基于学科核心素养的高中数学建模案例

■福建省漳州市龙海区实验中学 杨惠凯

发展学生核心素养是当下高中教学的关键，也是我国课程改革深入的标志。高中建模活动是培养学生核心素养的有效载体，能引导学生运用数学知识解决实际问题。因此，教师需要重视高中数学建模活动的设计，积累成功案例经验，推动数学学科核心素养的落实。本文基于学科核心素养，对如何设计成功的高中数学建模案例进行研究并提出几点建议，以供参考。

一、基于学科核心素养的高中数学建模设计原则

数学建模活动的设计要以教学设计为主要框架，并按照新课标的教学要求开展，这样才能真正落实学生核心素养的培养。而在设计建模活动中，教师要遵循以下基本原则：第一，处理好数学建模互动教学时机与课时的安排。根据高中数学教学特点分析，课程分为必修课程、选择性必修课程、选修课程，不同课程的教学要求不同、课时分布不同，对应设计的数学建模活动也应有所不同。教师应以核心素养的培养为前提开展教学设计，必修课程课时最多、内容也更紧要，教师要重视基础建模活动的设计，选择2～3个课题指导学生对知识进行巩固和强化。第二，确定教学重难点。建模案例的设计能让学生参与其中，并对数学知识点有更深刻的认识，而且高中生已经具备初步的自主学习能力，为了保证不影响教学效率，教师应重视挑选教学重难点，围绕重难点设计数学建模活动，并在活动中给予学生正确的指导，让学生能在建立数学模型和求解中灵活运用所学的数学知识和解题技巧，达到锻炼建模素养的目的。第三，创新教学形式。基于核心素养下的高中数学课堂，不能是教师用大部分时间灌输知识的教学方式，也不能完全放任学生自由学习，而是要结合教学内容的难度和学生的思维水平、学习状态、数学建模素养等进行选择，促进“教”“学”共同成长。

二、结合常规教学的课内数学建模案例研究

在高中数学课堂中设计建模活动，目的是让学生在深刻理解知识点的基础上，掌握应用知识解决数学问题的能力。当知识储备与能力相匹配时，学生才能学会用数学的眼光观察世界、分析世界、描述世界，从而实现核心素养的培养和提升。教师要在课堂中以实际生活案例为切入点，引导学生建立数学模型，达到解决问题的教育目标。以“数学建模案例（二）：曼哈顿距离”为例，现实生活中很多城市的街道都是相互垂直或平行的，人们需要通过直行和拐弯才能到达目的地。德国数学家闵可夫斯基据此提出了“曼哈顿距离”，教师可以从中概括出问题，并在数学课堂中将其拆分为多个问题，引导学生参与建模活动中。

（一）提出问题

教师要先提出一个简单的问题，引导学生构建数学模型，问题为：某地三个新建居民区位置分别位于三点，A（3，20），B（-10，0），C（14，0），现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心，请尝试确定点P的位置，并使三个居民区的曼哈顿距离最小。

（二）分析问题

很多以曼哈顿距离为背景的实际应用问题都是以某点到已知各点的曼哈顿距离最小作为约束条件，并引导学生建立模型确定该点位置。在向量相关课程的教学中，教师可以将这一问题作为实际应用例题，引导学生利用所学的向量知识进行分析。如果想要得出三个居民区的曼哈顿距离最小，就要先设点P的位置为（x，y），并从水平和竖直两个角度展开分析。

（三）模型建立与求解

学生在教师的指导下完成问题的分析后，要先结合题干在白纸上将图像画下来，通过直观的观察后，设点P（x，y）其中y≥0，则点P 到三个居民点的曼哈顿距离可以表示为：Z=d(x,y)=|x- 3 |+|y- 20 |+ |x+ 10 |+ |y|+ |x- 14 |+ |y|=(|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |)+(|y- 20 |+ 2 |y|)。通过列式分析发现，水平方向的距离为X=h(x)=|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |，垂直方向的距离为Y=v(y)=|y- 20 |+ 2 |y|，二者是相互独立的，双方并无影响。曼哈顿距离求的是点P到三个居民点的最小距离，也就是求Z 的最小值，且Z=X+Y=h(x)+v(y)，通过等量替换得出，Z 的最小值Zmin就等于水平距离X的最小值Xmin与垂直距离Y的最小值Ymin的和，即有Zmin=Xmin+Ymin=minh(x)+minv(y)(x,y∈R)。从水平距离上看，因为X=h(x)=|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |，当且仅当x= 3是，不等式的等号是成立的，即 |x+ 10 |+ |x- 14 |≥|-(x+ 10 )+(x- 14 )|= 24，计算得出的结果为Xmin= 24。同理可以求出，当y= 0时，Ymin= 20。因此，当文化中心修建在点P（3，0）时，它距离三个居民区的曼哈顿距离最小，最小距离为44。基于此，学生能在教师指导下完成数学模型的建立和求解，并利用学过的向量知识对问题进行分析和解决，同时强化了对向量知识理解和掌握，也使抽象思维、数学建模、运算能力等得到了锻炼和培养。

（四）创新问题并提高难度

在上述问题的基础上，为了进一步启发学生的思维，教师可以在题目中加入新的条件，让学生开展更深层次的思考。例如，设置问题：假设以点O为圆心，半径为1的圆的范围内属于生态环境区，人们不能进入，在其他条件不变的基础上，点P 的位置是否会产生变化，如果产生了变化请重新确定，使其到三个居民点的曼哈顿距离最小。教师要引导学生重新分析题意，发现题目中融入了圆的相关知识，结合之前所求出的P 点位置和圆的特点，发现水平方向上的位置不需要变化，但垂直方向上的位置则不符合题目要求。因为圆的半径为1，所以建立模型并求解时应添加y≥1的限制条件，再遵循原来的思路进行解题，点P 的位置应该由P（3，0）变为P（3，1）。重新列式计算得出，文化中心到三个居民区的曼哈顿距离的最小值为45。由此，学生在建模求解中不仅加强了对向量知识的掌握，还复习了圆的相关知识，能将向量与圆的知识完成衔接，构建更加完善的知识体系，促进数学建模能力提高的同时，还能将所学知识融会贯通，强化系统化学习。

