用于变体飞行器的波纹板等效强度模型及其优化设计

王晨，杨洋，沈星,*，夏育颖

1. 南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016 2. 斯旺西大学 工程学院，斯望西 SA1 8EN

变体飞行器可以根据飞行条件的变化，自适应地改变自身气动外形，从而提高飞行器性能。欧盟MorphLET项目的研究表明，在不同的飞行阶段，通过机翼翼尖的弯折变形，可以在不同飞行阶段保持最优的升阻比，从而提高飞机航程。通过机翼外段的不对称折叠变形，还可以产生滚转力矩，起到控制飞机飞行的作用。此外，在面临阵风载荷的影响时，如果允许机翼翼尖发生弯折变形，可以降低机翼翼根部的载荷，起到载荷减缓的作用。

变体翼尖发生弯折变形，属于机翼面外变形，且其投影方向为机翼展向，需要克服展向气动载荷的作用。同时，机翼翼尖处的厚度较低，可以用于布置结构与驱动的空间较小，这些都对变体翼尖的结构设计提出了较高要求。

欧盟MorphLET项目中，使用波纹板用于连接机翼与变形翼尖的结构设计。波纹板结构具有高度各向异性的特征，常常作为变体飞行器结构的备选方案之一进行研究。

针对图1所示的变体翼尖设计，使用波纹板用于连接机翼与变体翼尖的固定外形段，实现在不同的飞行阶段改变翼尖折叠角度。由于波纹板结构沿着波纹方向刚度较低，在受压时容易发生失稳变形。通过在变体翼尖结构中引入非对称刚度，可以使变体结构上下表面的波纹板发生非对称伸长，从而实现变体翼尖弯折变形，并且避免波纹板受压失稳。波纹板与弹性体蒙皮组成复合结构，在满足气动表面设计要求的同时，由波纹板提供足够的支撑。因此，在该变体翼尖中，波纹板结构既需要能够发生足够的拉伸变形以实现翼尖弯折变形，也需要具有一定的弯曲刚度，以传递载荷。然而，目前对波纹板力学问题的研究中，较多的侧重于对其刚度特性的预测和屈曲特性的研究，对其强度特性的研究仍然较少；尤其是缺少对波纹板结构等效强度模型的研究，在变体飞行器概念设计阶段，难以对波纹板结构的失效应变进行快速预测，制约了变体飞行器的发展。

图1 变体翼尖设计概念与波纹板结构布置示意图Fig.1 Conceptual design of morphing wingtip and layout of corrugated panels

针对这一需求，本文将研究一种波纹板等效力学模型，并面向变体翼尖的应用场景开展优化设计。首先，将对等效力学模型进行推导，并对结果进行实验验证。该模型可以通过转换矩阵将波纹板全局应变转换为结构材料的局部应变，从而为预测波纹板结构整体的失效应变提供依据；然后根据该等效力学模型，对波纹板结构的强度和刚度特性进行几何参数分析；最后，面向变体翼尖的使用需求，对波纹板结构进行优化设计。

1 波纹板等效力学模型

1.1 基于代表单元的等效力学模型

波纹板结构是一种周期性结构，可以描述为具有重复形状的板结构，如图2所示。波纹板等效力学模型可以通过单个波纹板单元的几何尺寸和材料属性实现对波纹板整体力学特性的预测，从而将具有复杂外形的波纹板结构等效为各向异性板进行处理。不失一般性，本文中选择圆形和梯形波纹板单元作为示例，如图2所示。坐标系“”为全局坐标系，用于描述波纹板整体的等效变形。坐标系“”为波纹板单元的局部坐标系，其中坐标轴为波纹板单元切向，坐标轴为法向，坐标轴为波纹板结构宽度方向。局部坐标系用于定义波纹板单元的几何形状，并实现不同载荷工况情况下的代表单元受力分析。波纹板的宽度使用变量表示，圆形代表单元的几何参数包括半径和长度；梯形代表单元的几何参数包括梯形长度、及倾斜角。与此同时，为了方便公式推导，圆形与梯形单元沿轴的长度均使用2表示。

图2 波纹板结构整体及圆形梯形代表单元示意图Fig.2 Sketch of corrugated panels with round and trapezoidal corrugation units

本文研究的等效模型主要用于变体飞行器概念设计阶段的波纹板结构分析与优化设计，波纹板结构材料发生的变形以小尺度变形为主；同时，波纹板结构材料在局部坐标系下满足经典板理论的要求。

波纹板的等效力学模型分为等效刚度模型和等效强度模型2类。在全局坐标系下，波纹板的整体力学特性为

(1)

在局部坐标系下，波纹板结构的内力应变关系可以由一般的经典板理论表示为

(2)

(3)

