电磁感应中的单棒和双棒模型的归类探析

江苏 吕朝阳

(作者单位：江苏省前黄高级中学国际分校)

在电磁感应中经常会遇到单根或两根导体棒在导轨上做切割磁感线运动的问题，这类问题的实质是其他形式的能量与电能之间相互转化；解决此类问题的思路和策略是从等效电路、力与运动、功能关系及动量冲量出发，在分析、推理和综合的基础上列出相应方程进行求解。笔者现对此类问题进行分类探析。

一、电磁感应中的单棒模型

1.模型解读

电磁感应中的单导体棒模型是单根导体棒在导轨上做切割磁感线的运动，产生感应电动势和感应电流，然后导体棒在安培力等合力的作用下运动的典型模型。这类模型涉及电磁学、力学等相关知识和图像规律，主要考查学生对法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律和功能关系等物理规律的理解、掌握与应用，有利于培养学生在真实情境下解决问题的能力。

2.解题思路

在处理此类模型时，要关注三条主线：等效电路、力与运动和功能转化，如图1所示。

3.单棒模型归类

(1)单棒与电阻的组合

平行导轨表面光滑、电阻不计、间距为L，一端连接电阻R。单棒质量为m，电阻为r，棒与导轨接触良好。

表1

【例1】如图2所示，两根足够长的光滑平行直导轨与水平面成θ=37°放置，两导轨间距L=0.5 m，在导轨间接有阻值为R=0.3 Ω的电阻。一根质量m=0.5 kg的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，金属杆电阻r=0.2 Ω，整套装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。现让ab棒由静止释放，则运动过程中的最大速度vm=6 m/s。导轨和金属杆接触良好，其他电阻均不计。(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2)

图2

(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；

(2)当ab棒匀速时，ab棒两端的电压Uab；

(3)若ab棒从释放到速度达到最大速度vm的过程中，沿导轨下滑的距离x=4 m，求电阻R上产生的热量Q，通过电阻R的电荷量q；

(4)若ab棒从静止开始向下做加速度a=1 m/s2的匀加速直线运动，求当t=6 s时，作用在金属棒上沿斜面方向的外力F的大小，外力的瞬时功率P；

(5)若导轨粗糙，ab棒能在导轨上离最高处竖直距离h=3 m位置静止，且磁场按B=1+0.5t(T)的规律变化，求当t=2 s时，ab棒所受的摩擦力大小和方向。

联立得B=1 T

(2)当ab棒匀速运动时，E=BLv=3 V

(3)若ab棒从静止释放到速度达到最大速度vm的过程中，沿导轨下滑的距离x=4 m，根据动能定理得

则Q=W克安=3 J

(4)若ab棒从静止开始向下做加速度为a=1 m/s2的匀加速直线运动，则

当t=6 s时，v=at=6 m/s2

感应电动势E=BLv=3 V

根据牛顿第二定律得F+mgsinθ-F安=ma，则F=0.5 N，方向沿斜面向下

外力的瞬时功率P=F·v=3 W

以棒为研究对象，设摩擦力方向沿导轨向下，根据平衡条件得f+mgsinθ=F安，则f=-0.5 N，方向沿导轨向上。

【点评】解题的过程中要紧紧抓住三个方向，一是通过受力情况及力的变化情况，分析出物体的运动特征；二是要准确区分电源和外电路，并画出等效电路图；三是通过做功分析，判断能量的变化情况，并列出动能定理或能量守恒定律的公式进行求解。

(2)单棒与电容的组合

平行导轨表面光滑，电阻不计，间距为L。单棒质量为m，电阻不计。棒与导轨接触良好。

表2

续表

【例2】如图3所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场，有两条间距为d的足够长平行直导轨MN、PQ处于同一水平面内，左端连接一电容为C的电容器，右端连接阻值为R的电阻。质量为m的导体棒垂直跨放在导轨上，与导轨间的摩擦不计。开关k1闭合，k2断开，从t=0时刻开始，对导体棒施加一个大小为F、水平向右的恒力，使导体棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中导体棒始终保持与导轨垂直且接触良好。除电阻R以外其余部分的电阻均不计，重力加速度为g。

图3

(1)求导体棒向右运动L1时的速度大小；

(2)导体棒向右运动L1时，断开k1，闭合k2，若导体棒再向右运动L2时，导体棒已经做匀速运动，求匀速运动的速度和这一过程中电阻R上产生的焦耳热。

【解析】(1)设在Δt时间内，导体棒速度变化为Δv，则导体棒产生的感应电动势变化ΔE=BdΔv

对导体棒，由牛顿第二定律有F-BId=ma

可以看出，加速度与时间无关，说明导体棒做匀加速直线运动

(2)断开k1，闭合k2，若F大于安培力，则导体棒先做加速运动后做匀速运动；若F等于安培力，则导体棒做匀速运动；若F小于安培力，则导体棒先做减速运动后做匀速运动，因为无论哪种情况，导体棒最后匀速运动，所以由平衡条件可得

