一种基于期望信号预减除的稳健自适应波束形成方法

桂子杭，黎 杨，2*，李 琼，2

（1.武汉工程大学 电气信息学院，湖北 武汉 430205；2.湖北省视频图像与高清投影工程技术研究中心，湖北 武汉 430205）

0 引 言

波束形成是阵列信号处理的一项核心技术，广泛应用于多种场景，如阵列雷达、无线通信、宇航探测等[1]。自适应波束形成理论上能够最大化输出信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR），具有统计意义上的最优性能[2]。自适应波束形成器通常会使用由采样数据构造的协方差矩阵以及由期望信号波达方向（Direction of Arrival，DOA）和阵列流型估计的导向矢量。在多数应用场景中，接收的阵列信号通常由方向性期望信号、干扰信号及噪声组成。如果期望信号的信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）比较高，那么即使存在微小的协方差矩阵误差，或者存在微小的导向矢量误差，波束形成器在自适应抑制干扰时会将期望信号误判为干扰进行抑制，无法实现抑制干扰信号、加强期望信号的目的，致使波束形成器的性能显著下降[3]，这称为“期望信号自消除现象”。

稳健性用于描述自适应波束形成器在存在误差的情况下对抗“期望信号自消除”的能力。在存在协方差矩阵误差和/或导向矢量误差时，稳健自适应波束形成器应不出现“期望信号自消除现象”，最低要求是性能不能低于常规波束形成器[4]。近20 年来，随着应用场景的变化和数学理论的发展，研究出现了多种类提高自适应波束形成器稳健性的技术和方法。例如，对采样数据协方差矩阵进行对角加载以提高稳健性[5]，子空间投影提高稳健性[6]，估计更新得到更准确的导向矢量[7]，估计更新得到更准确的协方差矢量[8]，对导向矢量的误差采用特定的约束[9]以及对协方差矩阵的误差采用特定的约束[10]等。然而，多数稳健自适应波束形成器在期望信号SNR 较高时，性能会接近常规波束形成器，即对干扰的抑制能力会随着SNR 的增加而下降。

近十年来，通过构造干扰加噪声协方差矩阵（Interference plus Noise Covariance Matrix，INCM）来提高稳健性的波束形成方法由于具有优异的性能而受到广泛关注[11]。这类方法通过估计或重建不含有期望信号的INCM，替代采样协方差矩阵。这样，即使存在导向矢量和协方差矩阵误差，自适应波束形成器都不会出现期望信号消除现象，从而提高了稳健性。INCM 重建类方法可通过多种方式消除采样协方差矩阵中的期望信号成分，例如使用Capon空间谱在指定方位区域进行积分重建、估计所有干扰和噪声的功率进行重建等[12-13]。INCM 重建类方法的输出SINR 性能在很大范围内都能非常接近于最优，这是其相对于其他种类方法的一个优点。然而，INCM 类方法的计算时间复杂度比其他常用方法要高很多，这是现有INCM 重建类方法的一个缺点。

为了降低INCM 方法的计算复杂度，本文提出一种低复杂度的期望信号预减除方法。该方法的核心思想是使用阵列中每相邻的两根天线的接收信号进行加权相减来消除期望信号，其先验条件仅需要预估期望信号的DOA。本文的贡献是给出了一种从阵列信号中消除期望信号成分的方法，其优点是具有较低的计算复杂度。

1 问题描述

1.1 阵列信号模型

考虑一个由M根全向性天线组成的均匀直线阵列（Uniform Linear Array，ULA），1 个期望信号和L个干扰从不同方向入射到ULA，那么接收阵列信号可表示为：式中：k表示采样信号的时域序列，k=1,2,…,K；s0(k)和a0分别表示期望信号的时域采样信号和导向矢量（与DOA 和阵元位置有关），si(k)和ai分别表示第i个干扰信号的时域采样信号和导向矢量，n(k)表示阵列噪声。x(k)，a和n(k)为M×1 维的复矢量。信号和噪声经过下变频处理后成为复数。

1.2 自适应波束形成

期望信号的导向矢量a0可由其DOA 和阵列流型估计得到[14]，波束形成器的加权输出结果通过y(k)=wHx(k)计算，其中w是波束形成加权矢量。常规波束形成器的加权矢量为w=a0，它能在期望信号方向形成阵列方向图的主瓣，但是方向图的副瓣和零陷不受控制。由于整个波束形成的过程与实际数据无关，因此常规波束形成器不具备自动抑制干扰的能力。自适应波束形成器在计算过程中使用了接收数据，能够根据数据中信号和干扰的变化自适应调整权矢量，对干扰进行自动抑制。假定期望信号和干扰信号是相互独立的，且噪声为高斯白噪声。理想情况下，接收阵列信号的协方差矩阵可表示为R=E[x(k)xH(k)]。经典的最小功率无失真响应（Minimum Power Distortionless Response，MPDR）自适应波束形成器的加权矢量由w=αR-1a0计算，其中α=1/(a0HR-1a0)是一个不影响输出性能的常数。当协方差矩阵和导向矢量都准确时，MPDR 的干扰和噪声抑制性能是最优的[2]。

