高中数学核心素养的探究体验

童 春

（铜陵市第十七中学，安徽 铜陵 244000）

为了提升人才培养的质量，增强国家间的竞争力，教育部提出了“核心素养体系”这一概念，并将它作为新课标修订的依据。新一轮数学课程改革中，已经明确确立了崭新的理念，将数学学科素养致力于中心位置。新标准颁布之后，最重要的任务是落实高中数学核心素养在当前的数学教学实践中，新课标希望一线教师从每节课中“跳”出来，进行主题式教学，强调“抓住数学的本质”“注重单元整体式教学”“侧重情景创设和问题的提出”。为此，笔者通过高中数学必修一[1]第三章第一节《方程的根与函数的零点》的课堂教学探究以及对高考题型的分析来体验高中数学核心素养的落实，尝试体会高中数学核心素养的内涵—价值—目标。

一、“四基”的掌控

高中数学核心素养下需要学生在学习数学的过程中要掌握“四基”，即：基本活动经验、基本数学技能、基础知识和基本数学思想。基础知识——方程的根、函数的零点、函数图像与x轴交点三者的关系，从而理解函数零点的存在性定理。基本数学技能——通过在前面两章函数的学习，学生们基本掌握了函数图像与函数性质在解决问题中的重要作用，一部分学生已经掌握了基本初等函数的图像与性质，基本具备了初步的数形结合能力。基本数学思想——函数的零点既是“数”的形式又是“形”的表现，它将数与形,函数与方程紧紧联系在一起，体现了数形结合思想在数学中的应用，同时为下节课学习“用二分法求方程近似解”及后续要学习的“算法”埋下伏笔，在此它起着承上启下的作用。基本活动经验——教学中主要是引导学生通过画图、观察、类比、推理、归纳等活动后，最终探究出方程的根与函数零点的关系，随后继续利用二次函数图像及延伸到抽象函数来判断方程根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，这是本节课的重要任务。针对 《方程的根与函数的零点》这节课，学生已经学习了函数的概念，以及对初等函数的图像和相关性质有了比较系统的认识，但他们的观察，归纳能力不是很全面，从而对本节内容的理解和掌握有一定的困难。

二、“四能”的渗透

这节课的重点：一是函数零点的概念及其本质；二是函数零点存在性定理。难点是探究发现函数零点的存在性定理。为了将数学核心素养落实于这节知识的教学中，笔者的构建思路是选择采用 “提出问题—引导探索—得出结论—深入本质”的教学模式，选用新媒体技术为教学手段的创新课堂，通过观察新媒体技术展现的精确函数图像，得出概念，归纳定理。教学过程在新媒体技术的辅助应用下，由浅入深，循序渐进，从而达到在学习数学和应用数学这两个过程中发展数学抽象思维、逻辑推理能力等数学核心素养目的。为此，教学过程中要利用多媒体制作的精确函数图形把如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题作为教学的关键任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。通过这样的教学模式可以感受到落实核心素养并不是“空中楼阁”，而是要以“四基”“四能”为抓手，帮助学生建立研究数学问题的一般过程与方法[2]。

在应用数学中要提高“四能”，即发现问题，提出问题，分析问题和解决问题。为了让高中数学核心素养渗入课堂教学，笔者提前准备了《导学案》引导学生从下面的探究过程进行学习：提出疑问、导出新课—互动探究、形成概念—演示练习、总结提炼—讨论探究、观察感知—总结定理、深入理解—巩固知识。《导学案》着眼点和侧重点在于培养学生自主学习和建构知识的能力。

首先，提出疑问、导出新课。

问题1：根据所学知识判断下列方程有哪些根？

(1)2x-1=0; (2)x2-2x-3=0; (3)lnx+2x-6=0

此问题的设计意图主要是由熟悉的简单方程到超越的对数式方程，让学生产生困惑，从而激发学生的探求新知欲望，正是体现了数学核心素养中“四能”中的发现问题，采取提出疑问的方式让学生产生学习本节课知识的欲望，进而产生了“四能”中的提出问题,侧重情景创设和问题的提出。

