无噪线性放大的连续变量量子隐形传态*

文镇南 易有根 徐效文† 郭迎

1) (中南大学物理与电子学院，长沙 410083)

2) (中南大学自动化学院，长沙 410083)

1 引言

量子隐形传态是量子通信的一个重要部分，它应用量子力学的纠缠特性，能在不传输物理载体本身的情况下，将一个未知的量子态传送到遥远的地方，实现量子态的空间传输.近年来，量子隐形传态技术取得了很大的进展，主要可以分为离散变量量子隐形传态[1-3](discrete-variable quantum teleportation，DVQT)和连续变量量子隐形传态[4-6](continuous-variable quantum teleportation，CVQT)两大类.1993 年，Bennett 等[1]开创性地提出了DVQT协议，打开了量子隐形传态研究的大门，也使得量子隐形传态成为了量子信息科学中最有趣、最具潜力的领域之一.之后，大量学者对DVQT 进行了相关的理论分析和实验研究，在光纤、自由空间、星地链路等传输环境下取得了重大突破[7-9].虽然光量子比特已被用做实现长距离量子隐形传态的重要载体，但是精确的单光子源制备非常困难，而且单光子探测器造价高昂，目前只适用于科学研究领域，不能实现大面积的商用.幸运的是，在DVQT协议提出后不久，量子隐形传态就被拓展到了连续变量系统中[4，10，11]，并且得到了多位学者的实验验证[12-14].不同于DVQT，在CVQT 协议中，量子信号制备过程简单，相干态、压缩态等量子态均可以作为信息的载体，CVQT 所使用的平衡零差探测技术是经典光通信中常用的技术，探测技术成熟，探测效率较高.此外，CVQT 与经典光通信系统有更好的兼容性，在大规模商用方面更具优势.

在CVQT 中，最著名的协议是Braunstein 和Kimble[4]在1998 年提出的，被称为BK 协议.发送方 (Alice) 利用共享的双模压缩真空态作为量子信道，将未知的量子态转移到接收方 (Bob)，并通过经典通信将测量结果发送到 Bob 端.当量子信道是一个理想的无限压缩态时，Bob 能得到由Alice传送给他的量子态的精确副本.然而，这是非常不现实的，因为一方面，理想的无限压缩状态在物理上是不可实现的;另一方面，在实际情况下，量子系统将不可避免地与周围环境相互作用，这些相互作用通常会导致量子相干性和纠缠性的退化，从而降低CVQT 协议的性能.因此，在有限压缩、损耗信道等现实条件下的CVQT 是值得研究的.1998年，Furusawa 等[12]实验完成了有限压缩条件下光学相干态的CVQT，保真度达到0.58±0.02，首次实现无条件量子隐形传态.2005 年，Takei 等[15，16]实验验证了压缩态的CVQT，并且实现了高保真度的相干态CVQT，保真度达到0.70±0.02.为进一步提升协议性能，Dell’Anno 等[17，18]在2007 年提出利用非高斯纠缠源实现CVQT，之后又对该方案的非理想情况进行了全面研究.针对实际环境对CVQT 的影响问题，He 等[19]定量地研究了不同环境下连续变量纠缠变化对量子隐形传态的影响，Hu 等[20]分析了在现实环境中通过参数调整获得CVQT 的最佳保真度的方法.2018 年，Huo 等[6]首次实验完成了光纤信道的确定性CVQT，实际保真度达到0.62±0.03.之后，有学者对大气信道和星地链路的CVQT 进行了研究[21-23].除了传统的CVQT 方案研究，还有学者从其他角度提出新的CVQT 方案.2020 年，Liu 等[24]将轨道角动量(OAM)应用到CVQT 中，实现了多光模的并行量子隐形传态.Chen 和Ou[25]提出利用参数放大器替代分束器来完成贝尔测量，可以有效地补偿探测损耗，使得在探测损耗较大时仍然保持较高的保真度.2021 年，Asjad 等[26]提出一种利用光-微波等离子体复合石墨烯波导系统制备连续变量纠缠对的方法，并将制备的纠缠对用于建立CVQT 的量子信道，可以在一定程度提高隐形传态的保真度.同年，Fedorov 等[27]在宏观距离上实验实现了相干微波态的量子隐形传态，保真度达到0.689±0.004，为无条件安全的微波量子通信开辟了道路.2022年，Zhao 等[28]利用1550 nm 的EPR 纠缠源实验实现了单模光纤中的实时确定性量子隐形传态，为建立基于光纤的城域量子网络提供了一种新的方案.然而，这些CVQT 实验都是在实验室中进行的，传输距离非常短.大多学者所提出的CVQT 方案都聚焦于保真度的性能分析与提升，而很少考虑实际的传输距离.目前，传输距离较短是阻碍CVQT的实际应用的重要原因，因此，如何提升其传输距离是亟待解决的问题.

