分析回旋加速器问题 提升科学探究素养

陕西 刘永阳

(作者单位：陕西省旬邑县中学)

《普通高中物理课程标准(2017年版2020年修订)》中指出物理学科核心素养主要包括“物理观念”“科学思维”“科学探究”“科学态度与责任”四个方面。其中科学探究是指基于观察和实验提出物理问题、形成猜想和假设、设计实验与制订方案、获取和处理信息、基于证据得出结论并作出解释，以及对科学探究的过程和结果进行交流、评估、反思的能力。

科学探究主要包括问题、证据、解释、交流等要素。详细过程共10步，即基于事实发现和提出问题；根据已有知识和经验对问题的解决作出合理猜想与假设；设计和优化探究方案；动手操作或理论推导；通过实施方案来获取信息；使用不同方法、手段分析及处理信息；根据科学方法来建立概念、得出规律；用文字和数学符号来描述探究结果并对结论进行合理解释；表述探究过程，分享探究结果；反思和评估探究过程和结果。为了提升学生科学探究核心素养，笔者以回旋加速器加速粒子为例，从问题、证据、解释、表述四个要素研究了相对论效应、非相对论效应对粒子加速的影响，作出两种效应下加速次数随比荷变化图像，得出限制粒子加速的主要因素是相对论效应，探究两种效应下的最大加速半径、两种效应影响相同时的D形盒间距、半径与间距的比值随比荷变化的关系。

1 问题

回旋加速器是高中所学的一种对微观粒子加速的装置。1930年，劳伦斯巧妙地应用带电粒子在磁场中的运动特点发明了回旋加速器。图1是回旋加速器的原理图，其核心部分是两个D形金属盒，它们之间有一缝隙，上极板处有粒子源。D形盒装在真空室内，磁场方向垂直于D形盒的底面。若要保证粒子每次经过D形盒的缝隙时，都能受到合适的电场力而被加速，则高频电源的周期应符合怎样的要求？

图1 回旋加速器原理图

回旋加速器工作时，从粒子源发出的粒子，以速率v垂直于磁场方向进入电场，粒子受电场力作用而加速，之后进入磁场，粒子受洛伦兹力的作用，在D形盒中做匀速圆周运动。经过半个周期，粒子回到D形盒的边缘，缝隙中的电场使它又一次加速，然后该粒子以更大的速率进入D形盒做匀速圆周运动。由于粒子运动的轨道半径跟它的速率成正比，因而该粒子在D形盒中做圆周运动的半径有所增大。当粒子再次运动到D形盒边缘时，高频电源正好使缝隙处的电场方向与之前反向，粒子将又一次被加速，这就要求高频电源的周期要与粒子运动的周期相同。

1.1 提出问题

随着粒子速度的不断增大，按照狭义相对论，粒子的质量将会不断增大，使得粒子在磁场中做圆周运动的周期不断变大，而回旋加速器所接交流电源的变化周期并不改变，这就出现周期不同步的问题，影响了对粒子的加速，即相对论效应对粒子加速的影响。其次我们考虑粒子在回旋加速器中的运动时间时，只考虑了粒子在磁场中的运动时间，而没有计算在电场中的加速时间，这也会造成粒子运动周期与电场变化周期不同步。那么非相对论效应会限制粒子最大加速次数吗？

1.2 猜想与假设

相对论效应是由于微观粒子高速运动引起的，当粒子加速到高能量时，相对论效应越明显，就会出现质量增大、周期不同步的现象，猜想相对论效应对粒子加速影响较大。由于回旋加速器满足两D形盒间距d远小于其半径R，因此粒子在电场中加速时间极小，猜想非相对论效应对粒子最大加速次数的影响较小。

2 证据

2.1 设计和优化探究方案

2.2 理论推导

2.2.1 相对论效应

2.2.2 非相对论效应

2.3 通过实施方案来获取信息

2.3.1 比较两种效应对质子加速的影响

将质子质量mp=1.67×10-27kg、电荷量q=1.6×10-19C、光速c=3×108m/s、加速电压U=1×104V代入①式，可得在相对论效应下质子最大加速次数为306次，最终增加动能为ΔEk=nqU=3.06 MeV。

将d=1×10-4m、B=0.5 T代入②式，可得在非相对论效应下质子最大加速次数为206 028次，最终增加动能约为2.1×103MeV。

对于同一种回旋加速器，由上述计算可知，相对论效应下质子加速次数为306次，非相对论效应下质子加速次数为206 028次，故相对论效应对质子加速起决定作用，非相对论效应影响较小。

2.3.2 比较三种效应对电子加速的影响

将电子质量me=9.1×10-31kg代入①、②式，可得相对论效应下电子最多加速次数和能量分别为6.7次和6.7×10-2MeV，非相对论效应下电子最多加速次数和能量分别为112次和1.12 MeV。在加速质量较轻的电子时，由于辐射效应的存在，电子最高加速能量为1 200 MeV。因此，对电子加速影响最大的是相对论效应，其次为非相对论效应，辐射效应影响最小。

