新工科背景下高等数值分析课程教学改革的思考

唐玲艳，文 军

（国防科技大学 理学院，湖南 长沙 410072）

一、新工科建设与高等数值分析课程

为主动应对新一轮科技革命与产业变革，支撑服务创新驱动发展、“中国制造2025”等一系列国家战略，2017 年2 月以来，教育部积极推进新工科建设，先后形成了“复旦共识”“天大行动”和“北京指南”，全力探索高等教育的新模式。在新工科背景下，所有能够数字化的对象都将被数字化，所有能够自动化的流程都将被自动化，海量的数据和信息极大地改变了人们的工作方式和专业技能，也使得信息处理、定量推理和数据决策成为理工科研究生应该具备的核心能力，而数值分析正是应用以上能力的数理基础。

高等数值分析是数学系为理工科研究生开设的一门公共选修课程，其理论体系介于纯数学和工程应用之间，具有鲜明的特征。从教学内容来看，该课程主要介绍计算机上常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，为学生使用计算机有效解决实际问题打下基础。从能力培养来看，学生通过该课程的学习将达到以下要求：（1）掌握数值分析的基本思想、基本原理和基本方法，具备利用计算机进行科学计算的能力；（2）具有运用标准算法通过编程解决实际问题的能力；（3）了解数值分析的历史、现状和最新应用情况。

二、课程教学中存在的问题

随着计算机技术的迅速发展，科学计算已成为继实验方法和理论方法之后的第三种科学研究手段，是数学及计算机实现在高科技领域应用的必不可少的纽带和工具。高等数值分析作为数学系为理工科研究生开设的一门公共选修课程，内容包括数值逼近、数值积分、求解线性代数方程组的直接法和迭代法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、最优化方法、常微分方程数值计算等，覆盖面比较广，涉及到的背景知识也比较多，是数学与计算机结合解决实际问题的重要理论支撑。

新工科建设的核心是培养适应时代发展的创新型工程科技人才，新工科背景下的课程建设强调“以学生为核心，以成果为导向”，即根据学生最终获得的能力反向推演，制订课程教学方案、教学内容和教学模式。对照上述要求，当前的高等数值分析课程教学存在如下问题。

1.教学模式以讲授为主，学生处于被动接受状态，课堂参与度低。作为一门数学类公共基础课程，高等数值分析的教学一直面临“课程学时短、知识面跨度大、学生基础参差不齐”等问题。传统的教学模式以教师讲授为主，这种方式效率高、成本低，不受学生基础的限制，能够保证教学任务有计划、有组织地达成。然而，课堂讲授只是一种单向的知识传输方式，对于高等数值分析这样一门与工程应用和上机实践结合非常紧密的课程，单纯地讲授显得过于空泛，不能有效吸引学生的兴趣和注意力，不利于启发学生的思维和想象，难以培养学生的科学计算能力。

2.教学内容侧重算法理论，忽视上机实践。数值分析是联系数学理论和计算机实现的纽带和工具，它有严谨而抽象的理论体系，又有很强的实践性，要求学生不仅要会数值算法理论，还要具备一定的实践应用能力。在传统的教学过程中，教师往往更加注重算法公式和理论推导，上机实践只是作为课堂教学的补充，使得教学内容偏向抽象的理论分析，忽视了上机实践与理论知识之间的联系，降低了对实践动手能力的培养和锻炼。在此模式下，学生虽然学到了算法原理和典型的数值计算方法，却很难运用到实践中去，很难独立完成算法设计。

3.考核内容过窄，考核方式单一。传统的高等数值分析考核沿用了应试教育模式，以闭卷考试为主（占比70%）、上机实践为辅（占比30%）。试题基本来自教材和课件，由“概念-定理-例题-习题”组成。这种考核模式无法衡量学生的创新能力与实践能力，往往衍生出一种怪象，即反复刷题的学生通常会获得高分，而他们可能只会纸上谈兵，并不具备应用数学软件解决科学计算具体问题的能力。新工科背景下的课程教学高度重视“实用性”和“应用性”，科学考核学生对所学知识的掌握程度，需要对现行高等数值分析课程的考核方式进行改进。

4.教学案例陈旧、简单，无法适应新工科人才培养的需求。新工科教育注重跨学科协同和工程思想的培养，而传统实验设计主要来自编制的数据或一些简单实际问题，从方法到方法，具有行业背景的实践教学案例十分稀少，无法锻炼学生处理实际问题的能力。