（五）问题拓展

当学生接触过建模活动且厘清学习思维后，教师可以在原有基础上设计拓展环节，指导学生对模型展开进一步的讨论。例如，根据图1 所示，n 台工作效率相同的机器等距排列在一条流水线上，每台机器生产零件都需要送到人工检验台上检验，质量合格后才能进入下一道工序。如果零件在直线上传送速度是相同的，问检验台的位置应设置在哪里，才能使零件传输时总的距离最小？

图1

在前面的问题中，教师给予了学生指导，并在题目中给出了具体数值，学生在计算时可以通过绘制直观的图像解题，但拓展问题的难度明显增大，将固定的位置转变为动态的流水线，且题目中给出的条件有限。很多学生在初次阅读题目后往往是一头雾水，教师可以将学生分成多个小组，让他们在小组内展开分析和探究。小组内成员需要结合题意先完成建模工作，小组长鼓励成员依次说明自己的观点和看法，集中所有人的智慧建模再求解。根据题目的要求将零件传送总距离设为y，将检验台位置设为x，再将第k 个零件的位置设为Ak( )k= 1,2,...,n，再列式求出结果。教师通过设计基础性、创新性、拓展性等难度不同的问题，不仅可以让学生巩固向量的知识，还能对数列、圆等知识加强理解，而且让学生完整地体验数学建模的过程，最终使学生的核心素养得到锻炼和提高。

三、依托学生社团的课外数学建模案例研究

数学建模能力的培养仅依靠课堂教学时间是远远不够的，教师应探索将教学向课外拓展，寻找课内外活动相衔接的道路。社团活动是学生数学建模能力发展的有效途径，为了培养学生综合能力，部分高中陆续开展了社团活动，这为数学建模活动提供了发展和实践的良好平台。教师在鼓励学生成立数学建模社团活动，并邀请课内外教师为他们做指导工作，以生活中的实际问题为背景建立数学模型，并设计竞赛活动，鼓励学生以组队的形式参与其中。以“数学建模案例（三）:人数估计”为例，为了培养学生的数学建模素养，教师可以在社团举办竞赛活动，设计只知道部分信息的题目，让学生以小组为单位，自行推理和估计全部信息。问题的设计要尽量贴合生活实际，如医疗科研机构调查某慢性病患者的人数、学校五一外出旅游的人数、高考改革后物理学科选考人数等，让学生在建模中深化对知识的掌握。

（一）提出问题

某高校美术系平面设计专业是“大热门”，报考人数连创新高，今年报名结束后，某考生想要知道报考的总人数，就随机了解了50个考生的考号整理在下表1中。考生的考号是按照由小到大的顺序依次排列的，请大家设计一种方法，根据随机的考生考号估计考生的总数。

表1 某高校美术系平面设计专业考生考号表

（二）分析问题

从表格中随机抽取的考号，总体中的个体已经按照自然数编号，通过随机抽取并按照从小到大的顺序排序后，把考号分别记为x1，x2，x3，...xn，其中。但由于考生总数并没有精确的估计方法，如果没有其他辅助消息，则只能利用样本估计总体的形式进行近似估计。因此，为了使估计值更加精准，各小组可以在多种假设的条件下，采用不同的估计方法建立数学模型并求解。

（三）建模与求解

结合所学知识，各小组学生会采用不同的方法建立数学模型并求解，有的小组从样本与总体的关系入手，尝试用样本的最大值估计总体的最大值；有的小组则借助中位数建模，用样本的中位数估计总体的中位数；有的小组则是借助样本的平均值估计总体的平均值；还有小组利用分区间的方式求解。以用分区间方法求解为例，具体解题内容如下：将随机抽取的50个样本按照从小到大的顺序排列，利用它将N个数据分段，选取不同的端点，则得到不同的估计值。在分区间时，需要先将区间[ 1,N]分成51个小区间，分别是利用公式计算出这51 个小区间长度均值为，而前50 个区间的平均长度则为，由于样本是随机抽取的，可以认为因此，N 的估计值可取为在建模和求解的过程中，各小组所用的方法不一样，取得的结果也会存在一定的差异，教师知道结果是在合理的假设前提下得到的，就不能说结果一定是错的，这也体现了统计学的特点。对此，竞赛评委要更重视对学生的建模过程和分析过程进行点评，让学生在建模中通过讨论和探究有所收获。

（四）模型检验

指导教师应根据学生的建模过程和探究结果，要求学生尝试在合理范围内改变随机考号内容，并重新建模计算求解，查看结果是否存在偏差，如果前后两次所得结果相差无几，则说明所建模型的合理性与适用性。反之，如果前后两次所得结果有较大的偏差，则需要在小组内重新讨论，思索建模与求解中的不足之处，并对过程进行合理的优化。

四、结语

总的来说，当前的高中数学课堂中很少组织过建模活动，更多的是教师组织学生在课堂中讨论数学建模相关的问题，在课堂中很少体现对学生建模素养的培养。为了改变这一情况，教师应从核心素养的角度出发，以理论指导实践，设计具体的教学案例，并引导学生参与其中，通过实践活动获取知识、提高自身能力。