基于观测器的线性重复控制系统干扰抑制★

李亨博， 何发胜

（1.广东科技学院 计算机学院， 广东 东莞 523000；2.中国铁路广州局集团广州动车段， 广东 广州 510000）

引言

在工程实际中，存在一类需要对周期参考输入高精度跟踪的控制系统，例如伺服电机[1]，机器人，有源滤波器等。重复控制由Inoue 于1981 年首先提出，以内模原理为基础，在系统的控制器内构造一个周期信号的动态模型，从而实现对任意周期参考输入信号的渐进跟踪。由于重复控制方法不仅适用于高精度跟踪参考输入信号，还能有效抑制周期性干扰，稳态精度高，成为了控制工程领域的研究热点[2]。重复控制器中含有时滞现象，且时滞是实际工业控制系统设计中不可避免的现象，往往会导致控制系统性能恶化甚至破坏系统的稳定性。为了克服时滞对系统的影响，重复控制系统的鲁棒性问题成为控制领域深入研究的热点。

此外，干扰存在于所有工业控制过程中，如何对干扰进行观测和有效补偿，成为设计高性能鲁棒控制器的关键环节，引起了国内外学者的广泛关注。干扰观测器（DOB）不需要对干扰信号建立精确的数学模型，实现简单，鲁棒性强，可以通过对外部干扰进行估计，补偿外部干扰对系统的影响，实现干扰抑制的目的[3]。

受以上文献启发，为了补偿外部干扰对系统的影响，实现系统高精度跟踪控制，本文提出一种基于干扰观测器的重复控制系统设计方法，将重复控制器和干扰观测器引入到时滞系统中。通过干扰观测器估计外部干扰的值并反馈至系统中，再与重复控制律结合，从而实现对周期信号的高精度跟踪与抑制干扰的目的。

1 基于DOB 的重复控制系统描述

本文考虑如下时滞系统：

其中，x（t）∈Rn、u（t）∈Rp、y（t）∈Rq分别表示系统的状态向量、控制输入、控制输出。d（t）∈Rm为系统外部干扰。A、B、C 是合适维数的常数矩阵。

对系统（1）作如下假设：

假设1：系统（1）是可控且可观的系统；

假设2：系统（1）在虚轴上无零点。

系统（1）中干扰d（t）来源于如下线性外源系统：

其中，ξ（t）∈Rn、d（t）∈Rm。W 和V 是已知适当维数的矩阵。

系统结构框图如图1 所示。重复控制器用于跟踪外部参考输入信号，其包含纯时滞正反馈环节和低通滤波器q（s）。在重复控制器中，低通滤波器q（s）改善了系统的鲁棒稳定性，常数T 为参考输入r（t）的周期；v（t）是控制控制器的输出。

定义跟踪误差为：

为了使重复控制器易于设计与实现，滤波器q（s）选为一阶滤波器，即

其中：ωc是滤波器的角速度，且q（s）满足以下幅值特性：

为估计和重构未知干扰d（t），构造如下干扰观测器：

其中，L∈Rn×n，是待定的干扰观测器增益矩阵。

由（7）可以得到：

定义干扰估计误差为

则：

2 控制参数设计

本文的研究目的是构造一类基于DOB 的重复控制器，由重复控制器估计外部参考输入信号对系统输出的影响，并设计干扰观测器补偿外部干扰，从而达到精确跟踪给定信号和抑制外部干扰的目的。

假设系统的状态可直接测得，现设计如下控制器：

由于外部信号不影响控制系统的稳定性，所以，令：

将式（9）（11）带入式（1）得到：

将式（9）（11）带入式（6）得到：

令：

由式（10）（13）（14）得到闭环系统状态空间形式，可以表示为：

其中，

从而，控制器设计问题转变为时滞系统（16）的稳定性问题。

下面给出了时滞系统（1）在控制器（11）的作用下渐近稳定的条件。

若存在对称正定矩阵P、Q，合适矩阵X∈Rn×n＞0，Y∈Rn×n，H∈Rn×n，K∈Rn×n，Ke∈Rn×n，满足以下LMI：

其中，

则时滞系统在控制律（11）作用下渐近稳定。此外，状态反馈控制器的增益和观测器的增益分别为F1=KeY-1，F2=KX-1，L=H。

取LyApunov 函数为：

则：

因此，若

则系统（16）渐近稳定。

上式等价于

因此，若

则时滞系统（16）是渐近稳定的。

根据SChur 补引理，闭环控制系统（16）渐进稳定的充分条件为：

假设P=diAg{P1，P2，P3}，Q=diAg{Q1，Q2，Q3}，并结合（17）得到

其中，Λ11=P1A+AΤP1+P1BF2+BΤP1；Λ12=P1BV；Λ13=P1BF1-CΤP3-AΤCΤP3-BΤCΤP3；Λ22=P2W+WΤP2+P2LBV+VΤBΤLΤP2；Λ23=-VΤBΤCΤP3；Λ33=-P3ωC-ω-P3CBF1-BΤCΤP3。

应用MATLAB LMI 工具箱，可方便求解反馈增益矩阵K，Ke和观测器增益矩阵L 的值。

3 数值仿真

本节给出一个数值例子，验证本文所提方法的有效性。

设分数阶线性时滞系统（1）具有如下参数：

令参考输入为：

线性外源系统（2）具有如下参数：

利用MATLAB LMI 工具箱求解LMI（18）得到：

选取初始状态的值为x0=[0.25 -0.25 -0.25]Τ，初始干扰值为d0=[-0.12 -0.13 -0.1]Τ，干扰观测器的初始值为=[-0.1 -0.1 -0.3]Τ。

图2 显示了开环系统状态响应曲线，在无控制作用情况下，具有外部干扰的分数阶时滞系统不稳定。图3 为开环系统参考输入与系统输出的仿真曲线，系统输出响应不能跟踪参考输入。图4 为开环系统外部干扰值与干扰观测器输出值的仿真曲线，干扰观测器的输出值不能估计出外部干扰，则不能抑制外部干扰对系统的影响。

图5 为系统在（11）控制作用下闭环系统响应曲线，设计的控制器能使闭环系统快速稳定。图6 显示在重复控制器的作用下，闭环系统输出响应与参考输入的仿真曲线，系统输出快速跟踪参考输入信号，进入稳定状态，鲁棒稳定性得到保证。图7 显示了在重复控制作用下，系统输出与给定参考输入的跟踪误差仿真曲线，误差以很快的速度趋于零，具有很好的跟踪特性。图8 为系统干扰及其观测值的仿真曲线，系统从第2 个周期开始，干扰观测器的输出能精确的跟踪外部干扰，干扰得到抑制。

4 结语

本文提出了一种基于干扰观测器的重复控制系统的干扰抑制方法。通过分析时滞系统模型，引入重复控制和干扰观测器构造基于观测器的重复控制系统结构，并基于该结构进行稳定性分析与控制器参数求解的设计。仿真结果显示，该系统能有效补偿外部干扰对系统的影响，实现干扰抑制，且具有优越的周期信号跟踪性能。