为了提升实际环境下CVQT 方案的传输距离，本文提出基于无噪线性放大器(noiseless linear amplifier，NLA)的CVQT 方案，即在原始CVQT方案中插入NLA 对损耗纠缠态进行放大.一方面，NLA 的加入能够补偿信道损耗的衰减影响，相当于提升了信道的透过率;另一方面，NLA 对信道的过噪声影响极小，增加的过噪声对系统性能的影响可以忽略不计.本文对所提方案进行了数值仿真，仿真结果表明本文所提方案可以有效提升CVQT系统的传输距离，让CVQT 方案具有更广的应用范围.本文具体安排如下:第2 节详细阐述CVQT协议和NLA，包括在光纤信道中基于BK 协议的CVQT 方案，以及加入NLA 之后量子态和信道参数的变化;第3 节给出了本文方案的性能分析，考虑了不同损耗信道和纠缠源的方案性能;第4 节对全文进行总结.

2 CVQT 协议与无噪线性放大器

2.1 基于BK 协议的CVQT 方案

图1 为纠缠源置于通信双方之间的CVQT 方案图，方案中通信双方分别是Alice 和Bob，未知量子态通过量子信道从Alice 端传送到Bob 端的过程即为量子隐形传态.在本方案中被用于建立Alice 和Bob 之间量子信道的纠缠源为双模压缩真空态，也被称为EPR 态.EPR 态由第三方Charlie制备，包含A0和B0两个模，分别经过透过率为T，过噪声为ε的损耗光纤信道发送至通信双方.由于光纤的固有传输损耗，光纤的透过率随传输距离的增加而减小，表示为T=10-κD/10，其中，κ=0.2 dB/km 为光纤损耗系数，D为传输距离.在Alice与Bob 接收到EPR 态的模后，双方对接收模进行NLA 放大，放大增益为g，分别得到模A1和B1.在发送端，Alice 通过50:50 的分束器将未知输入态ρin与A1模耦合，再利用两套平衡零差探测器对分束器的两个输出模进行测量，得到关于正交振幅分量x和正交相位分量p的测量结果 (XM，PM)[14].由于EPR 态的纠缠特性，Alice 的测量使得输入态被投影到B1模，且二者之间只存在取决于测量结果的相空间位移偏差.因此，Alice 将测量结果通过经典信道发送至Bob，Bob 根据测量结果，利用一个振幅调制器和一个相位调制器对B1模进行位移操作 (DX，DP)，最终得到输入态的副本ρout.至此，输入态在自身未被发送的情况下，完成了量子态从Alice 端到Bob 端的转移，实现了量子隐形传态过程.需要注意的是，这一过程并非是对输入态ρin的克隆，因为Alice 对ρin进行的Bell 测量会破坏ρin本身，因此该过程不违背不可隆定理，而且该过程需要经典通信的参与，并非是超光速通信，不违背相对论原理.

图1 无噪线性放大CVQT 方案示意图.纠缠源EPR 态由第三方Charlie 制备，模A0 和B0 分别经过光纤损耗信道传输至Alice 和Bob 端，Alice 和Bob 利用无噪线性放大器对接收模进行放大.LO，本振光;BS，分束器;g，无噪线性放大器增益系数Fig.1.Schematic of the NLA-based CVQT scheme.The entangled source EPR state is prepared by the third party Charlie.The modes A0 and B0 are transmitted to Alice and Bob through the fiber lossy channel.At the receiver，Alice and Bob use noiseless linear amplifiers for performance improvement.LO，local oscillator;BS，beam splitter;g，gain of NLA.

众所周知，评估隐形传态方案性能的重要指标是保真度[29]，它表征了输入态ρin与输出态ρout之间的接近程度，定义为

其中tr 为求迹算符.当输入态为纯态时，保真度可以由输入态与输出态的特征函数的叠加积分计算得到，即(1)式可以写为

其中χin(ξ) 和χout(ξ) 是分别是输入态和输出态的特征函数，在本文的方案中，考虑相干态作为输入态.由于隐形传态在位移变换下是不变的，也就是说具有相同协方差矩阵但不同相干分量的所有状态都以相同的保真度进行隐形传态[30]，因此，选择相干振幅为零的真空态作为计算的输入态，特征函数为

输出态的特征函数可以通过输入态特征函数和纠缠源特征函数计算得到，即χout(ξ)=χin(ξ)χEPR(ξ*，ξ) .EPR 态的特征函数为

其中α和β均为复变量;V为EPR 态的调制方差，用纠缠源固有参数λ表示为当EPR 态经过损耗信道后，特征函数改变为

从(6)式可以看到，CVQT 系统保真度主要受光纤信道透过率T、过噪声ε以及纠缠源固有参数λ影响.

