基于0-1 规划的生产企业原材料订购与运输研究

张倩男， 李 圆， 丁国威， 刘 通， 田梦真

（1.商丘工学院 基础教学部， 河南 商丘 476000； 2.黄河交通学院 基础教学部， 河南 焦作 454002；3.黄河交通学院 机电工程学院， 河南 焦作 454002）

1 问题重述

某建筑和装饰板材的生产企业所用原材料为A、B、C 三种类型，该企业需要根据产能要求确定需要订购的原材料供应商和相应每周的原材料订购数量，确定转运商并委托其将供应商每周的原材料供货量转运到企业仓库。分析某企业近5 年402 家原材料供应商的订货量和供货量数据。2021 年全国大学生数学建模竞赛C 题[1]旨在引导学生通过背包模型来研究企业原材料订购与运输的优化问题。

1）对402 家供应商的供货特征进行量化分析，建立反映保障企业生产重要性的数学模型，在此基础上确定50 家最重要的供应商，并在论文中列表给出结果。

2）参考问题1，该企业应至少选择多少家供应商供应原材料才可能满足生产的需求？针对这些供应商，为该企业制定未来24 周每周最经济的原材料订购方案，并据此制定损耗最少的转运方案。试对订购方案和转运方案的实施效果进行分析。

2 基本假设及符号说明

2.1 基本假设

假设生产企业在第一周初始时原材料的储存量为零；转运损耗率小与转运公司实力成负相关；企业要保持大于等于满足两周生产需求的原材料库存量；假设原材料只有转运损耗，没有库存损耗。

2.2 符号说明（见表1）

表1 符号说明

3 模型的建立与求解

3.1 问题一建模与求解

3.1.1 利用SPSS 分析供应量与采购量相关性

求出402 家每一家供应商的总供货量和企业对应每一家供应商的总采购量，并分别计算其平均值，进而求出402 家供货商的供货量的标准差和企业采购量的标准差，通过平均数和标准差进行SPSS 相关性分析，衡量两个变量的相关程度。结果见表2，可知总供货量和企业总采购量的相关性系数为0.946，说明总供货量和企业总采购量之间存在极显著的正相关关系。

表2 供货量和采购量相关性

3.1.2 用层次分析法分析权重

利用EXCEL 对附件1 中402 家供货商的供货量和企业在每一家供货商的采购量进行求和处理，对总供货量和总采购量进行求差处理，以选择合适的供货商为目标层，以总供货量、总采购量、总供货量与总采购量的差值为准则层，采用层次分析法分析三者的权重，通过权重比较，筛选出50 家最重要的供货商。由于附件1 中的数据过大，不易分析，为使得方便求解，因此令总订货量小于总供货量为数值3，等于为数值2，大于为数值1 建立量化矩阵。

3.1.2.1 递阶层次结构的建立

为构建合适的层次结构，对各项指标进行分析，最终选择以选择合适的供货商为目标层，以总供货量、总采购量、总供货量与总采购量的差值为准则层，以402 家供货商为方案层建立层次结构模型[2]。

3.1.2.2 构造比较判断矩阵

递阶层次结构确定后，上下两个层次的关系随之确定，以上一层的特征值为准则，确定下层相对于上层的重要性进而赋予其相应的权重。因为本文的数据过多，指标准则少，元素的权重不能直接接得出。因此采用两两比较方法对权重进行计算，收集各项指标的原始数据，构建比较判断矩阵：R=（rij）

若rij＞0、rij=1/rji、rii=1（i，j=1，2，…，n），则比较判断矩阵：

3.1.2.3 单准则下的排序及一致性检验

由于准则控制着下一层的因素，因此这些要素间可以构成一个条件判断矩阵，本文采取特征根方法计算权重，该方法可以保证得到的排序向量有正值性和唯一性。

1）最大特征根。设n 阶方程R＞0，λmax为R 的最大特征根。即：

2）判断矩阵。通过资料[3]发现矩阵R 的阶数n 不超过R 的最大特征值λmax，即：

3）归一化。将判断矩阵列向量归一化：

根据以上式子，可得到R 的最大特征值为：

式中：（RW）i为RW 的第i 个分量。

对附件1 数据进行量化分析后，将所得数据代入以上算法，结果见表3，分析发现一致性检验结果通过，则可以认为结果是准确的。

表3 一致性结果

三项指标的权重：W1表示总供应量在数据中的权重，W2表示总订单在数据中的权重，W3表示差值在数据中的权重，利用MATLAB 求解，结果分别为0.648 33、0.122 02、0.0.229 65。