1.3 稳健性和INCM 重建

具备稳健性的自适应波束形成器在允许误差存在的情况下，性能不低于常规波束形成器。然而，在期望信号的SNR 较高时，随着SNR 的增加，多数稳健自适应波束形成器的输出SINR 性能会随之下降。尽管不会出现期望信号自消除，但性能会趋近于常规波束形成器。

近十年来出现的协方差矩阵重建类方法通过估计或重建不含有期望信号的INCM 来替代采样协方差矩阵，这样即使存在导向矢量和协方差矩阵误差，自适应波束形成器也不会出现期望信号消除现象，从而提高了稳健性。由GU Y J 提出的经典INCM重建方法，是利用Capon 空间谱结合导向矢量在干扰可能存在的离散角度空间内进行累积得到[11]：

研究表明，INCM 的性能在任意期望信号信噪比情况下都能保持良好的对干扰抑制的性能，这是其相对于其他种类波束形成器的一个显著优点[11]。然而，INCM 重建方法的计算时间复杂度很高，例如式方法的计算复杂度为O(NM2)，通常N>>M。而其他种类波束形成器的计算复杂度多为O(M3)量级。近年来，研究出现了多种先进的INCM 类方法，并且针对计算复杂度高这个问题也有新的进展，但它们的计算复杂度仍然明显高于O(M3)量级[15-16]。

2 提出的方法

2.1 期望信号预减除

本文利用ULA 接收信号的特征，使用两根相邻的天线减除期望信号成分。ULA 在角度θ的导向矢量可表示为：

接下来，使用更新的阵列信号Px(k)计算协方差矩阵：

2.2 方法讨论和实现步骤

对于本文提出的方法，做出如下讨论。

（1）新的噪声成分n～(k)是两个相邻天线独立高斯白噪声的线性加权相减，因此仍然是高斯白噪声。

（2）更新的阵列信号Px(k)中的干扰噪声比（Interference to Noise Ratio，INR）与θ0和θi有关，因而Px(k)和x(k)中的干扰INR 大小会有差异。幸运的是，文献[13]已给出证明，只要干扰的INR 足够大，就不会影响波束形成器的性能。

（3）经过式变换后，波束形成器的自由度减少了一个，这将会降低波束形成器的性能。然而，如果阵列的阵元数M较大，这点性能损失是非常微小的。

（4）为了补偿随期望信号一起被减除的噪声分量，推荐对更新的INCM 进行对角加载处理，即R^DSR=PRPH+σn2I，其中σn2为噪声的方差，噪声方差可通过对协方差矩阵R^ 进行特征值分解，再对较小的特征值取平均得到。

本文提出方法的实现步骤总结如下：

（1）估计期望信号的DOA，推荐使用经典的MUSIC 算法；

（2）通过式计算变换矩阵P；

（3）通过式计算INCMR^DSR；

（4）使用式计算权矢量w。

由上述实现步骤可知，本文提出算法的计算量主要由式（9）中的协方差矩阵求逆过程决定，计算复杂度为O[(M-1)3]。本文算法的优点是其计算复杂度不高于现有的INCM 重建类算法。本文算法适用于ULA 阵列，并且由于自由度的减少，会有一定的微小性能损失。

3 仿真试验

在下面的仿真试验中，天线阵列默认设定为M=16 阵元的ULA（3.3 除外），各个天线阵元之间的间隔为半个波长，假定天线阵已经校准，并且忽略耦合效应。6 个路径信号的参数设置如表1 所示，θi表示DOA，Si表示SNR，其中“路径i=0”表示期望信号，“路径i=1”～“路径i=5”表示干扰信号。