2.2 无噪线性放大器

系统保真度受光纤透过率影响，随着传输距离的增加，光纤损耗增大，透过率减小，这是降低系统性能的主要因素.在量子密码领域，针对信道损耗的问题，已有一些工作利用NLA 来补偿损耗，提升协议的最大传输距离[31，32].因此，考虑在CVQT中引入NLA 来放大损耗的纠缠态以削减信道损耗带来的衰减影响，从而提高系统的性能.

在图1 所示纠缠源置于通信双方中间的CVQT方案中，收发两端都插入了一个NLA，由于NLA 的输出保持在高斯范围内，可以对经过损耗信道的EPR 态进行参数等效[33]，即EPR 态|λ〉经过透过率为Ti，过噪声为εi的损耗信道后再经增益为gi的NLA 放大，等效于EPR 态|ζ〉经过透过率为，过噪声为的损耗信道，其中i∈{1，2}.参数关系式为

基于各参数的物理意义，等效参数需要满足以下条件:

根据(7)式可以计算得出，要满足上述条件，EPR 态参数λ与NLA 的增益系数g需满足(9)式和(10)式且过噪声ε＜2 .

经过NLA 放大后，EPR 态对应特征函数为

3 性能分析与讨论

本节从保真度和传输距离的角度分析所提出方案的性能提升，根据信道损耗的不同，主要分两种情况进行讨论.第一种是对称损耗信道情况，如图1 所示，在这个方案中纠缠源置于Alice 和Bob之间，需要第三方Charlie 参与纠缠源的制备与发送，虽然增加系统复杂度，但有利于提升系统最大传输距离.有研究证明关联的损耗信道特性有利于保持高斯纠缠特性[34]，因此，本节将讨论对称损耗信道情况，即T1=T2=T，ε1=ε2=ε.第二种是单边损耗信道情况，可以视为第一种情况的简化，在这种情况下，无需第三方Charlie 介入，EPR 态的制备与发送由通信一方完成，可以降低系统复杂度.本文考虑由Alice 制备EPR 纠缠源，Alice 保留模A0，并将模B0发送至Bob，此时，T1=1，T2=T，ε1=0，ε2=ε.

在分析系统性能之前，首先讨论增益系数g的选取.因为在基于NLA 的CVQT 方案中，NLA 的增益系数是一个影响系统性能的重要参数.根据(9)式和(10)式可以知道，纠缠源参数λ、信道透过率T和过噪声ε的值决定了增益系数的可选择范围，且存在最大增益系数gmax.在本文中，以纠缠源参数取0.5 和0.7 两种情况为例进行讨论，过噪声取固定值0.05.图2 给出了在对称损耗信道和单边损耗信道情况下，gmax随不同传输距离的取值变化.从图2 中的结果可以看出，最大增益系数取值随着传输距离的增加而增大，且单边损耗信道情况下最大增益系数大于对称损耗信道情况.在损耗相同的情况下，λ越大，最大增益系数越小.我们还发现，在短传输距离区域，最大增益系数取值很小，这为选取适当的增益系数提供了依据.

图2 不同损耗信道中NLA 增益系数随传输距离的变化关系Fig.2.The gain coefficient of NLA versus the transmission distance in different lossy channels.

接下来将分析讨论对称损耗信道和单边损耗信道情况下，基于NLA 的CVQT 系统性能.对于单边损耗信道情况，图3 给出了不同压缩水平纠缠源和不同NLA 增益下系统保真度随传输距离变化的仿真结果，其中红色实线表示g取最大值的结果，虚线代表g取其他值的情形，作为比较，黑色实线表示原始方案性能.此外，图中蓝色实线代表相干态CVQT 的经典界限，即Fclassical=0.5，因为利用无纠缠经典信道传送相干态所能达到的保真度为0.5[35].从图3 中的结果可以看出，NLA 在各纠缠源情况下均可以提升系统的保真度和最大传输距离，且增益系数g取值越大，提升效果越显著.图中填充区域表示取最大增益系数时所提方案相比原始方案的性能提升幅度，比较图3(a)和图3(b)的填充区域面积可以发现，NLA 对系统的性能提升作用受纠缠源影响，λ较小时提升作用越大.这是因为，一方面，较小的λ允许更大的增益，更大增益的NLA 对信道损耗的补偿作用也越显著;另一方面，λ越大，短距离区域系统保真度越大，使得NLA的提升水平相对原始方案来说变小了.需要注意的是，尽管更大的NLA 增益可以对系统的保真度和传输距离有更显著的提升作用，但NLA 的作用是概率成功的，且成功概率与增益系数值成负相关，因此，所选取的增益系数不能过大.

