基于扩散方程的强度不均匀图像分割*

杨晟院，刘祥波，曾笑云，2，庞 达

(1. 湘潭大学 计算机学院 网络空间安全学院, 湖南 湘潭 411105;2. 中国电信股份有限公司湖南分公司, 湖南 长沙 410000)

0 引言

图像分割是计算机视觉研究中的一个经典难题，已经成为图像领域关注的一个热点.由于图像分割问题本身的重要性，从20世纪70年代起就吸引了很多研究人员进行了深入的研究，提出了一系列行之有效的图像分割技术，并产生了相当多的研究成果和分割方法[1-3].

常见的图像分割方法有：(1)基于阈值的分割方法[4]，该类型的方法计算简单， 效率较高，但对噪声比较敏感，鲁棒性不高，阈值的选择有局限性；(2)基于区域的图像分割方法，该类型的方法是以寻找区域为基础的分割技术，常见的方法有区域生长法[5]、区域分裂合并法[6]、区域拟合法[7]、分水岭算法[8].该类型的方法对复杂图像分割效果较好，但算法复杂、计算量较大；(3)基于边缘检测的分割方法[9]，该方法试图通过检测包含不同区域的边缘来解决分割问题，常见的算法有Roberts算法、Sobel算法、Priewitt算法、Laplacian算法、Canny算法等.该类算法速度快，边缘定位准确，但不能保证边缘的连续性和封闭性，在高细节区域容易产生大量的碎边缘以及小碎片；(4)基于偏微分方程(PDE)模型的分割方法[10-12]，如基于扩散方程的分割模型[13]、基于主动轮廓模型的分割方法[14]、距离正则化水平集演化(DRLSE)模型[15]、CV模型[16]等.(5)基于深度学习模型的图像分割方法，目前大多数这方面的框架都以U-Net[17]或者特征金字塔网络(FPN)[18]作为它的基本结构，并且借助VGG[19]、resnext[20]、EfficientNet[21]等框架作为它的主干网络，用于从原始输入图片中提取特征，再借助自身的结构对图像进行分割预测.深度学习的方法能获得高精度的图像分割，但是却需要消耗大量的计算资源，且需要大量的训练数据，在整个过程需要花费大量时间.

基于PDE模型的水平集分割方法具有保证图像分割的封闭性以及边缘的连续性，并且有成熟的PDE理论保证和高效的迭代算法等优势，许多学者在基于PDE模型的图像分割方面做了大量的工作. 如：CV模型将区域内外的平均拟合灰度看作常数，用各点与平均拟合强度差的平方构造能量方程.图像强度均匀分布时，CV模型能获得较好的分割效果，但当强度不均匀时，容易产生错误的分割.RSF模型[22]将平均拟合强度扩展为局部拟合函数，LIC 模型[23]对强度不均匀场进行评估并修正.RSF模型和LIC模型均有效提高了处理强度不均匀的能力. Zhang等[24]基于统计学原理提出LSACM模型.LSACM模型处理强度不均匀的能力进一步增强，但在图像强度严重不均匀时，仍然可能存在偏差.LATE模型[25]通过泰勒展开式对RSF模型的拟合函数进行进一步扩展，在图像强度严重不均匀情况下，LATE模型仍能保持很好的分割效果，但LATE模型计算代价较高.

扩散方程作为偏微分方程的重要内容，在图像分割领域也被广泛应用.Du Zhongjie 等[13]提出了一种带选择源的非线性扩散方程用于对退化文档图像的恢复，再根据一个灰度阈值便可将其进行分割，该模型对部分文档图像能取得较好的性能， 但是对于部分背景被严重污染或者文字不太明显的文档图像，该模型效果表现不太好. Moroanu Costi că等[26]提出了一种非局部非线性二阶各向异性反应扩散模型，该模型在强度较均匀的图像有较好的分割结果，对于具有模糊边界的多目标图像可以较为准确地分割，但当强度较不均匀时，分割结果与真实结果有较大的偏差.

针对图像强度不均匀的情况，以上方法进行了较深入的研究，但仍然存在一些问题，例如图像分割精度或者算法的效率有待进一步提升.针对这些问题，文章提出了一种基于扩散方程的强度不均匀图像分割方法，该方法无须设置初始轮廓，直接利用图像本身所携带的信息构造初始的冷、热源，根据热传导的思想对强度严重不均匀的图像进行有效的分割.

1 基于扩散方程的图像分割原理

二维扩散方程被广泛地用于描述浓度扩散、流体运动和传热过程.对于均匀的二维区域，假设传热系数为常数，其传热方程为[27].