三、新工科背景下关于课程改革的几点思考

针对前述课程教学中的问题，本文就高等数值分析的课程定位、教学内容、教学模式、考核方式等问题开展如下思考，期望获得较好的教学效果。

（一）转变教学理念，重塑课程目标

传统的数学课程教学强调知识的严谨性和抽象性，忽略了数学理论的应用性，在一定程度上会带来思维定式的弊端。新工科建设要求学生的知识和技能具有宽广性、可迁移性和可持续发展性，促使我们转变教学理念，重塑高等数值分析的课程教学目标。除抽象思维和逻辑推理能力的培养之外，高等数值分析课程的教学目标还应包括计算思维和工程思维的培养。其中，计算思维是由美国卡内基梅隆大学计算机科学系主任周以真教授于2006 年提出的，指运用计算机科学的基础概念进行问题求解、系统设计以及人类行为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。在新工科背景下，如何引导非计算机专业的学生学习、理解、掌握和应用计算思维是一个重要的问题。通过重组高等数值分析课程的教学内容，可培养学生的数学建模能力、算法设计能力和数据分析能力等，帮助非计算机专业的工科学生形成计算思维。工程思维是人类在改造自然界、构建人工自然的活动中形成的思维方式，也是新工科学生所应具备的一项核心素质。它包括解决问题所必需的工程背景知识、交流能力、批判性思维、决策能力、实践能力和创新能力等，通过设置应用教学案例、课堂研讨和课后实践等内容，可在高等数值分析课程中训练学生的工程思维。

（二）适应能力培养，重组教学内容

如图1 所示，根据课程教学目标，重新梳理高等数值分析的理论基础及知识点的相互联系，采用“一类一例”的形式组织教学内容，突出数值分析理论与各工科专业应用的交叉融合。在开课之初，将学生按所属专业分为航空航天类、信息科学类、气象海洋类、电子技术类、智能与指挥控制类五个大类，每大类设置一个贯穿全程的实践案例。实践案例来源于实际应用问题，涉及课程的一个或多个知识点。为了引导学生了解实践目标，教师需制作相应的导学卡，内容包括案例背景、数学模型与方法、涉及到的课程知识点、测试算例和参考资料目录等。例如，对于航空航天类学生，可选取基于有限元方法的飞机机翼应力分析问题作为实践案例，该案例涉及到分片多项式插值、数值积分、大型稀疏线性方程组求解、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等内容。这样的案例更贴近学生的专业需求，比课后习题复杂，且贯穿课程学习全过程，帮助学生将所学知识串联起来去解决一个较为复杂的工程问题，既激发了学生对本课程的学习兴趣，又能培养他们的实践动手能力。

图1 新工科高等数值分析课程体系建设图

（三）加强师生互动，创新教学模式

新工科背景下，学生成为课堂的主导，教与学的关系变得越来越微妙。考虑到研究生的培养目标之一是培养具有创新精神和从事科学研究、教学、管理或独立担负专门技术工作能力的高级专门人才，有必要在高等数值分析课堂上采用以探究式为主、其他教学法为辅的教学模式。

1.创建民主的课堂环境。自由宽松的课堂环境容易让人的个性得到充分发挥，有利于创新意识的激发和创新能力的培养。教师与学生要建立积极的互动关系，教师不再是至高无上的权威，他与学生的关系是平等的，主要组织学生以探究的方式开展学习。为加强学生的主体意识，教师要鼓励学生积极发表意见，对于学生观点中的有效部分要善加保护和总结。

2.按照“问题-假设-推理-验证-总结提高”的过程组织教学。探究式教学源自苏格拉底的“产婆术”，他要求教师以讨论问答的方式引导学生得出答案，而不直接教授给学生相关的知识。这种方式能发挥学生的主动性，有利于培养创新意识和创新思想。以理查森外推法的教学为例，理查森外推法是一种由低阶公式加权以提升迭代序列收敛速度的加速方法，在数值微分、数值积分以及微分方程数值解等方面都有重要应用。常规的讲法是由应用案例引入（如圆周率的计算），给出算法的思想和基本过程，用其解决案例问题，形成“从问题到理论再到问题”的教学闭环。但由于该算法构思过于巧妙，学生通常很难理解，教学效果较差。为此，可采用探究式教学法，仍从应用案例引入，首先启发学生观察计算的结果，总结出加权系数的选取规律，再进行推广，得出算法的一般思想和过程。实践证明，后一种方式更能启发学生主动思考，加深理解，把知识转化为能力。

