巧借逆向思维高效解答初中数学试题

张翔

【摘要】数学作为初中教育阶段的一门重要学科，由于知识较为抽象，对学生的思维水平要求较高，而初中生正处于思维发展的关键时期，教师在平常教学中，不仅要关注理论知识与学习方法的讲授，还要融入思维训练，其中在解题环节可指导他们巧借逆向思维解答试题.本文主要对如何巧借逆向思维高效解答初中数学试题作探讨，并列举一些实例加以说明.

【关键词】逆向思维;高效解答;初中数学

1 打破题目固有顺序，巧借逆向思维解题

例1 某诊所购买若干瓶消毒液，第一次消毒用掉一半零半瓶，第二次消毒用掉剩余消毒水的一半零半瓶，第三次消毒刚好把剩余的消毒液用完，那么该诊所一共购买多少瓶消毒液？

解题过程 本题假如使用一般的方程进行求解，需要设一共购买x瓶消毒液，则第一次消毒使用（x2+12）瓶，剩余（x-x2-12）瓶，第二次使用[12（x-x2-12）+12]瓶，表达式比较繁琐，不易求解，容易出现计算错误.而运用逆向思维，不过不从消毒液的总量着手，而是从中间量切入，把问题简化处理，假设第二次消毒后剩余x瓶消毒液，能够得到x2-12=0，解之得x=1，即为第二次消毒后剩余的消毒液是1瓶;然后设第一次消毒后剩余y瓶消毒液，可以得到y2-12=1，解之得y=3，即为第一次消毒后剩余的消毒液是3瓶;最后接着假设，第一次消毒之前剩余z瓶消毒液，据此得到z2-12=3，解之得z=7，也就是说该诊所一共购买7瓶消毒液.

解题点评 本题如果使用常规的解方程法，虽然也能得到结果，但是过程较为繁琐，学生可能无法分清使用量与剩余量，而运用逆向思维从中间切入，只需列出简单方程即可求解.

2 巧借逆向思维优势，反面思考解答试题

例2 如图1所示，在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，MN=12（AD+BC），请证明AD∥BC.

解题过程 借助逆向思维发，假设AD和BC是不平行的，作輔助线，把对角线BD连接起来，设点P是BD的中点，再把MP、NP连接起来.在三角形ABD中，由于BM=MA，BP=PD，所以MD平行且等于AD的一半，运用同样的方法能够证明PN平行且等于BC的一半，由此得到MP+PN=12（AD+BC）①;这时BD的中点不在MN上面，由此能够根据MN∥AD，MN∥BC推断出AD∥BC，这同假设AD和BC是不平行相冲突，这说明M、P、N三点不在同一条直线上面，MP+PN>MN②.综合以上能够推导出12（AD+BC）>MN，显然这同已知条件MN=12（AD+BC）相冲突，故假设不成立，AD与BC是平行关系.

解题点评 学生在运用逆向思维时，本质原则都为“正难则反”，教师应该启发他们从逆向视角展开思考，形成逆反思维的习惯与意识，使其学会应用逆向思维高效处理这类题目.

3 巧借反证逆向思维，顺利处理数学试题

例3 已知如图2—1所示，点D和点E分别是AB和AC上面的点，BE和CD相交于点O，如果OB和OC、AD和AE都是相等关系，请尝试说明OD和OE也是相等关系.

—1图2—2

解题过程 运用逆向思维时，学生可巧妙借助反证法进行说明，假设OD和OE不是相等关系，当OD∠3，从中推断出∠BDO>∠3，根据∠EDO>∠1，∠1=∠2，∠2<∠DEO得出∠EDO>∠DEO，这说明∠BDO+∠EDO>∠3+∠DEO，则∠BDE>∠CED.另外，∠BDE与∠ADE、∠CDE与∠AED都是互补关系，这说明∠ADE<∠AED，AEOE时，运用同样的方法能够说明ADXVTXhOC8yx9JgpUJ7Xf0lg==

条件不相符，所以说明OD和OE是相等关系.

解题点评 解决这一题目时，假如学生从正面视角进行，需要先画出一个辅助圆，经过A、B、C三点，再根据全等三角形相关知识说明，较为繁琐，而借助逆向思维能够轻松证明.

4 基于结论视角切入，巧借逆向思维证明

例4 如图3所示，在△ABC中，点D与点E均是边AC上面的点，而且AB与AD是相等关系，BD是∠CBE的角平分线，请尝试证明AD2=AE·AC.

解题过程 要想证明题目中给出的结论，学生需从三角形的相似性着手，把AD2=AE·AC转变成ADAE=ACAD，结合题干中提供的已知条件可以判断出AD与AB是相等的，所以可把式子ADAE=ACAD变形成ABAE=ACAB.之后，学生从这个比例式子中可以了解到，针对结论的证明要用到△ABE与△ABC，证明出这两个三角形的相似性即可，其中∠A是相似条件中这两个三角形的公共角，根据三角形相似性的判断方式，以及题目中给出的条件，只需证明另外一组对角完全相等就行，他们根据条件AD=AB得出∠ABD=∠ADB，也就是说∠ABE+∠EBD=∠C+∠DBC，同时∠EBD=∠DBC，由此可以推断出∠ABE=∠C，从而证明另外一组对角相等，即△ABE与△ABC是相似关系，所以结论成立.

解题点评 学生在处理这类证明类的试题时，可以运用逆向思维展开，从题目中的结论切入，据此往回推导，并结合其它已知条件与相关知识进行证明，最终说明结论是成立的.

参考文献：

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[2]陈燕.逆向思维在初中数学解题教学中的应用分析[J].文理导航（中旬），2021（01）：20+22.

[3]项赟蒋.逆向思维在初中数学解题教学中的应用分析[J].数理化解题研究，2021（14）：4-5.

[4]李文林.浅析初中数学解题教学中逆向思维的运用[J].文理导航（中旬），2020（12）：20-21.