表1 部分信号仿真参数

以下波束形成器在仿真中使用。

（1）OPT，使用了真实协方差矩阵和导向矢量的最优波束形成器。

（2）FDL，使用了10 倍噪声功率加载水平的对角加载波束形成器[5]。

（3）WCB，文献[9]中的波束形成器，其中设置参数为ε=2。

（4）INCM-CSI，经典的Capon 空间谱INCM 重建波束形成器[11]。

（5）INCM-IPE，干扰功率估计INCM 重建波束形成器[13]。

（6）INCM-DSR，本文提出的期望信号消除波束形成器。

设定估计的期望信号DOA 为90°（即与真实值θ0=90.1°存在0.1°的误差），INCM 重建的角度间隔为1°，INCM-CSI 和INCM-IPE 的干扰重建角度区域为Θ=86°～94°，采样点数K=100，每个仿真的独立试验次数为100 次。

3.1 空间谱对比

第一个试验，评估减除期望信号后更新的INCM协方差矩阵中的信号成分。将期望信号的SNR 固定 为25 dB，计 算Capon 空 间 谱P=1/[a^(θ)HR～-1a(θ)]，其中R～=R^ 和R～=R^DSR分别表示含有期望信号的协方差矩阵和本文方法重建的INCM 协方差矩阵，θ表示从1°到180°进行空间谱扫描，Capon 空间谱P的结果进行进一步的归一化处理和分贝值转换。图1 的空间谱对比结果表明：

图1 使用两个协方差矩阵计算的空间谱

（1）即使存在0.1°的角度估计误差，在θ=90°附近，R^DSR中的期望信号成分几乎被完全移除；（2）R^ 和R^DSR中5 个干扰的DOA 完全相同；（3）尽管R^ 和R^DSR中5 个干扰的空间谱功率大小有所差异，但它们的值都非常大；

（4）减除了期望信号之后，剩余的R^DSR中并没有引入新的方向性信号成分。

以上几点观察到的性质能够保证估计的INCMR^DSR是有效的。

3.2 输出SINR 性能

第2 个例子，评估波束形成器的输出SINR性能，这也是评价自适应波束形成器性能的一个重要指标。本文计算了期望信号的输出SINR（SSNR）随输入SNR（SSNR）（-20 ～40 dB）的性能变化曲线，如图2 所示。结果表明：

图2 多个波束形成器的输出SINR 随输入SNR 的变化曲线

（1）使用固定对角加载技术的FDL 中，当SNR超过5 dB，性能随着SNR的增加迅速下降，这是因为出现了期望信号自消除现象；

（2）WCB 在SNR较低时性能接近最优，当SNR＞5 dB，随着SNR的增加，虽然没有出现期望信号自消除，但是其输出SINR也有所降低，这是因为WCB 本质上也是一种可变的对角加载技术，对干扰的抑制能力会降低；

（3）INCM-CSI 和INCM-IPE 的 输 出SINR在整个SNR区间都非常平稳，在所有SNR上都低于最优OPT 值约1 dB 和5 dB 的固定值，这个固定的性能差异是由重建INCM 时存在0.1°的角度误差引起的；

（4）在所有的波束形成器中，INCM-DSR 的性能始终最接近OPT，INCM-DSR 在各个SNR处的输出SINR低于OPT 最优值仅为0.52 dB（平均值），而性能仅次于本文方法的INCM-IPE 比OPT 的值低1.36 dB；尽管INCM-DSR 在实现过程中也存在0.1°的角度误差，但是由于它不需要在干扰角度重建，因而其性能优于其他两个INCM 重建方法。

3.3 阵元数的影响

本文提出的方法存在由于自由度减少1 个而引起的性能损失。波束形成器的自由度等于天线阵元数，为评估自由度降低对本文方法的影响，将阵元数分别设定为M=8、M=16 和M=32，各个信号的DOA 和SNR参数按照按表1 设定。图3 给出了在不同阵元数情况下本文方法的输出SINR性能和最优性能的对比图，进一步计算可得出，在M=8、M=16和M=32 的情况下，本文INCM-DSR 方法的输出SINR低于最优值OPT 分别为0.43 dB、0.29 dB 和0.20 dB。这表明随着M的增大，由自由度减少而带来的性能损失确实随之减小。实际应用中，在阵元数M超过8 时，这种性能损失几乎可以忽略不计。

图3 在不同天线阵元数情况下本文算法的输出SINR 性能

4 结 语

本文提出了一种期望信号预减除的稳健自适应波束形成方法，其优点是具有较低的计算复杂度，原理是构造一个变换矩阵，并施加到接收阵列信号上以减除期望信号成分，等效于对所有相邻天线的接收信号进行加权减除。理论分析表明，更新的阵列信号减除了期望信号，保留了干扰成分，不足之处是存在由于自由度减少1个引起的微小性能损失。仿真结果表明，本文方法重建的INCM 中，期望信号几乎完全被移除，输出SINR 性能优于其他对比的方法，性能损失在阵元数较大时可忽略不计。