一类Klein-Gordon-Maxwell系统解的存在性和多重性①

孙歆， 段誉

贵州工程应用技术学院 理学院， 贵州 毕节 551700

研究如下Klein-Gordon-Maxwell系统：

(1)

(2)

其中0<ω

本文的主要目的是当凸非线性项是不满足局部(AR)条件的一般非线性项， 且非线性项含有两个参数时， 利用变分法讨论两个参数对系统(1)解的存在性和多重性的具体影响． 本文的结论完善了已有文献的相关结果．

本文针对位势函数V及非线性项α，f做如下假设：

(F2)存在常数C1>0及2

(F5)f(x， -t)=-f(x，t)， ∀(x，t)∈R3×R；

定理1假设V，f，α分别满足条件(V)，(F1)-(F4)及(A)， 则：

定理2假设V，f，α分别满足条件(V)，(F1)-(F5)及(A)， 则对∀λ>0，μ∈R， 系统(1)有一列高能量解．

定理3假设V，f，α分别满足条件(V)，(F1)-(F5)及(A)， 则对∀λ>0，μ>0， 系统(1)有一列负能量解．

注1确实存在函数满足条件(F1)-(F4)， 但不满足(AR)条件及超4次条件， 如

注2与文献[15-16]的结论相比， 本文在凸非线性项是一般非线性项， 且不满足超4次条件下讨论了系统(1)解的存在性和多重性．

与文献[22]的结论相比， 本文从两个方面改进了其结果：

(i) 本文在非线性项不满足局部(AR)条件而满足更弱的超线性条件时给出了系统(1)解的存在性和多重性结果；

(ii) 本文在参数μ满足更大范围的限制性条件下仍获得了与其相同的结果： 系统(1)有一个非平凡解和一列高能量解， 且本文还讨论了一列负能量解的存在性问题．

因此本文完善了已有文献的相关结果．

令

D1，2(R3)={u∈L6(R3)： |u|∈L2(R3)}

表示Sobolev空间， 其范数定义为

H1(R3)={u∈L2(R3)：u∈L2(R3)}， 其内积和范数分别定义为

定义

由条件(V)，H是Hilbert空间， 其内积和范数分别定义为

显然， 在条件(V)下， 对任意的2≤p<6， 嵌入映射HLp(R3)是紧映射， 且对任意的2≤p≤6， 存在Sp>0， 使得

‖u‖p≤Sp‖u‖ ∀u∈H

(3)

系统(1)具有变分结构， 对∀(u，φ)∈H×D1，2(R3)， 定义其能量泛函

易知系统(1)的弱解(u，φ)∈H×D1，2(R3)对应着泛函J的临界点． 由于J是强不定的， 为了克服这种困难， 需要对泛函进行一些简化， 将泛函J转化成只含有一个变量u的式子．

引理1[3]对∀u∈H1(R3)， 存在唯一的φ=φu∈D1，2(R3)， 满足

Δφ=(ω+φ)u2

(4)

(i) 在集合{x：u(x)≠0}上， -ω≤φu≤0；

在(4)式左右两端同时乘以φu， 并分部积分， 可得

(5)

结合(5)式及J的定义知，I(u)=J(u，φu)可化简为

由条件(V)，(F1)-(F3)及引理1易知，I定义在空间H上是有意义的， 且I∈C1(H， R)， 其所对应的导数为

由文献[1]的命题3.5知，u是泛函I的临界点当且仅当(u，φ)∈H×D1，2(R3)是系统(1)的解， 并且φ=φu． 因此， 为了得到系统(1)的非零解， 我们只需寻找泛函I的非零临界点即可．

令

引理3假设条件(V)，(F1)-(F4)及(A)成立， 则对∀λ>0，μ∈R，I在空间H满足(PS)c条件．

证设{un}⊂H是泛函I的任一(PS)c序列， 即

从而存在常数M>0， 使得

|I(un)|≤M‖I′(un)‖≤M

(6)

首先证明： (PS)c序列{un}有界．

由条件(F4)和Fatou引理知

(7)

而由引理1(i)及(6)式知

由条件(F3)-(F4)及引理1(i)知

(8)

由条件(F1)-(F2)知， 对∀ε>0， 存在Cε>0， 满足

(9)

故由条件(F1)-(F3)，(A)， (6)，(8)，(9)式及引理1(i)知

这显然是矛盾的， 故序列{un}是有界的．

其次证明{un}在空间H中有一个强收敛的子列．

(10)

由文献[14]中引理2.4的证明过程知

(11)

(12)

(13)

(14)

令

则

(15)

引理4假设条件(V)，(F1)-(F4)及(A)成立， 则泛函I(u)满足如下山路结构：

(ii) 对∀λ>0，μ∈R， 存在e∈H满足‖e‖>ρ， 使得I(e)<0．

证(i)由(9)式及引理1(i)知

其中

(ii)因为

所以对∀t>0，u∈H{0}， 有

故由条件(F4)及Fatou引理知

因此存在t0>0，e=t0u， 满足‖e‖>ρ， 使得I(e)<0．

引理5假设条件(V)，(F1)-(F4)及(A)成立， 则对∀λ>0，μ∈R， 有：

(i) 存在α>0，ρ>0， 使得I|∂Bρ∩Zk≥α；

证(i)在(9)式中取ε=ε0>0为某一给定的常数， 则存在Cε0>0， 满足

(16)

(17)

因为10， 使得当‖u‖≥R0有

(18)

由(16)-(18)式及引理1(i)知， ∀u∈Zk， ‖u‖≥R0， 有

引理6假设条件(V)，(F1)-(F4)及(A)成立， 则对∀λ>0，μ>0， 存在k0∈N， 使得对每个k>k0， 存在ρk>γk>0且满足：

(19)

由(3)，(9)，(19)式及引理1(i)知， 对∀u∈Zk， 有‖u‖≤R1，

(20)

即(i)成立．

(ii)对∀u∈Yk，δ>0， 令Γα，δ(u)={x∈R3：α(x)|u|s≥δ‖u‖s}， 由文献[4]中定理1.5的证明过程可知， 存在ε1>0使得meas(Γα， ε1(u))≥ε1．

故结合条件(F4)，(A)， (9)式及引理1(i)知， 对∀u∈Yk， 有

因为1

(iii)由(20)式， 对∀u∈Zk， ‖u‖≤ρk， 有

其次证明系统(1)存在一个局部极小解． 证明同(ii)， 略去．

定理2的证明由条件(F5)知泛函I是偶的． 结合引理3及引理5知， 能量泛函I满足对称山路定理(见文献[27]的定理9.12)的条件． 因此I有一列趋于+∞的临界值， 即系统(1)具有一列高能量解．

定理3的证明由条件(F5)知泛函I是偶的． 结合引理3及引理6知， 能量泛函I满足对偶喷泉定理(见文献[28]的定理3.18)的条件． 故I有一列趋于0的负的临界值， 即系统(1)存在一列负能量解．