对导体棒在该过程中使用动能定理，设克服安培力做功为W，可得

故此过程中电阻R上产生的焦耳热为

【点评】解决单导体棒与电容器组成的电路问题的思路是，导体棒在外力作用下开始加速运动，导体棒切割磁感线产生感应电动势使电容器充电，从而在回路中产生充电电流，导体棒受到安培力的作用，列出牛顿第二定律和充电电流的表达式，就可以判断出导体棒运动状态。

二、电磁感应中的双棒模型

1.模型解读

电磁感应中的双棒模型是两根导体棒在导轨上切割磁感线，产生了同向或反向的两个动生电动势，在这两个电动势的共同影响下形成感应电流，然后两根导体棒在外力的作用下运动的典型模型。这类模型主要考查学生对法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律、动量定理、动量守恒定律和功能关系等物理规律的理解、掌握与应用，有利于培养学生的高阶思维能力。

2.解题思路

在处理此类模型时，要关注四条主线：等效电路、力与运动、动量冲量和功能关系线，如图4所示。

图4

3.双棒模型归类

(1)合外力为零的双棒系统

平行导轨水平放置，表面光滑，电阻不计，间距为L；双棒质量均为m，电阻均为r；棒与导轨垂直并接触良好；匀强磁场B与导轨垂直。

表3

【例3】(多选)如图5所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域内有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为B的匀强磁场。在t=t1时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，流经a棒的电流为0，此时t=t2，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b由相同材料制成，长度均为L，电阻分别为R和2R，a棒的质量为m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则

( )

图5

C.t1～t2时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍

【答案】BD

【点评】针对电磁感应中双导体棒在水平导轨上的运动问题，可根据两棒的长度或速度的大小关系，判断两棒产生的感应电动势的大小关系，再根据双棒运动的速度方向，判断出这两个电动势的方向关系，进而分析总的感应电动势的大小，且感应电流的方向总是与总电动势的方向相同；然后根据双棒所受安培力大小与方向的变化情况，依据牛顿运动定律或动量守恒定律分析出双棒最终的稳定运动状态；在不考虑摩擦和空气阻力的情况下，根据能量守恒定律，闭合电路中产生的焦耳热应等于系统机械能的减少。

(2)合外力不为零的双棒系统

足够长的平行导轨，表面光滑，电阻不计。棒与导轨垂直且接触良好。匀强磁场B垂直导轨。

表4

续表

【例4】如图6所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m、电阻均为R的金属棒，现让ab棒从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长，重力加速度为g。试求：

图6

(1)ab、cd棒的最终速度；

(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

【解析】ab棒下滑进入磁场后切割磁感线，在abcd电路中产生感应电流，ab、cd棒各受不同的安培力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，ab、cd棒不再受安培力作用，各自以不同的速度匀速运动。

由于ab、cd棒串联在同一电路中，任何时刻流过二者的电流总相等，金属棒有效长度Lab=3Lcd，故它们所受的安培力大小关系为Fab=3Fcd②

在安培力作用下，ab、cd棒各自做变速运动，产生的感应电动势方向相反，当Eab=Ecd时，电路中感应电流I为零，安培力为零，ab、cd棒运动趋于稳定，此时有

ab、cd棒受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得

FabΔT=m(v-vab) ④

FcdΔT=mvcd⑤

(2)根据系统的总能量守恒可得

【点评】双棒系统在运动的过程中所受合外力不为零时，内部通过的电流相同，由此可以找到它们所受安培力的大小关系；再根据运动过程中双棒切割磁感线所产生电动势的大小及方向关系，分析出电路中总的感应电动势的变化情况，接着推理出感应电流和安培力大小的变化情况，最后分析最终的稳定状态。由于系统所受的合外力不为零，分别列出动量定理的方程，即可求解。

三、总结

本文所归类总结的单棒和双棒模型是比较常见的模型，并没有也不可能穷其变式，但不管是经典题型还是新颖的变式，解决单棒和双棒模型的基本思路是相同的，即基于能量转化的实质，从等效电路、力和运动、功能关系以及动量冲量这四个方面入手，通过分析、判断、推理和综合来解决实际问题。由于此类题型的综合性较强，对学生的能力和素养水平具有良好的考查和评价作用。