3.加强计算思维的培养，重视上机实践。算法若仅停留在理论推导层面无疑于纸上谈兵，产生不了任何应用价值，因此，数值实验对于高等数值分析的学习至关重要。通过综合性学习和实践性学习，使学生致力于解决现实问题，能够激发学生的学习兴趣，培养计算思维。教师在教学过程中可辅以Matlab 数值实验，通过数据和图形展示算法效果，加深学生印象。按照教学计划的安排，学生需要完成一个综合性实践案例，它涉及本课程的若干知识点。在此过程中，学生需要阅读文献资料、建立数学模型、设计出合适的算法、编写计算机程序并完成测试算例，对所学知识活学活用，从中积累宝贵经验。

（四）改革考核机制，注重过程评价

考核机制是提升学生学习效果的重要抓手，新工科背景下的课程考核不应局限于解题能力的考察，而应综合运用形成性评价和终结性评价。2015-2019 年以来形成性评价在高等数值分析课程考核中的比重逐渐增加，从最初的30%，修改为2018 年的近60%。考核形式从单一的上机实践，转变为习题解答、撰写论文、课堂报告和编程实践等多种方式，考核次数由最初的1 次，转变为如今的4～5 次。这样不仅考察了学员对课程内容的掌握程度，更培养了他们的开拓创新能力。在评价过程中，教师需要注意两个方面的问题。

1.反馈的及时性。形成性评价与教学是同步进行的。在完成相关知识点的教学之后，教师要及时批改和反馈阶段性作业。这种方式不但能够使学生发现自身存在的问题，教师也能及时掌握学生的学习情况，采取相应的措施调整教学策略。

2.过程的持续性。形成性评价是一个逐渐揭示学生学习和认知的过程，需要不间断地进行。高等数值分析的阶段性考核有两种类型，一是课后习题，注重公式推导、证明，是点对点的训练；二是综合实践，需要上机实践、撰写报告，是进阶式的训练。两类考核贯穿课程学习全过程，具有一定的持续性。

（五）挖据思政元素，提升教学效果

研究生教育的根本是为社会主义建设培养高素质接班人，课程思政从育人维度考虑课程价值，是新时代课程改革的重要方向。在新工科背景下，充分挖掘高等数值分析课程的思政元素，将专业课堂与思想政治教育有机融合，能破解课程知识过于抽象的问题，有助于提升课程的育人效果。结合教学内容，高等数值分析的课程思政可以从三个方面入手。

1.介绍中国古代“算”文化，培养学生的爱国情怀。我国是数学大国，古代的数学家们在算法领域有许多辉煌成就。例如，南宋时期的秦九韶早于西方提出一种多项式简化算法，将一元n 次多项式的求值问题转化为n个一次式的计算，大大简化了计算过程，即使在现代利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之利用加速策略首次将“圆周率”精算到小数点后第七位，该结果领先于世界至少一千年。

2.挖掘算法中蕴含的哲学思想，培养学生的马克思主义世界观和价值观。例如，“迭代”是数值分析中的常用方法，对于大型线性方程组来说，只要迭代法收敛，无论初值如何选取，都可以通过多次迭代，逐渐逼近精确解。这恰好说明了在人生中，只要方法得当，就可以通过不懈努力取得成功。“误差”是影响数值计算结果的重要因素，数值不稳定的算法会将输入值的误差无限放大，这又是差之毫厘，谬以千里的最好例证。

3.穿插工程应用案例，提高学习积极性，激发创新热情。随着计算机软硬件的飞速发展和大数据时代的到来，数值计算方法在科学与工程中的应用愈加广泛，在许多实际问题的求解中都起着不可替代的作用。例如，精准的GPS 定位涉及大量的插值与拟合；网页的分级与排序需要求解大规模矩阵的特征值；数值天气预报的关键问题是求解一组非线性偏微分方程。在课程教学和实践环节中适当引入上述应用案例，不仅能让学生了解高等数值分析的重要性，还能激发他们的学习兴趣，使其从“要我学”向“我要学”转变。

四、结束语

新工科建设是基于国家战略发展新需求、国际竞争新形势、立德树人新要求而提出的一项重大发展战略。本文将新工科理念融入研究生课程高等数值分析的课程教学中，分析了新工科背景下研究生课程教学中存在的问题，针对研究生计算思维和工程思维的培养，提出重塑课程能力培养目标，结合实践案例重组教学内容，创新以探究式为主、其他教学方法为辅的教学模式，综合运用形成性考核与终结性考核，将课程思政融入专业课教学等课程改革措施中。这些改革措施有助于激发学生学习高等数值分析课程的兴趣，培养学生的计算思维和工程思维，提高其解决具体问题的能力。