式(3)左侧为波纹板中性面上的局部应变，右侧为波纹板整体等效应变值。使用式(3)，可以根据波纹板发生变形时的整体应变值，推测出波纹板材料局部的应变值，从而获得波纹板结构的局部应变分布。在此基础上，结合波纹板结构材料的失效准则，实现对波纹板整体强度特性的评估。

对波纹板结构的代表单元进行分析，假定波纹板结构符合经典板理论，对波纹板单元逐次施加如表1所示的边界条件。

表1 波纹板单元边界条件Table 1 Boundary conditions of corrugation unit

以边界条件为[1，0，0，0，0，0]为例，根据式(1) 可知：

(4)

根据对称性，推测其局部应变应满足====0，考虑到全局应变只发生在方向，则全局内力和局部内力存在平衡关系：

(5)

由于方向的应变为0，因此根据波纹局部坐标系下的内力应变关系，得到

(6)

同样，比较全局与局部坐标系下的力矩项，并且根据局部曲率变化为0，可以得到

(7)

对波纹板单元使用能量法计算其应变能，并进行公式整理可以得到

(8)

对等效的各向异性板，同样使用能量法可以得到

(9)

(10)

同时，由力学平衡可以得到

(11)

因此，根据边界条件：

(12)

在表1的其他边界条件下，使用类似的方法进行推导，可以获得式(1)中等效刚度矩阵中的系数为

(13)

式中：为波纹板代表单元沿轴的长度的一半；为沿轴长度的一半。

同样的，针对式(3)的应变转换矩阵，对等效各向异性板施加如表1所示的边界条件。以边界条件[1，0，0，0，0，0]为例，根据式(2)、式(5)和式(7)，结合局部应变的条件，可知：

(14)

因此，根据式(3)的书写方式可得

(15)

在其他边界下进行推导可以得到完整的应变转换矩阵的表达式为

(16)

1.2 模型实验验证

在作者前期工作中，使用有限元方法对表1中的应变转换矩阵进行了数值验证。同时，根据式(1)～式(16)的推导过程可知，波纹板等效刚度模型和强度模型均基于代表性单元在不同边界条件下的变形假设获得。对波纹板结构的等效刚度进行实验验证，可以起到对等效强度模型进行间接验证的作用。

不失一般性，通过比较波纹板结构沿轴拉伸模量的解析解和实验值，对波纹板等效力学模型进行验证。实验样件采用Objet 260 3D打印制作,材料为ABS塑料，材料杨氏模量标称为3 GPa。由于实际加工时，3D打印样件的材料属性受到环境温度、湿度、材料存储情况等因素的影响，实际制作的样件的材料属性与标称值相比会有所不同。因此实验时，在同一个批次中制备6个不同几何参数的梯形波纹板结构样件，如图3所示。6个样件分别命名为样件1、2、3、4、5、6。

图3 梯形波纹板结构实验样件Fig.3 Test samples of trapezoidal corrugated panels

使用Zwick®拉伸机对样件进行拉伸实验，获得样件的“力-位移”曲线，波纹板拉伸实验实物图如图4所示。拉伸机最大测量范围为2 500 N；为了避免打滑，对样件根部进行了加厚处理。

图4 波纹板拉伸实验实物图Fig.4 Tensile tests of corrugated panels

根据等效刚度模型，等效拉伸模量将随着梯形夹角的增加而不断下降。在与实验值比较时，为了避免材料本身杨氏模量变化的影响，实验值和解析解均根据样件1的对应数值进行了归一化处理，最终结果如图5所示。归一化处理后，解析解与实验值的变化趋势保持一致，样件解析解与实验值的平均误差在10%以内。因此，本文使用的波纹板等效力学模型可以用于变体翼尖在概念设计阶段的优化分析。

图5 实验值和解析解对比Fig.5 Comparisons of test and analytical results

2 波纹板结构性能参数分析

2.1 波纹板结构拉伸失效应变计算

使用文中等效力学模型可以获得波纹板结构的局部应变与等效应变之间的关系，如式(3)所示。其中，局部应变为波纹板中性面的应变值。根据经典板理论，可以进一步获得波纹板沿着板厚度方向的应变分布。以(,)表示波纹板局部坐标“”下的波纹板坐标。

以波纹板沿着方向发生拉伸变形为例，此时，波纹板结构的局部应变可以写为

(17)

获得波纹板局部应变后，可以进一步根据波纹板结构自身的本构关系获得局部应力。

(18)

该系数可以对波纹板结构的变形能力进行评估。以圆形波纹板为例，对波纹板几何形状变化时的失效应变和变形放大系数进行了参数分析。波纹板结构使用复合材料制备，铺层角度为[0/45/-45/90]，其中0°沿着轴方向。单层厚度=0.1 mm，单层板的材料属性如表2所示。同时，波纹板沿方向宽度为15 mm。

图6为圆形波纹板沿轴发生拉伸变形时的失效应变与几何参数之间的关系。由计算结果可知，在材料属性和铺层方式不变时，增加波纹板代表单元的几何尺寸(和)，可以提高波纹板结构的失效应变。

