3中一类Kirchhoff方程的高能量径向解的存在性

杨金富,张家锋

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵阳 550025)

研究如下形式的Kirchhoff方程高能量径向解的存在性问题：

(1)

其中a>0,b>0,4.5

(2)

该方程是由Kirchhoff在1883年的文献[1]中提出的，用来刻画弹性弦在横向振动过程中弦长变化的动态模型，其中0

(3)

(4)

其中a，b，μ>0；对于方程(3)的研究结果，可参考文献[2-5],在这些文献中，当f满足线性、非线性或者奇异增长性时，作者得到了该方程解的存在性和多重性结果，而方程(4)的相关结果，感兴趣的读者可查阅文献[6-8]；然而对于方程(2)，在文献[3,6-7]中，可以看到，不同的作者通过变分方法、Nehari流形方法、极小极大方法得出了该类方程正解的存在性、唯一性以及多重性结果.但该类方程关于高能量解的文章非常少，因此，在某些自治非线性项的作用下，该类Kirchhoff方程是否会存在高能量解？下面将会回答这个问题.

1 预备知识

在本文中，将使用下面这些记号.

1)H1(3)={u∈L2(3):∇u∈L2(3)}表示通常使用的Sobolev空间.

7)C1(H1(3),)表示H1(3)→上具有一阶连续导数(弱导数)的泛函所构成的空间.

8)c,ci,C,Ci为不同的正常数.

2 主要结果与证明

为了回答提出的问题，考虑含有纯幂次非线性项f(u)=|u|p-1u(4.5

(5)

显然I∈C1(H1(3),)，且I关于∀v∈Hr1(3)的弱导数为

(6)

(7)

引理1(i) ∃r>0,ρ>0，使得

(ii) 给定∀n∈，存在奇连续映射

使得，对于∀δ∈Sn，有

J(τ0n(δ))≤I(τ0n(δ))<0.

(ii) 根据文献[11]的定理10，能发现∀n∈，存在一个奇连续映射3)，使得∀δ∈Sn有ζn(δ)≠0；设B={x∈3|ζn(δ)≠0}，由问题(5)结合4.5

根据文献[12]第9章，定义对称山路值如下

(8)

这里En={δ=(δ1,δ2,…,δn)∈n:|δ|≤1}并且定义映射集

属于Γn且∀n∈，Γn≠φ.

引理2设J(u)是由前面给出的，bn与(8)中的相同，则

(i)J(u)满足Palais-Smale条件；(ii)bn是J(u)的临界值；(iii) 当n→∞时，bn→∞.

J(un)→C,J′(un)→0.

(9)

(10)

由

由式(9)易知

〈J′(un)-J′(u),un-u〉→0.

又由Hölder不等式和式(10)知

(ii) 由(i)知J(u)满足Palais-Smale条件，根据参考文献[12]中的定理2.2，易知J(u)存在临界值bn，即(ii)成立.

这里i(Y)表示集合Y的亏格，εm是∈3{0}的闭集族，使得-A=A且i(A)是集合A的Krasonelski亏格.由文献[13]，定义另一个极小极大值序列

则∀n∈，有bn≥dn且d1≤d2≤…≤dn≤dn+1≤…；此外，由于J(u)满足Palais-Smale条件，则稍微修改文献[14]第9章中的参数，便得到dn→∞(n→∞)，则bn→∞(n→∞).

I(uj)→an>0,I′(uj)→0.

(11)

由式(5)和式(6)得

(12)

又由式(6)和式(11)知

(13)

由式(6)知

将两式相减得

由式(11)易知，〈I′(uj)-I′(u0),uj-u0〉→0(j→∞)；又根据式(12)和Hölder不等式知

I(u0)=an,I′(u0)=0.

3 结语

从文献[2-7,9-10]可以看到，一些Kirchhoff方程解的存在性、多重性、唯一性等主要结果已经通过不同研究者的努力展现在眼前，而本文则通过研究得到了一类Kirchhoff方程高能量解的存在性.因此，本文可作为文献[2-7,9-10]中相关结果的一种补充.