

根据以上的案例，结合教学中出现的问题和波利亚解题理念，对高中生学习概率统计的知识提出几点优化教学效果的建议。

3.3 教学建议

3.3.1 循序渐进地教学

以学生为中心，循序渐进地教学才是上好课的核心因素，只有把过程做好了，才能取得最终的成功。

(1) 学生对于概率统计的基本概念，主要借助生活实例(比如：生活中常见的抛硬币游戏、天气预报等)来帮助理解。

(2) 教学中注意要由易到难、由浅入深、由简单到复杂、由具体到抽象，做到步步深入[2]。即教师要先从简单的概率统计题目讲起，设置问题的梯度，然后不断加大难度。可以选择具有开放性的题，每位学生都能发表自己的看法，切记教师直接引导，扼杀学生思考的空间，教师要针对具体问题具体分析，针对不同的学生用不同的方法，这样有助于因材施教。

3.3.2边理解，边记忆

传统的高中数学教学往往不太重视概念定理的推导和证明。由于高考的压力，大多都专注于解题训练，而很多数学暂时落后的学生，他们往往只记住某个数学符号或者公式，并不能真正理解它们所代表的真正含义。所以数学教学应该重结果，但更重过程，学生在教师的引导下积极探索，边理解概率统计的知识，边进行识记，有利于学生更加深入地掌握知识。

3.3.3 优化数学课堂教学模式

(1) 课前预习环节

(i) 提前预习所要学习的内容，教师帮助学生把握预习的时间和程度。

(ii) 在预习过程中引导学生独立思考，保留自己最真实的想法，遇到不理解的问题着重标出，可以积极地和同学探讨，也可以上课认真听讲，和老师进行探讨。

(iii) 预习要有计划地进行，有重点地进行，注重重点和难点的思考，教师要允许学生犯错，允许学生预习时有不同的想法和观点。

(2) 课上学习环节

上课是教学的中心环节，是学生学习知识的主要途径，因此课上学习环节极其重要[3]。

(i) 注重以一定的方法、技巧引入新课。良好的教学引入可以吸引学生的注意力，充分调动学生的积极性和主观能动性，保证教学的效果。

(ii) 注重知识讲解的过程，根据学生的实际情况，采取适当的教学节奏，以便于中学生可以跟上教学节奏，实现每一位学生在数学上都能得到各自的发展；

(iii) 在数学教学的过程中，引导学生积极主动与他人交流探讨，可以分组进行讨论。对于重难点的学习，这个方法尤为适用，学生之间合作讨论，可以相互学习，相互促进，共同进步。

(3) 课后复习环节

经过课上的学习，往往只能形成短时记忆，要想真正地理解和识记知识，必须及时合理地复习。经常反复巩固所学的知识，才能将其内化成学生自己的知识，为以后综合运用知识打下坚实的基础。对于简单的知识，在理解的基础上适当加以运用，对于复杂难懂的知识，可以利用比较法进行区分和识记。

综上所述，在整个概率统计学习的过程中，注意学生思维的训练，充分运用教学艺术，教会他们学会学习，自觉地完成学习能力的锻炼，并合理设置学习任务。概率统计知识比较抽象，而学习这部分知识时，学生正处于思维发展的过渡阶段，这就需要从中学生学习思维和身心发展的规律出发，采用科学的教学方法来进行教学，即教学要走在学生发展的前面，并且要落在最近发展区内，这是学生通过努力可以达到的效果。此外，教学的过程中，教师要注意培养学生建构知识的能力。根据建构主义理论，教师的教学不能忽视学生已有的经验，要让学生以学生在实际生活中所积累的直接经验为基础，进行概率统计知识的学习，这样有助于学生更好地理解，对于练习和应用也更有帮助。根据学生的实际情况适当地利用波利亚解题表，通过学生和教师共同的改进和努力，解决概率统计教与学存在的问题，使概率统计的教与学能够如鱼得水。