3 解释

3.1 使用不同方法、手段分析处理信息

由①、②式可知，最大加速次数都与比荷有关，通过作出两种效应下加速次数、最大加速半径随比荷变化图，观察它们之间的关系。由②式可知，非相对论效应加速次数除了与比荷有关外，还与D形盒间距d有关，当d取某一特殊值时，两种效应对粒子最大加速次数的限制相同，作出此时D形盒间距d随比荷的变化图。当两种效应影响大小相同时，通过求得的最大加速半径与D形盒间距的比值，观察是否满足d≪R。

3.1.1 比较两种效应对不同比荷粒子加速的影响

非相对论效应下加速次数为

作出这两种效应下加速次数随比荷k变化图，相对论效应如图2(a)所示，非相对论效应如图2(b)所示。可以看出，对于任何比荷的粒子，相对论效应都会首先限制粒子的最大加速次数，非相对论效应次之，且随着比荷的增大，最大加速次数都在降低。

(a)相对论效应

(b)非相对论效应图2 两种效应下加速次数随比荷变化图

3.1.2 两种效应下最大加速半径R随比荷的变化

作出R随比荷的变化图，如图3(a)、3(b)所示。随着比荷的增大，两种效应影响下粒子的最大加速半径都在减少。对于质子，两种效应下的最大加速半径分别为0.505 474 m和13.116 1 m。由上述分析可知，相对论效应起主要作用，此时粒子最大运动半径可以作为回旋加速器的D形盒半径。

(a)相对论效应

(b)非相对论效应

(c)间距随比荷

(d)比值随比荷图3 半径、间距、比值随比荷的变化图

3.1.3 当两种效应相同时D形盒间距d随比荷的变化

当质子在两种效应下最大加速次数相同时，D形盒间距为2.6×10-3m，几乎是1×10-4m的26倍，故当d取1×10-4m时非相对论效应影响特别小。对于不同粒子，当两种效应相同时D形盒间距d随比荷变化图如图3(c)所示。随着比荷的逐渐增大，D形盒间距逐渐减小，说明对于比荷较大的粒子，很小的间距d，就可以使非相对论效应的影响与相对论的相同。随着比荷的增加，非相对论效应影响越来越强。

为了减少非相对论效应对粒子加速的影响，我们要使D形盒间距d远小于D形盒半径R，即d≪R。对于不同比荷的粒子，当相对论效应与非相对论效应影响相同时，观察此时R与d的比值是否满足远大于1。根据⑤、⑦式，求出比值为

3.2 得出规律

3.3 描述探究结果并对结论进行合理解释

求出质子在这两种效应综合影响下的加速次数为300次，比单独在相对论效应影响下的次数306次更少。因此我们就可以将两种效应对最终次数的影响结合起来分析，提高计算精度。作出综合影响下的最大加速次数随比荷的变化图如图4所示，可以精确找到每种粒子的最大加速次数。

图4 综合两种效应下的加速次数随比荷的变化图

4 表述

4.1 表述探究过程

根据回旋加速器的高频电源周期与粒子运动周期是否完全一致，提出问题。相对论效应、非相对论效应是否会对粒子加速造成影响，并猜想前者影响较大。通过建立粒子在磁场中做匀速圆周运动模型、在电场中做匀加速直线运动模型，设计探究方案。通过理论推导，分别计算出粒子在两种效应下的最大加速次数。对于质子、电子，得出相对论效应会首先影响粒子加速次数。接下来从关系式推导、画图、举例等不同方法、手段分析处理信息。通过得出的两种效应下加速次数与比荷关系式，作出变量关系的图像，对比得到对于任何粒子上述结论都成立。推导得到两种效应下最大加速半径与比荷的关系式，为设计回旋加速器D形盒半径提供了依据。当两种效应限制加速次数相同时，得到此时D形盒间距d随比荷的变化关系，便于设计回旋加速器D形盒间距。继续推导得到两种效应相同时，D形盒最大半径R与D形盒间距d的比值随比荷的变化关系，知道对于不同比荷的粒子，比值为多少时满足条件，例如当质子在两种效应下最大加速次数相同时，比值为194.801。最后，通过计算，得出了两种效应综合影响下的加速次数与比荷的精确表达式和图像。

4.2 反思和评估探究过程和结果

从图像可以看出，对于所有粒子，相对论效应主要影响粒子的加速次数和最终能量。对电子加速的次数、能量的影响因素从大到小依次是相对论效应、非相对论效应、辐射效应。两种效应下的最大加速半径、两种效应相同时的D形盒的间距、两者比值随比荷的关系，为设计回旋加速器提供了数据参考。根据两种效应综合影响的加速次数关系式，我们可以准确计算加速次数。为了避免相对论、非相对论效应对粒子加速的影响，避免出现加速周期与电源周期不同步问题，可以采取稳压电源的回旋加速器或同步回旋加速器。通过科学探究，不仅为学生分析了加速周期不同步问题，而且提升了物理学科核心素养。