图3 单边损耗信道情况下保真度随传输距离的变化关系 (a) EPR 态参数 λ=0.5，对应NLA 增益系数 g ∈{2.3，2.0，1.7} ;(b) EPR 态参数 λ=0.7，对应NLA 增益系 数 g ∈{1.5，1.3，1.1}Fig.3.The fidelity versus the transmission distance in single lossy channel case:(a) The EPR parameter λ=0.5，the gain of NLA g ∈{2.3，2.0，1.7} ;(b) the EPR parameter λ=0.7，the gain of NLA g ∈{1.5，1.3，1.1} .

对于对称损耗信道情况，同样分析了不同压缩水平纠缠源和不同NLA 增益下系统保真度随传输距离的变化，图4 是对应的仿真结果.与单边损耗信道情况相同，NLA 在不同λ情况下均可以提升CVQT 系统性能，且λ较小时提升效果更为显著，在相同λ值情况下，g越大保真度越高.与之不同的是，对称损耗信道方案具有更远的传输距离，这是因为对称的损耗信道在保持纠缠源的高斯纠缠特性的同时，实现了双边传输，Alice 与Bob 之间的传输距离等于双方到Charlie 的距离之和.需要注意的是，这种情况下信道是对称分布的，且需要第三方Charlie 参与通信，传输距离大幅提升的同时也增加了系统复杂度.我们还发现，在对称损耗信道方案中，保真度始终保持在不低于经典界限的水平，这在单边损耗信道情况下是没有的.此外，对比图4(a)和图4(b)中g=1.2 的结果可以发现，在相同NLA 增益情况下，增大λ值可以获得更高的保真度.

图4 对称损耗信道情况下保真度随传输距离的变化关系 (a) EPR 态参数 λ=0.5，对应NLA 增益系数 g ∈{1.8，1.5，1.2} ;(b) EPR 态参数 λ=0.7，对应NLA 增益系 数 g ∈{1.4，1.3，1.2} .Fig.4.The fidelity versus the transmission distance in symmetrical lossy channel case:(a) The EPR parameter λ=0.5，the gain of NLA g ∈{1.8，1.5，1.2} ;(b) the EPR parameter λ=0.7，the gain of NLA g ∈{1.4，1.3，1.2} .

从(2)式可以看出，输出态与输入态的保真度可以由二者的特征函数表征，其特征函数分布越接近，则保真度越高.为了进一步验证所提方案相对原始方案对提升系统保真度的有效性，在图5 中绘制了对称损耗信道情况下输入态与输出态的特征函数分布，所选取纠缠源参数λ=0.5，传输距离为40 km.其中图5(a)—(c)分别是输入态、所提方案输出态、原始方案输出态的特征函数，图5(d)为三者在X-P平面的投影图.比较图5(a)—(c)以及图5(d)中三者投影面积可以发现，在相同传输距离情况下，所提方案输出态特征函数分布区域明显大于原始方案，与输入态特征函数更接近，对应的保真度分别为0.73 与0.57，仿真结果与理论分析一致，这也表明NLA 确实在远距离相干态CVQT中发挥着显著优势.

图5 对称损耗信道情况下输入态与输出态的特征函数分布 (a) 输入态特征函数;(b) NLA 方案输出态特征函数;(c) 原始方案输出态特征函数;(d) 输入态与输出态的特征函数关于X-P 平面投影Fig.5.Characteristic functions of input state and output state in symmetrical lossy channel case:(a) Characteristic function of input state;(b) characteristic function of output state with NLA;(c) characteristic function of output state without NLA;(d) projection of characteristic functions of input state and output state on X-P plane.

4 结论

本文提出了一种基于NLA 的相干态CVQT方案，分析了在光纤信道中，单边损耗和对称损耗情况下NLA 对CVQT 系统性能的影响.研究表明，本文提出的方案在单边损耗信道情况和对称损耗信道情况下都能补偿信道损耗对纠缠源的衰减影响，从而提高系统的性能.根据数值仿真结果，发现NLA 的增益系数取值范围受纠缠源压缩水平和传输距离的影响，且更大的增益系数对系统的保真度和最大传输距离有更好的提升效果.在信道损耗相同的情况下，纠缠源参数λ越小，NLA 的增益系数可取值越大，提升效果也更为显著.此外，相比于单边损耗信道方案，在对称损耗信道方案中，需要第三方Charlie 完成EPR 纠缠源的制备与分发，系统复杂度增加，但是其传输距离得到大幅提高，且保真度可以始终保持在不低于经典界限的水平.总的来说，本文提出的方案可以有效提升CVQT方案的性能，为长距离CVQT 方案的实际应用提供了一种切实可行的方法.