图6 波纹板拉伸失效应变与波纹板几何参数的关系Fig.6 Relationship between failure strain and geometric parameters of corrugated panel

图7更直观地说明了波纹板几何参数对其结构材料失效应变的放大作用。相比于没有波纹的平板，波纹板结构可以将结构沿轴拉伸时的失效应变放大1～2个数量级。

图7 波纹板拉伸变形放大系数与波纹板几何参数的关系Fig.7 Relationship between deformation amplification coefficient and geometric parameters of corrugated panel

表2 波纹板结构单层材料属性Table 2 Material properties of composite lamina of the corrugated panel

图8 波纹板拉伸失效应变与波纹板厚度的关系Fig.8 Variation of failure strain of corrugated panel when thickness changes

2.2 波纹板结构弯曲刚度计算

图10进一步计算了波纹板结构的归一化弯曲刚度：

(19)

从图10中可知，归一化弯曲刚度的变化趋势与图9中的弯曲刚度绝对值保持一致。同时，归一化刚度均小于1，说明波纹板的几何形状客观上降低了其承受弯曲载荷的能力。

图9 波纹板弯曲刚度与波纹板几何参数的关系Fig.9 Relationship between bending stiffness and geometric parameters of corrugated panel

图10 波纹板归一化弯曲刚度与波纹板几何参数的关系Fig.10 Relationship between normalized bending stiffness and geometric parameters of corrugated panel

进一步对波纹板厚度变化时的弯曲刚度变化进行了计算。保持波纹板几何尺寸==4 mm，铺层方式不变，通过改变复材铺层厚度以改变波纹板的总体厚度，结果如图11所示。可以发现，在铺层顺序和角度不变的情况下，波纹板弯曲刚度绝对值随着厚度的增加而增加；但是由于波纹板局部刚度也随着厚度增加而增加，其归一化刚度保持不变。

图11 波纹板弯曲刚度随厚度变化Fig.11 Variation of bending stiffness of corrugated panel when thickness changes

3 波纹板结构性能优化

3.1 波纹板结构性能单目标优化

根据第2节的计算结果可知，波纹板沿轴拉伸的失效应变和弯曲刚度存在互斥关系。因此，在变体翼尖的设计中，需要进行优化设计。在优化过程中，波纹板材料属性，复合材料铺层顺序与角度和波纹板宽度保持不变，与第2节中一致。

优化变量为圆形波纹板的几何参数：

(20)

以等效弯曲刚度为优化目标：

(21)

考虑图1中的设计，根据变体翼尖弯折角度的要求和前期估算，约束条件为波纹板失效应变≥0.2，即

(22)

优化算法使用遗传算法，种群大小为50，优化代数为200代，优化结果如表3所示。从优化结果可知，变量接近其下边界，变量、接近其上边界。由2.1节知，该参数变化有利于提高弯曲刚度。同时，较大的半径有助于提高失效应变，使波纹板满足约束条件。因此，优化结果符合波纹板结构的性能规律。

表3 单目标优化结果Table 3 Optimized results of single objective

3.2 波纹板结构性能多目标优化

在此基础上，针对变体飞行器结构承载与变形的双重要求，进一步开展了多目标优化。优化变量范围见式(20)。优化目标为

(23)

采用多目标遗传算法进行优化，种群大小保持50，优化代数设置为200代。优化后获得如图12 所示的帕累托前沿和对应的最优解集。从图中可知，较小的弯曲刚度对应着较大的失效应变，而较大的弯曲刚度则对应着较小的失效应变。考虑到变体飞行器需要同时满足变形与承载的要求，该计算结果一方面从侧面验证了使用该等效模型进行计算的可行性，另一方面也说明在波纹板结构的实际使用中需要考虑具体的任务要求，确定合适的失效应变和弯曲刚度作为设计边界，以避免最终的波纹板结构无法同时满足失效应变与弯曲刚度的要求。

图12 波纹板结构多目标优化帕累托前沿Fig.12 Pareto front of optimized corrugated panels

4 结 论

本文针对变体飞行器变形与承载的设计需要，建立了波纹板结构的等效力学模型，开展了初步的实验验证，并进行了参数分析和优化设计，主要结论如下：

1) 建立了波纹板等效力学模型，可以同时预测波纹板等效刚度和失效应变。

2) 波纹形状的存在，可以起到放大波纹板结构沿轴拉伸失效应变的作用，并可以通过等效模型推测出变形放大系数。

3) 增加波纹板厚度会降低波纹板结构失效应变，但是可以起到增加等效刚度的作用。

4) 针对变体飞行器承载和变形的双重要求，需要结合具体的设计指标，对波纹板结构进行优化设计。

在未来工作中，将进一步对强度模型进行实验验证，同时针对复合材料的脱胶、分层等问题进行专门研究，从而拓展该模型的应用范围。