应用放缩法处理导数压轴题的三个要素

张永刚 赵洪柱

(山东省淄博市临淄中学)

放缩法是处理导数背景下不等式问题的重要方法,通过放缩可将超越式化为一次或二次式,从而大大简化问题的求解过程.本文通过对典型问题进行解答分析,详细阐述应用放缩法的三个要素,即放缩工具、放缩方向、放缩程度.

1 例题呈现

此类问题中所涉及的函数主要是高中数学中所学的几类基本初等函数(即指数函数、对数函数、三角函数、幂函数).证明此类问题较简捷的方法是放缩法.放缩的工具主要与这几个函数的概念、性质或二级结论相关.

2 策略应用

在应用这些不等式解题时,要先证明再应用,这些结论的证明较为简单,可构造函数,利用导数求函数的最值,如例2.

对于这些不等式,学生应要熟练记忆并灵活应用.

2.2 确定放缩方向

从上述放缩工具来看,即有“≥”也有“≤”,要选哪一种放缩方向,要视具体问题而定,例1欲证的不等式为xlnx－ex－cosx＋1＜0,所以需要将不等式左侧的函数放大,即采用“≤”的形式.

思路1 例1中x∈(0,＋∞),对于ex来说,可采用二次式放缩,如ex≥x2＋1(x≥0),进而证明不等式①,可转化为证明

那么lnx如何放缩? 因为ex已经放缩为二次式,若利用lnx≤x－1(x＞0)进行放缩,则xlnx也变换为关于x的二次式,进而将函数形式进一步统一.

因此,式②进一步可转化为x(x－1)－x2－cosx＝－x－cosx＜0.令g(x)＝－x－cosx,则g′(x)＝－1＋sinx≤0,因为x＞0,所以g(x)＜g(0)＝－1,所以－x－cosx＜0,进而可得原不等式成立.

2.3 明确放缩程度

要将不等式放缩到何种程度,是问题能否顺利求解的关键.从上面的放缩不等式来看,以ex为例,放缩后既有一次式,也有二次式,在具体问题的求解中选择不同的放缩工具,放缩程度是不同的.当所给自变量的范围较小时,例如当x∈(0,1)时,采用ex≥x＋1,有e＞2,e与2较为接近,但当x∈(0,＋∞)时,ex与x＋1差距较大.

例1也可同时对指数式和三角函数式进行放缩,但要把握好放缩的程度.例如sinx与x,若x∈(0,1),则sin1与1较为接近,此时可考虑采用sinx≤x进行放缩；若x趋近于正无穷,而sinx∈[－1,1],二者差距较大,此时可考虑利用三角函数的值域进行放缩.

3 小结

总之,与导数有关的不等式证明问题,虽然综合性强,但并非无规律可循,只要我们明确放缩的工具,弄清放缩的方向,准确把握放缩的程度,即可以不变应万变.