一类含平均曲率算子的拟线性微分方程Dirichlet问题3个正解的存在性①

苗亮英， 冯登娟

青海民族大学 数学与统计学院， 西宁 810007

近年来， 许多学者[1-13]研究了如下微分方程Dirichlet问题

(1)

正解的存在性和多解性， 并取得了许多深刻的结果． 这里Ω为Rn，n≥2空间中的有界区域． 值得注意的是， 当κ=0时， 问题(1)退化为半线性Dirichlet问题； 而当κ≠0时， 上述问题为拟线性微分方程Dirichlet问题． 特别地， 当κ=-1时， 问题(1)退化为Minkowski空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题； 当κ=1时， 问题(1)退化为Euclidean空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题． 本文主要考察κ=1的情形． 需要说明的是， 当κ=1时， 给定平均曲率问题(1)有重要的应用背景， 例如可刻画可压缩流体的毛细现象以及人类角膜的几何形状[4-5]．

研究Euclidean空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题有很大的挑战性． 如文献[9-11]中所示， 当κ=1时， 问题(1)为一类拟线性非一致椭圆问题， 研究这类问题最大的障碍是缺乏梯度估计． 例如， 即便在最简单的一维空间下， 问题(1)解的梯度也会出现爆破现象．

最近， 一些学者[6-13]分别利用变分法、 上下解方法、 时间映像法、 不动点理论研究了一维给定平均曲率方程Dirichlet问题

(2)

受以上文献的启发， 本文将利用锥上的不动点定理研究问题(2)更为广泛的情形， 确切地说， 我们研究问题

(3)

令

本文总假定

(H)f∈C([0， 1]×[0， ∞)， [0， ∞))且f(x，s)>0，s>0，x∈[0， 1]．

本文的主要结果

定理1假设f满足条件(H)． 若f0=f∞=0， 则存在λ*，λ*>0 使得当λ*<λ<λ*时， 问题(3)至少存在3个正解．

注1在文献[14]中， 我们构造了一个合适的锥研究了Minkowski空间中一维给定平均曲率方程Dirichlet问题3个以及多个正解的存在性． 但据我们所知， 还没有学者研究欧氏空间中给定平均曲率型方程Dirichlet问题3个正解的存在性．

1 预备知识

我们令

E={u∈C[0， 1]|u(0)=u(1)=0}

(i) 若‖Tx‖≥‖x‖，x∈∂Kr， 则i(T，Kr，K)=0．

(ii) 若‖Tx‖≤‖x‖，x∈∂Kr， 则i(T，Kr，K)=1．

(i)φ在[0， ∞)上是上凸的，φ-1在[0， 1)上是上凸的；

(ii) 对任意的0c使得φ-1(cs)≤Bcφ-1(s)， ∀s∈(0， 1)． 对任意的c≥1满足-1

引理3[11]令h∈C([0， 1]， [0， ∞))且≢0． 假设w是

(4)

引理4[16]对任意的h∈C[0， 1]， (4)式存在唯一解u， 其中

用文献[11]的方法和引理4可知， 问题(3)的解等价于证明

引理5给定r>0， 若ε>0足够小满足Bλε<1且f*(r)≤εφ(r)， 则

‖Tλu‖∞≤Bλε‖u‖∞，u∈∂Ωr

其中Bλε如引理2(ii)所示．

证由Tλ的定义， 对任意的u∈∂Ωr， 我们有

引理6给定r>0， 若u∈∂Ωr， 则

‖Tλu‖∞≤φ-1(λMr)

证对任意的u∈∂Ωr， 则有f(u(x))≤Mr，x∈[0， 1]， 从而有

引理7[11]给定r>0， 若u∈∂Ωr， 则

‖Tλu‖∞≥σx*φ-1(λ(1-σ)x*mr)

2 主要结果的证明

由引理7可知， 存在

并且

使得对λ*<λ<λ*， 我们有

‖Tλu‖∞>‖u‖∞，u∈∂Ωri，i=2，3，5

由引理1可知，i(Tλ，Ωri，P)=0，i=2，3，5．

对于给定常数r4>0． 由引理6可知， 当0<λ≤λ*时， ‖Tλu‖∞<‖u‖∞，u∈∂Ωr4． 由引理1可知，i(Tλ，Ωr4，P)=1． 则

Bλε<1

由引理5可知， 当0<λ<λ*时，

‖Tλu‖∞<‖u‖∞，u∈∂Ωr1

由引理1可得i(Tλ，Ωr1，P)=1． 则

最后， 若f∞=0，λ<λ*， 则由引理7可知

因此， 问题(3)至少存在3个不同的正解．

例1考虑如下含平均曲率算子的拟线性微分方程Dirichlet问题

(5)

正解的存在性和多解性， 其中

显然，f满足条件(H)且f0=f∞=0． 由定理1可知， 问题(5)至少存在3个正解．