随机Kuramoto-Sivashinsky格点方程的后向紧随机吸引子①

乔闪闪， 李扬荣

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

文献[1-4]对Kuramoto-Sivashinsky方程的吸引子进行了研究， 并建立了相对完善的理论体系． 文献[5-9]对非自治动力系统的拉回吸引子的存在性与后向紧性做了研究． 文献[10-11]研究了非自治格系统吸引子的后向紧性． 本文将研究具有乘性噪音的Kuramoto-Sivashinsky 方程

(1)

(2)

(3)

本文主要研究随机Kuramoto-Sivashinsky格方程的后向紧随机吸引子．

1 非自治随机动力系统

(Bu)i=ui+1-ui(B*u)i=ui-1-ui(Au)i=-ui-1+2ui-ui+1∀u∈2

其中涉及的三线性形式为

u=(ui)i∈Z∈2v=(vi)i∈Z∈2ω=(ωi)i∈Z∈2

微分方程(1)可整理为

(4)

下面证明方程(4)能生成随机动力系统．

dz+zdt=dW(t)

的稳态解． 由文献[10，12]可知， 对任意ω∈Ω，z(θtω)关于t连续， 且满足

(5)

因此方程(4)可转化为关于v的随机微分方程

(6)

由文献[1]和Galevkin逼近法， 容易证明对任意T>0，v0∈2，ω∈Ω， 方程(6)存在唯一的解v(·，τ，ω，v0)∈C([τ， +∞)，2)， 且依赖初值v0连续． 因此方程(6)在(Ω， F，P， {θt}t∈R)上能生成一个连续的随机动力系统{Φ(t)}t≥0， 即对v0∈2，t≥0，τ∈R和ω∈Ω， 有

Φ(t，τ，ω，v0)=v(t+τ，τ，θ-τω，v0)

2 解的估计

在下文中， 设D0是X中所有缓增集构成的集合， D是X中所有后向缓增集构成的集合． 若集合D满足

(7)

则称集合D为后向缓增集．

引理1若条件(G)成立， 则对任意后向缓增集D∈D，τ∈R，ω∈Ω， 存在T=T(D，τ，ω)≥1， 使得t≥T且vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 有

(8)

成立， 其中

(9)

证对任意固定的τ∈R，ω∈Ω，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 令

v(r)=v(r，s-t，θ-sω，vs-t)

其中s≤τ．v(r)与方程(6)做内积， 可得

其中

(10)

(11)

利用Young不等式， 有

(12)

由文献[11]知‖Bv‖≤2‖v‖， 故2‖Bv‖2≤8‖v‖2． 又由(10)，(11)，(12)式以及Young不等式， 整理可得

(13)

对(13)式利用Gronwall不等式， 计算可得

(14)

对(14)式关于s∈(-∞，τ]取上确界， 由于vs-t∈D(s-t，θ-tω)(s≤τ)， 结合(5)，(7)式可知， 存在T=T(s，ω，D)≥1， 使得当t≥T时， 有

(15)

因此可以得到

(16)

即(8)式得证．

命题1若条件(G)成立， 则对∀ε>0， (τ，ω，D)∈(R×Ω×D)，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω，D)>0，K(ε，τ，ω，D)≥1， 使得

证构造光滑函数ρ， 满足0≤ρ≤1， 且当|s|≤1时ρ=0， 当|s|≥2时ρ=1． 假设存在常数c0， 使得对任意s∈R， 有|ρ′(s)|≤c0． 令K是一个固定的整数， 设

ψ与方程(6)做内积， 可得

2βez(θr-sω)(|v|v，ψ)+2e-z(θr-sω)(g，ψ)+2z(θr-sω)(v，ψ)

其中

(17)

(18)

由于|ρ′(s)|≤c0， 因此

(19)

(20)

由Young不等式可知

(21)

由(17)-(21)式可得

(22)

对(22)式运用Gronwall引理， 计算整理可得

(23)

根据(5)式可知， 对∀ε>0， 存在C=C(ε，ω)>0， 使得

(24)

(25)

由引理1与条件(G)可知， 存在T>0， 当t>T时有

(26)

(27)

(28)

因此， 结合(26)-(28)式可得， 对∀ε>0， (τ，ω，D)∈(R×Ω×D)，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω，D)>0，K(ε，τ，ω，D)≥1， 使得

3 后向紧随机吸引子

定理1若条件(G)成立， 则方程(1) 生成的动力系统存在后向紧随机吸引子．

证{Φ(t)}t≥0满足文献[13]中定理3.9的拉回吸引子的两个存在性条件：

(i) 非自治动力系统{Φ(t)}t≥0存在D0-拉回随机吸收集K0∈D0， 其中

K0(τ，ω)={w∈2： ‖w‖2≤1+R0(τ，ω)} ∀τ∈R，ω∈Ω

(ii) 非自治动力系统{Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集K∈D， 其中

由文献[6]可得非自治动力系统{Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向紧的．

又因为随机吸引子的后向并是预紧的， 则称该吸引子为后向紧随机吸引子． 因此方程(6)生成的非自治随机动力系统Φ(t)存在唯一的后向紧D-拉回吸引子A∈D和唯一的可测D0-拉回吸引子A0∈D0． 再由文献[12]的定理6.1知A=A0， 故吸引子A也是随机的， 即Φ(t)存在唯一的后向紧D-拉回随机吸引子A∈D． 再由文献[14-15]知方程(1) 与(6)生成的随机动力系统共轭， 从而可知方程(1)存在后向紧随机吸引子．