探究1：探究下列三组方程与函数（见表1）

表1

给出学生熟悉的一元二次方程与其对应的二次函数图像进行探究，从中发现方程的根即是函数图像与x轴交点的横坐标，顺势提出也即是函数的零点概念。此探究过程则是很好地体现了“四能”中的分析问题过程。由学生自主学习《导学案》后，再利用此白板表格中的遮挡功能进行师生互动，运用多媒体技术使课堂教学变得生动、有趣，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，提高学生的学习能力。随后笔者再利用白板技术展示每个精确的函数图像，让学生从同一坐标系下准确观察交点情况，以便生成预设知识。在此还可以重视培养和强化学生利用网络进行自主性学习的意识，鼓励学生拓宽自主学习的渠道，把信息技术作为支持终身学习的手段，并把它作为适应信息社会的学习、工作和生活的基础。这个过程则是从“事实”到“概念”是一个“数学化”的过程：赋予探究方程和函数研究方向—借助两者的对应关系—归纳共性—给出定义。为了进一步激发数学核心素养下的数学学习而逐步形成具有数学特征的“四能”中的解决问题能力，便给出练习：

求下列函数的零点：

（1）f(x)=-x2-2x+3 令 f(x)=-x2-2x+3=0 ∴x1=-3,x2=1

（2）f(x)=2x-3x 令 f(x)=2x-3x=0 f(x)=2x-3x

学习到这儿学生对本题的复杂函数零点的判断束手无策，笔者在此刻利用了几何画板将其图像展现，让学生直观地找到了零点。其中概念形成后，对“事实”的分析、共性归纳是关键之一，“辨析”又是另一个关键，于是紧追着加以理解，反馈到解决简单函数零点的应用，进而发现求函数零点的方法。

其次，讨论探究、观察感知。

探究2：观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图像

此处先有特殊具体函数情况来引导学生对零点的存在性条件作初步分析，再将问题延伸到更为一般的抽象的函数中作进一步探究。

探究3：已知函数图像y=f(x)经过下图（1）、（2）、（3）、（4)中的 A,B 两点，试用一条连续不断的曲线将A,B两点连接，则连线一定会与x轴有交点的图是？ （见图）

图1

由探究2中具体的函数图像继续深入到更为一般的，抽象的函数图像进行定性分析，引导学生通过对具体问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，归纳有价值的数学结论--零点存在性定理。此处让学生在白板的辅助下互动探究，展示他们的想法，充分体现了数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性，这正是落实数学学科核心素养关键点之处。

三、“三会”的领悟

为了让学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，进一步发展学生的理性思维，使学生学会有逻辑地、创造性地思考问题，把问题提升到应有的高度，形成学生数学能力，这是数学核心素养的灵魂。最后，理解定理、强调本质。

为此对零点的存在性定理提出更深层的思考：

（1）如果函数 y=f(x)在区间[α,b]上有 f(α).f(b)＜0,那么，函数 y=f(x)在区间（α,b）内一定有零点吗？请说明理由；

（2）为什么开始是区间[α,b]，后来又变成了（α,b）呢？

（3）增加什么条件时可以使得函数y=f(x)在区间（a,b）内有唯一零点？

在电子白板的交互下，放手让学生对这几个反应定理内涵的思考积极阐述各自的想法，分别请学生上讲台在SMART交互式白板上画出他们想画的曲线，彼此进行对比，之后由学生们尝试用自己的语言表述，总结问题结论，此教学过程不仅体现了研究一个数学问题的一般过程和方法，关键是让学生领悟到了“三会”的本质与内涵。