3.1.3 筛选供货商

供货商的供货量是一个企业生产中最重要的体现之一，假如供货量达不到企业生产的最低消耗量，那么生产活动将会停止，进而影响生产效益。利用EXCEL 对表4 中的权重比从大到小排序，选出前50名的供货商，结果见表4。

表4 供货商部分名单

3.2 问题二建模与求解

3.2.1 0-1 规划模型求供应商数量

参考问题一，在402 家供应商中选出了最重要的50 家供应商，依据是这50 家供应商的供货量相比于其他供应商要多。因此该问所求就是供货量最多，并且能满足企业生产的最少供应商数量。将所有供应商进行分类，按照同种原材料分成一类，共分成A、B、C三大类，在这三大类中对供应商进行选择，因此每一类中的每一家供应商都有两个选择，采用0-1 整数规划模型对三类原材料供应商建立相对应的模型。设：

1）第j 周利用原材料A、B、C 生产的产品量：

2）原材料第j 周的库存量：

3）第i 家原材料的供应量和库存量与产能的关系：

4）因为所求为最少供应商数量，所以目标函数为：

以最少供应商数量为目标函数，以原材料的供应量和库存量与产能的关系为约束条件建立0-1 规划模型。

3.2.2 整数规划求解原材料订购

在上一小问求得的供应商基础上，对供应商的三种原材料价格进行分析，采取最经济的采购方式，使得生产效益达到最大化。从题目中可知A 和B 类原材料的采购单价分别比C 类原材料高20%和10%，并且三类原材料运输和储存的单位费用相同。假设C类原材料单价为1，则A 类为1.2，B 类为1.1。用整数规划模型对三类原材料供应商建立相对应的模型。设

1）第j 周利用原材料A，B，C 生产的产品量：

2）原材料A 第j 周的库存量：

3）第i 家原材料A 的供应量和库存量与产能的关系：

4）因为所求为最少采购成本，所以目标函数为：

以原材料最低采购成本为目标，各周利用原材料A、B、C 生产的产品数量和选择哪家供应商为决策变量，通过上述各约束条件，建立整数规划模型。

3.2.3 目标规划选择损耗最小方案

在选择成本最小的采购方式上，对运输途中的损耗进行分析。在实际运输过程中，材料的损耗不可避免，因此生产企业收到的材料并不是转运商转运的全部供货量，而是除去损耗后的接收量［接收量=供货量×（1- 损耗率）］。为使得原材料接收量达到最大，那么在转运途中的损耗量=供货量×损耗率必须要达到最小，另外接收量要满足正常的生产活动。

建立目标规划模型。

1）通过对库存量分析，保证库存量在这24 周内有余量，对其建立规划方程：

2）从三种原材料中选择合适的比例，保证产能可以达到：

3）总接收量和总生产产能的关系：

4）损耗最小方程：

当hij=0 时tij=0，假设A、B、C 三种材料的第一周库存量均为0。

5）A、B、C 三种原材料的供应商数量受到采购成本的限制，所以该问题中需要此目标函数确定三种原材料的供货量：

通过以上公式建立多目标规划模型[4]，求解损耗量最低时的材料转运方案。

3.2.4 问题二结果分析

1）若想选择最少的供应商来完成原材料供应需求，则需要选择供应量数量排名较高的供应商，此处可参考问题一的供应商排名，其选择结果见图1。

通过MATLAB 求解可得到：至少需要23 家供应商才能满足需求，结果见表5。

表5 23 家供应商名称

2）订购方案：若要选择未来24 周每周最经济的原材料订购方案，则在满足生产需求的情况下可多订购B 类原材料、少订购C 类原材料，订购方案见图2。

3）转运方案：在原材料订购最经济的情况下，选择损耗率最小的转运方案，可优先选择T1、T2、T3 来转运原材料，T5、T6、T7、T8 转运商因为其转运过程中的损耗率较高，可以不考虑，其结果见图3。

4 结论

根据原材料的供应链管理，考虑包含生产企业、原材料供应商、转运商的三层供应链中的生产和订购问题。

1）对供应商的供货特征进行量化分析，利用SPSS软件找出影响企业重要性的因素，建立了层次分析模型，利用MATLAB 软件求解，确定了保障企业生产的50 家最重要的供应商。

2）在满足生产需求的前提下，以供应商最少为目标函数建立0-1 规划模型，通过MATLAB 对模型进行求解，选出23 家供应商。分别以总成本降为最低、转运损耗率最小为目标函数，分别建立目标规划模型，得到最优的订购方案和最优的转运方案。