一堂新授课的教学设计探究——直线与圆的位置关系

徐红峰

(江苏省扬州市宝应中学 225899)

在我们学校的“成才杯”教学大赛中，通过课题《直线与圆的位置关系》第一课时，两位骨干教师展示了自己的教学风采.教学设计各有自身的特点，但也存在一些差异.教学设计的优劣对教学质量的提高、学生思维能力的培养、学生积极性的调动具有重要意义.在新课程标准实施的今天，如何进行教学设计？本文主要从教学设计的角度进行了一些探索.

1 本课内容解读及教学目标制定

由于我们学校是江苏省重点中学，是全县最好的生源，学生基本具有处理简单数形结合问题的能力.本节课的核心内容是如何借助直线方程和圆的方程判断直线和圆之间的位置关系，如何考虑由形变到数？事实上，这也是本节课的难点.直线与圆的位置关系的内容也包含了丰富的数学思想，使学生能够感受分析研究的一般过程，反映坐标思维，深刻理解代数的重要性，进一步体验数形结合的思想，从数与形的角度分析解题的思维过程.依据上面的解读制定如下教学目标和教学重难点.

(1)知识目标：理解直线与圆的三种位置关系；掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆的位置关系的方法.

(2)能力目标：通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、手动实践、合作交流的学习方式；强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力.

(3)素养目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴含的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神.

(4)教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法.

(5)教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程.

2 教学环节

2.1 方案一

2.1.1 创设情境

【情景导入】(展示日出的动图)白居易在诗中描写道：“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，它生动地描绘了日出的绚丽景象.大家有没有想过，在日出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识.

问题1 如果我们把太阳近似看作一个圆，海天交线看做一条直线，请大家观察一下，在日出的过程中，体现了直线与圆的哪些位置关系？

2.1.2 知识回顾

问题2 (呈现直线与圆的三种位置关系的图象)对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的？

问题3 除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相交到相离，圆和直线的“距离”在“变远”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？

问题4 这两种判定方法都是从几何特征来认识直线与圆的位置关系，前面我们学习了直线和圆的方程，已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系呢？下面，我们将通过具体例子来进行研究.

2.1.3 探究典例

例1 已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆:x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.

方法总结直线与圆位置关系的判定：

位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法:设圆心到直线的距离为d=|Aa+Bb+C|A2+B2dr代数法:由Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2,{消元得到一元二次方程,可得方程的判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<0

求直线与圆相交时弦长的两种方法：

图1 图2

例2 过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l，求切线l的方程.

2.1.4 课堂练习

已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4，-1)，过点P作直线l.

(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．

2.1.5 课堂小结

(1)判断直线与圆的位置关系.(几何法、代数法)

(2)求直线与圆相交时的弦长.(几何法、代数法)

(3)求过某一点的圆的切线方程.(点在圆上、点在圆外)

2.2 方案二

2.2.1 创设情境

问题1一艘轮船正沿着南偏西30°的方向直线航行时，接到气象预报：就在此刻位于轮船的正南方100m处有个旋涡，它的影响范围是半径为20m的圆形区域，问如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到旋涡的影响？(假设旋涡没有移动)

2.2.2 概念深化

问题2请你回忆初中平面几何知识，直线与圆的位置关系有哪些？

(课件)

2.2.3 小试牛刀

例1试确定下列直线与圆的位置关系：

(1)直线m:x=2; 圆C:x2+y2=4;

(2)直线m:x=-1; 圆C:x2+y2=4;

(3)直线m:y=4; 圆C:x2+y2=4.

问题3怎样判断直线与圆的位置关系？这个过程中蕴含着哪些数学思想方法？

问题4回到刚上课时的例题，解决引例提出的问题.

2.2.4 变式引申

例3已知直线l：y=x+b与圆C：x2+y2=4，求当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？

变式1：将圆C：x2+y2=4加条件x≥0；

变式2：将圆C：x2+y2=4加条件y≤0；

变式3：将变式2中的直线l改为y=b(x+4)；

变式4：将变式3中的直线l改为y=b(x+4)+4

2.2.5 方法巩固

例4已知直线l：3x+y-6=0，圆C：x2+y2-2y-4=0.

(1)判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求出交点坐标.

(2)如果直线l与圆C相交，试求出弦长.

问题5上述例题每个问题能找到几种方法求解？每种方法的依据是什么？体现了什么数学思想方法？

2.2.6 总结归纳

问题6请梳理一下本节课的内容，可以从知识、技能、数学方法、数学经验等方面进行？此外你从其他同学那里又学到了什么，以后的学习过程中需要注意什么？

2.2.7 拓展思考

直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的相交弦长公式？

3 方案的对比研究

方案一中问题1的设计主要让学生知道，直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的.通过回顾初中时判定直线与圆位置关系的方法，调动学生原有的知识经验，在定性描述的基础上，让学生思考如何定量刻画，从而引出本节课的主要内容.通过对例2的探究，掌握求过圆外一点的圆的切线方程的两种方法，再通过变式将问题进行拓展，总结出点在圆外、点在圆上和点在圆内的情况.通过课堂练习，运用本节课所学知识来解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题(求切线方程、求弦长)，检测学生对知识的理解，巩固所学内容.总结本节课所学内容，数形结合，让学生形成自己的知识框架和结构.方案二的情境创设，说明数学源于生活，可以建模转化为数学问题来解，引出今天所学知识解决这个问题的必要性.问题2使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.例题1训练意图是在形成方法前，先让学生初步体会如何判断直线与圆位置关系，为形成方法做准备.例题2从“形”和“方程”的角度，类比求交点坐标和点到直线距离公式.例题3让学生体会两种解决直线与圆的位置关系方法的利弊，在做题中进行适当的选择.通过变式再一次感受数形结合的解题技巧和魅力所在，进一步深化“数形结合”的数学思想.例题4体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.使学生再一次熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.提高对数学思想方法的理解和运用.最后回顾、反思、总结形成知识体系.

学校通过教学大赛，主要让教师要明确，教学的设计要充分体现教学目标分层设计、教学环节要分步递进.基于新的课程标准，新教材内容、新的学情基础上精准设计教学目标，并用问题串的形式层层递进，让所有学生积极参与到课堂中来，师生一同勾勒出有灵魂的知识体系.大赛落下帷幕，大赛引发思考还在继续，只有不断反思和总结并改进，才能真正把优秀的教学设计落实到实处，学生在课堂有真收获，教师在教学中有真长进，师生共同提高.