本节课一共提出了七个问题，以问题驱动思维，突出问题链，在教学过程中，随着学生思维的发展，问题设置逐层递进，环环相扣，培养学生问题意识和问题发现能力是课堂教学的重要目标，问题是数学的“心脏”，我们的教学要设计能体现数学本质，符合学生发展的好问题。本节课主要是以如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此笔者从具体到抽象，从特殊到一般，从学生已有的经验和有兴趣的问题开始，通过设置疑问、迁移疑问、举出反例来帮助学生逐步理解新学知识。精心设置问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会以提高学生的学习兴趣，体会、掌握基本数学思想方法，对学生今后学习和分析数学问题很有帮助，充分体验了数学核心素养的 “四基”、“四能”和“三会”。

课堂的教学最终目的还是要服务于高考，当前在高考试题中也能充分体现高中数学核心素养的存在。

四、高考命题在数学核心素养中的渗透

随着高考对导数考查的不断深入，含参数导数问题成为了高考命题的热点。因为这类问题凝练的数学核心素养是丰富的，它们更加注重培养学生的核心素养，更加强调提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，促进教、学、考有机衔接，形成育人合力。此题是基于高中数学导数的应用知识的试题，试题来源于2017年全国高考数学文科试卷第21题，并对其进行适当的改编。

题目如下:已知函数 f(x)=ex(ex-2α+1)-αx,α∈R

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个零点，求参数α的取值范围；

第（1）问直接考查的是利用导数这一工具判断函数单调性的应用，准确掌握数学运算法则和运算方向的数学基本素养，与此同时本题还是在较复杂的含参数函数环境下考查学生对数学基础知识——导数公式和导数运算法则的使用，以及基本数学思想——分类讨论思想的应用。而第（2）问是考查学生的数学抽象能力、直观想象能力和构建数学建模能力以及数据分析能力，考查学生要灵活运用导数工具借助已知数据去分析问题、解决问题、推理论证以及分类讨论、转化与化归的数学思想方法。

五、试题解答过程中蕴含的数学核心素养具体分析

1.“四基”为载体，“四能”为抓手

此题是以基本初等函数——指数函数和一次函数为基础进行四则运算，利用它们的导数公式和导数运算法则进行求导数的基本技能运算，更值得指出的是：此处需要根据所给的参数去讨论方程是否有根进而判断函数的单调性，这正是分类讨论这一基本数学思想的体现。此处的分类讨论是因为一个数学问题在不同条件下有不同的结论，遇到此类问题时需要讨论，从而使复杂问题化大为小，化整为零，进而解决问题。这是考查学生的分类讨论能力和灵活解决问题的能力，同时进行的数学运算则是依据公式和运算法则解决函数单调性问题的过程——理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、求得运算结果。

第（1）问中具体解决问题的方案是按照如下思路逐步推进：求函数f(x)的导函数f′(x)→确定讨论方向（比较根的大小）→得出单调性结论。

为了判断此因式的符号，学生需要用原有基础知识——指数函数的值域进行思考，发现(2ex+1)＞0恒成立，而(ex-α)可正可负，也即是在不同条件下有不同的结论，为此展开分类讨论：

当 α≤0 时，在 R 上 f′(x)＞0，f(x)是增函数；

当 α＞0 时，令 f′(x)=0，得 x=Inα。

在区间（-∞，Inα）上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；

在区间（Inα，+∞）上，f′(x)＞0，f(x)是增函数。

上述过程中是面向大多数考生的，要解决这个问题，学生需要具备基本的逻辑推理素养：在利用导数这一工具以及对方程是否有实根去对函数单调性加以判断的基础上，进行分析问题时还需有分类讨论的数学思想去探求问题，同时还需要在数学运算法则和运算方向上进行准确的逻辑推理——特殊到一般的推理，推理形式主要有演绎推理，进而达到判断函数单调性的目的。

