徐峰
【摘要】数学知识与生活联系十分紧密,在现实生活中很多知识也运用数学知识来求解,尤其是初中数学,与生活更贴近,求解河流的宽度问题是初中数学中十分经典的问题,本篇文章接下来将通过一道例题帮助同学们掌握求解的不同方法,拓展同学们的思维,培养同学们的知识迁移能力.
【关键词】初中数学;拓展思维;渡河问题
例1 如图1所示,一条河流两端有A,B两人欲渡河,试如何通过A,B两人位置求河床的距离?
很明显,当河面的宽度较大时,不能直接测量,此时可以结合图象利用三角形的知识求解.
1 利用全等三角形
用此方法解题的主要思路为:
①构造三角形,以河面宽度作为三角形的一边,并以该三角形的一顶点为起点构造一个新的三角形;
②证明两三角形全等,结合题意,利用证明三角形全等的条件证明两个三角形全等,继而解得河面的宽度.
解法1 如图2所示,在B点所在的河岸选两点O、C,使得C、O、B为同一直线上的三点,且OC=OB,
在C点处作线段CM∥AB,然后在边CM上找出一个点D,使得D、O、A三点在同一条直线上,
即满足判定定理“角角边”,
所以△ABO≌△DCO,
因此,只需要测量出CD的距离即可求得河面宽度AB的值.
2 利用相似三角形
用此方法解题的主要思路为:
①构造相似三角形,根据题意,以河面宽度作为两个相似三角形的一条边,其中河面宽度恰好为一个三角形的一整条边;
②求解河面宽度,利用相似三角形原理,根据相似三角形之间存在的比例关系求解河面宽度.
解法2 如图3所示,在AB所在的直线上取一点D,要求DB的距离适宜,不能太长或者太短,
以A为顶点,找C、E两点,令A、C、E三个点在同一条直线上,且满足BC∥DE,
所以△ABC∽△ADE,
所以ABAD=BCDE,
所以ABAB+BD=BCDE,
因此,只需要分别测量出BC、DE、BD的长度,即可求解出河面的宽度.
3 利用三角函数
用此方法解题的主要思路为:
①构造直角三角形,根据题意,以河面的一点构成直角,以河面宽度作为三角形的直角边构造直角三角形;
②计算求解,通过测量另一直角边的长度和对应的角的度数,利用该角的正切值等于对应的直角边长度除以另一直角边的长度,计算求得河面宽度.
解法3 如图4所示,假定线段AB为三角形的一条直角边,以点B作为直角顶点,作Rt△ABC,
由图象可知,测量出线段BC的长度和∠ACB的度数,进而确定∠ACB的正切值,
因为tanC=ABBC
所以AB=BC·tanC,
因此,只需测量BC的长度和∠ACB的度数即可求解河面的宽度.
4 利用函数图象
用此方法解题的主要思路为:
①建立直角坐标系,根据题设条件建立直角坐标系,并将涉及到的点与坐标原点相连,得到其横坐标或纵坐标值;
②确定点的坐标,结合题意表示出相关点的坐标;
③求解河面宽度,结合题意,利用直线y=kx解得所求线段的两端点坐标,其纵坐标或横坐标之差即为所求的河面宽度.
解法4 如图5所示,过点A、B、O分别作直线OA、OB,
以O点作为坐标原点,平行于AB的直线作y轴,垂直与AB的直线做x轴.
此时,直线AB与x轴相较于D点,
此时可得A、B两点的横坐标,
在直线OA、OB上各取一个点M、N,并表示出此两点的坐标,
利用直线方程y=kx解得分别直线OA、OB的解析式,
因为已知A、B两点的横坐标,将其代入上述直线方程,
所以解得A、B两点的坐标
xA、yA、xB、yB,
所以d=yA-yB,
d=yA-yB即为所求的河面的宽度.
求解河面的宽度问题是初中数学中一个经久不衰的问题,当河面的宽度较大不能直接测量时,就需要同学们转换思维,利用所學的相似三角形,全等三角形,以及三角函数等知识灵活求解,利用函数图象也是初中解题的常用方法之一,同学们要灵活选择,拓展自己的思维.