(1)

式中：函数φ表示二维区域上的温度；(x,y)是区域内点的空间坐标；f(x,y,t) 是热源项；μ2φ是区域内自发热扩散的扩散项；μ是传热系数.

为了防止二维区域上温度绝对值过大，假定区域内的点只有在温度接近于零时才有一个对该点有较大作用的外部热源.当温度绝对值较大时，外部热源的作用较小(或者说接近于0).为了模拟这种情况下的传热过程，设

f(x,y,t)=D(I(x,y))·δ(φ(x,y,t))，

(2)

式中，D(I(x,y))表示为:

(3)

式中：h(I)是由原图经过类Laplace算子预处理得到的温度初始值，|h(I)| 为热量分布，当图像某处的初始温度绝对值越高时，代表该处所蕴含的能量值越高；h((x,y)) / |h((x,y))| 表示符号控制，符号为正则表示该点是热源作用、符号为负则表示该点为冷源作用；*表示卷积操作；|h(I)|Kσ2表示为以热量分布图中某点为中心的一个区域的加权能量值，其能有效地增加目标轮廓边缘区域和其他区域的温度差，以及抑制强噪音的热量绝对值剧增.λ为一个正常数，其值越大则在分割结果中会保留越多的细节.D(I)在整个演化过程只需计算一次.一般来说，当区域上各点温度一致时，某点h的响应幅度越强，该点处f的响应幅度也越强.

δ(φ(x,y,t))称为热敏因子，δ(·) 表示为

(4)

式中，u表示某个坐标点处的温度.当|u|= 0，δ(u)有最大值δ(0) = 1/π，f= D/π；当|u|较大时，δ(u)≈0，f≈0.由式 (1)、式(2)和式(3)得到

(5)

文中h的表达式为

h(I)=(I-Kσ1*I)

(6)

其中，Kσ是一个带有σ标准差的高斯核函数，Kσ的表达式为

(7)

在远离图像边缘的平坦区域，有I≈Kσ*I，所以h≈0.在图像的边缘附近，边缘两侧的强度差异很大.因此，类似于采用Laplace算子作用后在边缘图像的两侧，产生一对绝对值相等且符号相反值.这样处理比直接采用Laplace算子更抗干扰.

为了保持活动轮廓曲线的光滑性，文中也引入弧长项vδ(φ)·div(∇φ/ |∇φ|) 来保证轮廓曲线的光滑度，最终的图像分割模型为：

(8)

2 基于扩散方程的图像分割算法

根据扩散原理可知，当整个演化达到稳定状态时，图像目标的轮廓对应于温度为 0 的分割线.因此，在实际演化过程中，只需判定温度为 0 的分割线在相邻两次迭代过程中不变或者在可控的误差范围内即可停止迭代.文中根据每张图所对应的温度图上各点的符号变化数来设定截止条件.假设一张图分辨率为M*N，每次迭代后记录符号变化的点的个数记为x，当x/(M*N) <=ε时，则认为该模型已经演化到了一个稳定状态，可停止演化.

根据以上的分析，给出基于二维扩散方程的图像分割算法如下：

算法1 基于扩散方程的图像分割算法

1：输入源图像I，设置参数 μ、ν、σ1、σ2、λ、ε；

2：记录整幅图的像素点个数n；

3：根据式(6)计算h(I)；

4：根据h(I) 设置初始值(φ0) ；

5：根据式(3)计算D(I)；

6：根据式(2)计算f；

7：根据式(8)计算出下一次迭代后的结果 φi+1，i表示为当前的迭代次数；

8：令φi=φi+1，统计温度符号发生变化的点的个数x，如果x/n>ε，返回第 6 步，否则输出最终结果φ.

3 数值实现

3.1 各种分割模型的演化

本文采用MATLAB R2017a编程实现、操作系统为Windows 10.5种水平集模型和文中的模型的演化如图1所示.图1(a)～(f)中，每行图分别为RSF模型、DRLSE模型、LIC模型、LSACM模型、LATE模型和本文模型的图像分割演化示意图.从图1的第一列图可知，本文模型无须设定初始轮廓，根据图像的静态项h可以得到图像的初始状态(图 1(f)的第一张图)；其他模型都需要设定初始轮廓曲线.从演化图中可看出，LIC模型和本文模型能够快速定位图像的边缘.另外，本文方法最显著的特点是，在演化的早期阶段，活动轮廓能快速定位图像的强轮廓，虚假轮廓则由热扩散的作用会慢慢消失，最终实现对目标弱轮廓分割.

