微分对策协同对抗制导律方法研究

苏 山，谢永杰，白瑜亮，刘印田，单永志

（1.哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨 150001；2.上海机电工程研究所，上海 201109；3.北京机电工程研究所，北京 100074；4.中国兵器工业集团航空弹药研究院，黑龙江哈尔滨 150001）

0 引 言

随着导弹武器技术的不断发展，未来战争将会出现高动态、强博弈的特征，智能化博弈对抗成为趋势。目前单一拦截弹已经无法满足智能化作战的需求，因此需要开展多弹协同、智能化的导弹拦截方法研究，以增加对来袭导弹的拦截概率并提高拦截效率。

微分对策制导律是应对目标机动并提高拦截效率的一种有效手段。Kamal在飞行器和目标均具有理想动态特性条件下，设计了一种基于边界型微分对策的制导律（DGL），后来又考虑到了飞行器具有一阶动态特性、目标具有理想的动态特性的情况。花文华等考虑飞行器和目标均具有一阶动态特性，设计了微分对策制导律（DGL/1）。Battistini和Shima等考虑拦截弹的舵控效果，将其动态特性取为一节正则环节，并分别在目标具有理想动态特性和一阶正则动态特性条件下对拦截微分对策问题进行研究，得到了相应的边界型微分对策制导律。为了得到飞机和目标的最优控制策略，需要将两点边值问题求解作为考虑实际动态特性的非线性微分对策问题。Wang等从数值方法角度出发对该问题展开研究，提出了集合遗传算法与初始值猜测以及半直接配点法的解法。Bardhan等通过SDRE方法对微分对策制导方法进行了研究。

本文研究了一种基于微分对策的多防空导弹角度协同制导方法。在考虑终端脱靶的情况下，利用状态转移矩阵对相对运动矢量方程进行简化，并采用最优策略求解状态方程。考虑2拦1的简化场景，得到了角度协同制导律的解析解。最后，对所采用的协同制导进行了仿真研究，建立了一个典型的防空仿真场景，验证了所设计的制导律对拦截不同类型目标的有效性。

1 多拦一博弈对抗模型

在协同作战过程中，设置场景为多枚防空导弹对一个来袭目标进行拦截时，两者的二维相对位置关系如图1所示。

图1 n拦1作战场景Fig.1 n versus 1 scene

图1 中共有个拦截弹对1 个目标进行拦截，其中：M、M、M分别为第、、枚拦截弹；T为目标；、、分别为拦截弹、、的视线角（即各拦截弹与目标的连线与轴的夹角）；、、分别为拦截弹、、加速度；为目标加速度；r、r、r分别为拦截弹、、的弹目连线距离；、、分别为拦截弹、、速度；为目标速度；、、为拦截弹、、的弹道倾角；为目标弹道倾角。在目标对个拦截弹进行突防的过程中，拦截弹的视线方向与加速度方向垂直。为提高目标成功逃逸的可能性，设定来袭目标的加速度与其速度方向垂直。

对图1中相对运动关系进行线性化处理，得到

式中：为枚拦截弹相对目标在垂直于初始视线方向的位置偏差；为对时间的导数，即垂直于初始视线方向的相对速度；x为拦截交会角矢量。根据式（4），定义第枚拦截弹与目标的状态矢量为

2 多拦一微分对策制导律推导

2.1 多拦一最优策略求解

根据微分对策博弈原理，保证拦截弹尽可能完成对进攻弹的拦截，即终端脱靶量尽可能小，且拦截弹机动尽可能小，进攻弹为完成突防任务尽可能大，设计性能指标如下：

式中：α、β、、分别表示对应性能指标项的比例系数；表示终端时刻；Δ表示相对拦截角度的期望值；、表示对应的控制权重。

为实现多枚拦截弹对目标的拦截任务，所有枚导弹和目标都要满足以下条件：①导弹和相邻的导弹间的相对拦截角度与期望值Δ的偏差尽可能小；②每一枚拦截弹在对目标完成拦截的过程中，保证拦截弹与目标的拦截脱靶量能达到最小；③拦截弹的能量消耗尽量小。对进攻导弹则反之。

