初中数学中巧作辅助线解平行线有关问题

黄艳红

【摘要】 在学完了平行线的性质与判定之后，往往对一类题目感觉到比较困难，这类问题做起来比较棘手，而考试当中又常常遇到.现对这类题目总结归纳，谈谈做题技巧.

【关键词】 辅助线;初中数学;直线平行

我们知道，平行线的性质有三个，分别是：两直线平行，同位角相等;两直线平行，内错角相等;两直线平行，同旁内角互补.平行线的判定有四个，分别是：同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.对平行线的性质与平行线的判定，我们通常都离不开一个基本模型——两条直线被第三条直线所截，也就是“三线八角”模型，实际问题的图形中却往往不只三条直线，由于线的数量变多了，导致我们往往找不到第三截线，或者虽然能在基本图形中找到，但图形变化时就很难找到，特别是没有第三截线的时候更是不知所措，现对这类题目总结归纳，谈谈做题技巧.

1 一点在两平行线内部

1.1 “M型”

例1 如图1，已知AB∥DE，点C为AB，DE内部一点，则∠BCE与∠1，∠2之间的数量关系是.

解 要想建立这三个角之间的关系，这里的条件AB∥DE用不上，所以，要过C点作CF∥AB，这样平行就有了“桥梁”——“第三截线BC”，

所以∠1=∠BCF;

又因为AB∥DE，

所以CF∥DE，

所以∠2=∠ECF，

∠BCE=∠BCF+∠ECF，

这样∠BCE=∠1+∠2.

1.2 “U型”

例2 图3

如图3，AB∥CD，试解决下列问题：

如图∠A+∠E+∠C=.

解 我们知道两直线平行，同旁内角互补，如图4，同旁内角的关系类似于英文字母“U”.而这里无法用到条件AB∥CD，因为没有一条直线和两平行线同时相截.所以，要过E点作EF∥AB（如图5），

所以∠A+∠AEF=180°，

又因为AB∥CD，

所以EF∥CD，

所以∠FEC+∠C=180°，

所以∠A+∠E+∠C=360°.

2 两个点或两个以上点在两平行线内部

（1）如图6，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4=°;

（2）如圖7，已知AB∥CD，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=°.

解 方法与例2一样，需要加添辅助线，目的是：创造第三截线，用上两直线平行这个条件.

答案：（1）540°;（2）（n-1）180°.

3 一点在两平行线外部

例3 如图8，已知AB∥CD，∠A=54°，∠AEC=18°，则∠C的度数是（）

（A）36°. （B）34°. （C）32°. （D）30°.

解 作EF∥CD，则

∠C=∠CEF，

因为AB∥CD，

所以AB∥EF，

所以∠A=∠AEF，

又因为∠CEF=∠AEF-∠AEC，

所以∠C=∠A-∠AEC

=54°-18°

=36°.

故选（A）.

总之，两直线平行的问题要利用好第三截线这条重要的桥梁.当没有第三截线时 要作辅助的“平行线”，这时其本质是创造第三截线，从而能用到平行线的性质解题.你学会了吗？

举一反三

0

1.如图10，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（）

（A）70°. （B）60°.

（C）55°.（D）50°.

1

2.如图11，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（）

（A）90°.（B）85°.

（C）80°.（D）60°.

解 这两题题属于“M型”几何模型.

1题中的∠3=∠1+∠2，因此选（A）.

2题中的∠C=∠1+∠2=90°，因此选（A）.

3.如图12，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1=.

2图13

解 如图13，过点E作EF∥AB，

因为AB∥CD，

所以AB∥CD∥EF，

所以∠C=∠FEC，

∠BAE=∠FEA，

因为∠C=44°，

∠AEC为直角，

所以∠FEC=44°，

∠BAE=∠AEF=90°-44°=46°，

所以∠1=180°-∠BAE

=180°-46°

=134°.

4

4.图14是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1=75°，则∠2的度数为.

分析 数学来源于生活又应用于生活.这道题是生活实际问题，我们把它抽象成几何模型，属于“M型”几何模型，

所以∠1+∠2=90°，

于是∠2=90°-75°=15°.

5

5.一大门的栏杆如图15所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD=.

解 过点B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE.

所以∠BCD+∠1=180°.

因为AB⊥AE，

所以AB⊥BF.

所以∠ABF=90°.

所以∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°.

拓展延伸

6.平面内的直线有相交与平行两种位置关系.

（1）如图16，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，求证：∠BPD=∠B-∠D;

（2）将点P移到AB，CD内部，如图17，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则∠P，∠B，∠D之間有何数量关系？

6图17

（3）在图17中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图18，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论;

（4）在图17中，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°，则n=.

8图19

解 （1）如图16，

因为AB∥CD，

所以∠B=∠BOD，

而∠BOD=∠P+∠D，

所以∠B=∠P+∠D，

即∠P=∠B-∠D.

（2）（1）中的结论不成立，

∠BPD=∠B+∠D.

作PQ∥AB，如图17，

因为AB∥CD，

所以AB∥PQ∥CD，

所以∠1=∠B，

∠2=∠D，

所以∠BPD=∠B+∠D.

（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.理由如下：

连接QP并延长到E，如图18，

因为∠1=∠B+∠BQP，

∠2=∠D+∠DQP，

所以∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP，

所以∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.

（4）连接AG，如图19，

因为∠B+∠F=∠BGA+∠FAG，

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G

=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G

=（5-2）×180°

=6×90°，

所以n=6.