不同的初始轮廓对RSF模型、DRLSE模型、LIC模型、LSACM 模型、LATE模型都有较大的影响.在不同初始轮廓下，5种水平集模型的分割结果如图4所示.其中图2(a)(第一行的图片)为两幅图分别给定了5种不同的初始轮廓曲线的情形.图2(b)～(f)每行分别对应这5种分割模型的分割结果.可以看出，由于初始轮廓线设置的不同可能会产生较为严重的不合理分割.

本文模型则不需要设置初始轮廓，且能获得理想的分割结果，说明本文的图像分割模型具有较强的鲁棒性.

3.2 分割质量和效率的比较

图像分割的精度可以用 JSC 相似系数[22-23]标准来衡量.

(9)

式中：Om为算法推导出的目标区域；Ot为图像中真正的目标区域；A(·)表示区域面积.JSC的取值范围为[0,1]，其值越大，表示分割越准确.

一般来说，图像强度不均匀性越严重，越难以得到准确的分割结果.因此，针对强度严重不均匀的图像进行分割，则能很好地检验图像分割方法分割图像的能力.

图3 中的第(1)列图像为待分割处理的原始图像，第(1)列的第一幅图像为二值图像，之后的4幅图像则为强度不均匀性依次增大的图像.将第(1)列的第一幅图像的黑色区域作为标准的Ot.分别采用不同的图像分割方法对第(1)列的5幅图像进行分割处理.分割结果为：第(2)列图为采用GAC模型的分割结果；第(3)列图为采用CV模型的分割结果；第(4)列图为采用RSF模型的分割结果；第(5)列图为采用DRLSE模型的分割结果；第(6)列图为采用LIC模型的分割结果；第(7)列图为采用LSACM模型的分割结果；第(8)列图为采用LATE模型的分割结果；第(9)列图为采用本文模型的分割结果.

从图3的分割结果图可以看出，随着强度不均匀性的增加，GAC模型、CV模型、RSF模型、DRLSE模型、LIC模型和LSACM模型的分割结果明显变差.LATE模型还能获得较满意的分割结果，本文模型的分割结果最理想.

表1为8种模型针对图3进行分割处理的JSC值表.从表1中的数值结果看，随着强度不均匀性的增加，GAC模型和CV模型的JSC值迅速下降；RSF模型、DRLSE模型和LIC模型对强度不均匀性有一定的处理能力，但当强度不均匀性较严重时，JSC值显著下降；LSACM对强度不均匀性的有较强的处理能力，但当强度不均匀性较严重时，JSC值会下降到0.8左右.在表1中，从纵向比较的结果来看，本文模型针对图3中的(b)(d)(e)图分割精确度最高，对(a)(c)图的分割精度也非常接近其他方法的最高精确度值.在强度不均匀图像的分割精度上，本文模型基本上优于 LATE 模型；从横向比较的结果来看，本文模型和LATE模型一样，在严重的强度不均匀情况下，JSC值也稳定在0.9左右.说明本文模型针对强度严重不均匀图像的分割具有高精度、高鲁棒性的优点.

本文针对自然图像的分割也进行了测试，各模型的分割结果如图4所示.其中，第1行图像为待分割处理的原图.第2行图像为RSF模型的分割结果；第3行图像为DRLSE模型的分割结果；第4行图像为LIC模型的分割结果；第5行图像为LSACM模型的分割结果；第6行图像为LATE模型的分割结果；第7行图像为本文模型的分割结果.从分割结果上看，本文模型的分割结果最理想.

表2为这6种模型针对图4中9幅图像进行分割处理的时间.数据结果显示，本文的方法在其中的6幅图像的分割处理用时最少，在另外3幅图像的分割处理中用时仅次于LIC模型，但用时也相差不大.相较于具有高分割精度的LATE模型，本文模型不仅在强度不均匀图像的分割精度上基本优于 LATE 模型，从运行时间上看，本文模型比 LATE 模型所需时间更是低一个数量级.总体上看，本文模型效率最高.

表2 图4中9幅图的分割时间Tab.2 Segmentation time of the 9 images in Figure 4 单位：s

4 总结

本文基于扩散理论提出了一种针对强度不均匀图像的快速分割方法.与传统的基于边缘的水平集和基于区域的水平集相比，本文模型无须设定初始轮廓线，对于强度不均匀图像的分割具有高效率、高精度、高鲁棒性的优点.

注：本文是将杨晟院老师所指导学生曾笑云的硕士毕业论文[28]中部分内容进一步完善的工作.