利用状态空间中的相关理论，将状态变量通过空间转移转化为另一种形式，则拦截弹对目标的零控脱靶量Z()和零控拦截角度Z()可表示为

根据最优控制理论的伴随方程以及伴随变量()的边界条件可知伴随变量的值应满足：

2.2 二拦一最优策略分析

式中：第一次出现的变量要说明含义

根据式（24）可知矩阵为对称矩阵。当det()≠0 时，式（22）的解唯一确定。将求解出的伴随变量（式（24））代入式（16），可得拦截弹1 的最优控制为

拦截弹2的最优控制策略为

根据拦截弹2的角度约束，各系数为

3 仿真分析

本章通过设定2 枚导弹拦截1 个目标的防空作战场景，对之前所设计的制导规律进行仿真验证，以证明其有效性，如表1所示。在仿真中，针对非机动目标和机动目标两种情况进行分析，设计协同角度为30°，证明对非机动目标和机动目标都具有良好的拦截效果。

表1 仿真初始条件Tab.1 Simulation initial conditions

1）非机动目标

仿真结果表明，两枚导弹对目标的拦截脱靶量分别为0.115 m 和0.671 m，两枚导弹最终弹道倾角分别为24.21°和−6.546°，与指令协同角30°相差0.756°。拦截仿真结果如图2～5 所示，分别为飞行弹道曲线、飞行过载曲线、脱靶量变化曲线和协同角度变化曲线。

图2 采用微分对策制导律的飞行轨迹Fig.2 Trajectory with differential games guidance law

从仿真结果可以得到结论：两枚拦截弹能够以期望的协同角度实现对来袭目标的准确命中；两枚拦截弹的过载变化稳定，最大过载出现在拦截结束时刻，且都小于6，符合实际情况；两枚拦截弹的协同攻击角度先减小后增大，且在拦截时刻协同角度趋于30°，符合预期要求。

图3 采用微分对策制导律的过载Fig.3 Overload with differential games guidance law

图4 采用微分对策制导律的脱靶量Fig.4 Miss Distance with differential games guidance law

2）机动目标

同样取表1的初始仿真作战场景，采用机动目标。机动形式如下：

图5 采用微分对策制导律的导弹协同角度Fig.5 Cooperation angle with differential games guidance law

两枚导弹对目标的拦截脱靶量分别为0.005 1 m和0.421 3 m，导弹最终弹道倾角为17.13°和−12.98°，与指令协同角相差0.11°。图6～9依次为飞行弹道图、飞行过载图、脱靶量变化曲线以及协同角度变化曲线。从脱靶量看出，对机动目标具有较好的拦截效果，同时满足协同角度偏差。由仿真结果可以看出，拦截弹的最大过载出现在拦截弹2 的最后时刻，达到9；两枚拦截弹的协同角度最终也能够趋于期望值，且脱靶量能达到一个较小的水平，符合设计要求。

图6 采用微分对策制导律的飞行轨迹Fig.6 Trajectory with differential games guidance law

图7 采用微分对策制导律的飞行过载Fig.7 Overload with differential games guidance law

图8 采用微分对策制导律的飞行脱靶量Fig.8 Miss Distance with differential games guidance law

图9 采用微分对策制导律的飞行协同角度Fig.9 Cooperation angle with differential games guidance law

为体现角度协同微分对策制导律相对于单弹拦截的优势，采用文献［15］提出的方法进行单弹拦截仿真，设定期望拦截角度为20°，过载限幅20。仿真结果如图10～12所示。

图10 采用引文制导律的飞行轨迹Fig.10 Trajectory with referred guidance law

图11 采用引文制导律的过载Fig.11 Overlaod with referred guidance law

图12 采用引文制导律的约束角变化Fig.12 Constraint angle with referred guidance law

由仿真结果可知，采用上述制导律的终端脱靶量为3.334 2 m，拦截弹过载在拦截终端时刻产生较大的抖振，最大值达到20，且拦截角没有收敛到期望值。由此可得，本文所设计的微分对策协同制导律能够在完成拦截的基础上，实现期望的角度协同，并且各拦截弹的过载能够保持在一个较小的水平，具有比单拦截弹角度约束制导律更佳的拦截效果。

4 结束语

通过研究多对一拦截相对运动方程，将终端脱靶量约束以及角度约束加入到线性运动矢量方程中，构建双方受益对抗博弈指标函数。对矢量方程进行基于状态转移理论的降维处理，利用最优控制理论进行求解。针对二对一的典型拦截情况，对角度协同制导律进行推导，给出了制导律的解析解形式。最后通过典型场景进行算法仿真验证，证明了所设计的制导律具有更好的拦截效果。