2.“三会”为目标

学习数学和应用数学这两个过程是发展数学抽象思维、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析等能力。直观想象能力是指借助几何直观和想象感知事物的形态与变化，利用图形去理解并用数学知识表达解决问题的过程，在解决函数零点时利用了图形的变化与运动规律，描述分析函数极值和最值情况建立了形与数的联系，再依据函数零点的存在性去探究问题，最后还需对探究对象进行相关数据分析大小从而解决问题。数学建模构建能力是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。本题的第二个问题笔者认为还包括了构建新的函数进一步探究其极值这个新的数学模型解决数学问题的过程，此处要求学生具有更高水平的直观想象能力和逻辑推理能力。此问题的设计和解决过程中就充分渗透了直观想象和数学建模的数学核心素养，同时最终还需要用数据分析素养去对问题进行分析、推理，最后获得结论。思维突破口则是——在第（1）问的基础上，利用函数的单调性和极值去直观想象函数大致图像的变化趋势，从而分析函数的零点个数情况，本问的难点是零点的存在性的判断 （区间端点符号的判断），突破的策略和考查点之间的关系以及所需数学核心素养可用以下框图表示：

思路推进：

由（1）问中的f(x)的单调性→f(x)的大致图像→直观分析f(x)的零点情况→构造函数→转化为不等式→通过放缩计算得出α的范围。

由 f(x)=ex(ex-2α+1)-αx，（α∈R）

求导函数得:f′(x)=ex(ex-2α+1)+e2x-x=（2ex+1）（ex-α）

当α≤0，f(x)是R上的增函数，为了解决零点问题可以借助大致图像去想象感知事物的形态与变化，这是渗透数学学科素养中的直观想象素养。

通过简单的增函数大致图像容易看出当α≤0时，f(x)不可能有两个零点。

由（1）可知当 α＞0且 x=Inα时，f(x)有极小值也是最小值。此时要函数有两个零点则需要转化为图像与x轴要有两个交点，继续用直观图像帮助学生感知图形变化，即是最小值小于零，这里充分体现的是让学生会用数学思维思考世界问题，并且会用数学语言表达问题。

要使得 f(x)有两个零点，则 f(x)min=f(Inα)=-α2+α-αInα＜0

即 α-1+Inα＞0

此处则需要进一步构建新的函数来探究这个新的数学模型，从而解决上述不等式解的问题。

为了解决函数有两个零点仅有最小值的条件还是不够的，如上图中的情况，图像与x轴并无交点，也即是函数并无零点，为了图像与x轴要有两个交点，接下来需要进一步利用零点的存在性定理f(α)·f(b)＜0 去 寻 找 x1＜Inα，使 得 f(x1)＞0；x2＞Inα，使得f(x2)＞0，找到零点的大致区间是本题的难点，需要具备更高水平的数据分析素养，具体数据分析如下：

所以在区间（Inα,x2）上 f(x)存在一个零点。

综上所述，f(x)存在两个零点，参数α的取值范围是（1，+∞）。

为了寻找零点存在的范围，在分析数据时不断对数据进行了放缩推理，在选取零点所在区间的端点时，通常根据已有经验进行突破，其选取的突破策略通常有：（1）选取特殊点（如 0,1，-1，e,10 等整数）；(2)明确目的方向，进行适当放缩（如常见的切线放缩：ex≥x+1,ex＞x,Inx≤x-1,Inx＜x)。

问题分析到这儿，更加清晰地认识到在将新问题转化为旧问题，复杂问题转化为简单问题过程中凝练的主要数学学科素养，而知识和技能只有在具体求解时才能发挥作用，即是“四基”为载体，“四能”为抓手，终极目标则是需要从外界输入信息——用数学的眼光观察世界；进一步处理信息——用数学的思维分析世界；最后输出信息——用数学的语言表达世界。如果说高考试题稳中求变，推陈出新[3]，那么本题则是变的载体，如果说高考试题要考察出学生的数学核心素养，那么本题可以说是数学核心素养凝练一体的经典。