基于正则化线性调频模式追踪算法的信号消噪方法及其应用

上官甲新， 张淑清， 郑龙江， 姜安琦， 艾洪克， 张立国， 刘海涛

(1.燕山大学 电气工程学院，河北 秦皇岛 066004；2.国网冀北电力有限公司唐山供电公司，河北 唐山 063000)

1 引 言

由于信号在采集过程中会受到各种因素的干扰，所以采集到的信号往往含有噪声成分，这会给后续工作造成一定的困难，因此有必要对信号进行降噪处理。近年来，常见的降噪方法主要有小波变换、经验模态分解(EMD)及其改进算法、变分模态分解(VMD)、区间阈值算法以及各种组合去噪方法等。文献[1]利用小波变换和常用的滤波方法进行信号的去噪处理，有效地滤除了噪声信息;文献[2]将小波阈值去噪应用在雷达弱回声信号识别中，能够很好地保留回波信号；文献[3]提出了一种改进的双小波非凸稀疏正则化去噪算法，在滤除噪声的同时，保留了原始数据的细节信息；文献[4]提出了一种基于相关的EMD结合软阈值和粗糙惩罚的去噪新方法，使噪声得到有效抑制；文献[5]提出了EEMD与小波阈值相结合的降噪方法，能够很好地剔除信号中包含高频噪声与基线漂移的各种噪声；文献[6]提出了基于灰色准则与EEMD相结合的降噪方法，得到了较好的去噪效果；文献[7]将EEMD和独立成分分析(ICA)相结合的方法应用于脑电信号去噪，综合分析去噪结果表明，该方法能够很好地消除噪声；文献[8]利用CEEMDAN(complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise)与改进区间阈值相结合的方法，相对结合区间阈值的EEMD，减少了降噪后信号在某些点不连续的情况；文献[9]提出了一种基于非局部均值优化的CEEMDAN阈值去噪方法，改善了传统阈值去噪方法的缺点，保留了较多小幅度部分的有用信息，具有较好的适应性；文献[10]利用VMD对信号进行分解，分别对各模态分量进行相关性分析并设定阈值，将低于阈值的分量进行小波阈值去噪，提取出有用信号之后再与剩余的分量进行重构，去噪后的信噪比得到很好的提高；文献[11]提出了一种基于模糊控制的小波包多阈值语音减噪新算法，能够最大程度地还原纯语音信号，有效提高了去噪后的信噪比。

信号去噪技术的广泛研究，使得噪声信号的降噪效果得到提升，但算法仍存在一些缺陷。小波分解和小波阈值在去噪领域得到了广泛应用[12]。但是基于小波的去噪算法通常需要选择合适的小波函数，设置恰当的分解层数，才能达到理想的降噪效果，限制了其应用。EMD去噪方法是一种自适应时域滤波方法，与小波去噪算法相比，对分析非线性非平稳信号具有更强的适应性。但是，EMD算法存在模态混叠、端点效应等问题，无法准确提供各阶IMF的物理意义[13]。为了改善EMD的模态混叠和端点效应问题，学者们陆续提出了EEMD、CEEMD等改进方法，并在EEMD的基础上提出了CEEMDAN，虽然解决了模态混叠问题，但是总体数量的增加，使得重复分解的计算量成倍增长，而辅助噪声的引入，又产生了噪声残留和信号重构误差的问题。VMD则需要先验知识，存在需要人为确定分解层数的问题。而传统的阈值方法[14]难以获得准确的阈值，并且硬阈值去噪会导致去噪信号的不连续，软阈值去噪会造成信号能量的损失，区间阈值去噪保留较多的噪声，容易丢掉有用信号中的高频和小幅度部分。

本文提出了一种正则化线性调频模式追踪(regularized chirp mode pursuit, RCMP)算法。采用递归的框架逐次提取信号模式，在递归过程中，利用希尔伯特变换获取信号的初始频率信息，能够自适应提取信号模式，并且算法中使用稀疏矩阵，降低了计算复杂度。将提出的RCMP算法应用到信号去噪领域，并研究该算法对不同信号的去噪性能。

2 算法理论

2.1 传统算法简介

EMD是一种自适应信号分解方法，利用信号自身所具有的时间尺度特性，将信号分解为有限个由高频到低频的本征模态函数(IMFs)之和。原信号表示为[15]：

(1)

式中：K是IMF的数量;R(t)是残差信号。

CEEMDAN是由EEMD发展而来的，通过在信号分解的每一阶段自适应地加入白噪声并计算唯一的残差，获得信号的各IMF。在每一分解阶段加入的白噪声能够相互叠加抵消，使重构误差在迭代过程中逐渐消除，保证了分解的精度，有效解决了模态混叠问题。原信号可被表示为[16]：

(2)

VMD是一种非递归、准正交、自适应的信号分解算法。其实质是变分问题的构造与求解，使得每个模态的估计带宽之和最小，其中假设每个模态是具有不同中心频率的有限带宽，为解决这一变分问题，采用了交替方向乘子法，不断更新各模态及其中心频率，逐步将各模态解调到相应的基频带，最终各个模态及相应的中心频率被一同提取出来。

2.2 正则化线性调频模式追踪(RCMP)算法

在实际工程应用中，出现的信号都是非线性非平稳信号，而这些非线性非平稳信号均可以用线性调频模式来构建[17]，故信号模型可以表示为:

(3)

式中：信号s(t)是K个信号模式si(t)的叠加，i=1,…,K;Ai(t)>0表示第i个信号分量si(t)的瞬时振幅;fi(t)>0表示瞬时频率;φi表示初始相位。

在推导过程中，式(3)可以被改写为：

(4)

式中：

(5)

(6)

RCMP算法采用递归框架逐个提取信号模式，为了提取第i个信号模式，RCMP算法解决了以下问题：

(7)

式中：

ai=[ai(t0)…ai(tN-1)]T

(8)

βi=[βi(t0)…βi(tN-1)]T

(9)

Ci=diag[cos(φi(t0)),…,cos(φi(tN-1))]

(10)

Si=diag[sin(φi(t0)),…,sin(φi(tN-1))]

(11)

(12)

(13)

(14)

则式(7)可以得到式(15)矩阵形式的目标函数：

(15)

式(16)可通过求解正则化最小二乘问题来估计。根据求解正则化最小二乘问题的公式，Aui≈y的正则化最小二乘解为：

(17)

迭代算法交替更新向量ui，fi，第n次迭代时，向量ui被更新为：

(18)

则信号分量可以估计为：

(19)

利用式(18)得到的解调信号，可计算频率增量[19]为：

(20)

因此，瞬时频率(IF)最终可以更新为：

(21)

经过迭代获得信号的第一个分量，采用递归的方式逐次提取其他信号分量。若要提取第二个信号分量，应将第一个分量从原始信号中减去：

(22)

R1(t)表示残差信号，对R1(t)进行迭代可以获得第二个信号分量，相同的过程可以重复多次。K次迭代之后，获得一个分解的信号s(t)：

(23)

RCMP算法依赖于信号初始频率的估计，估计出的频率信息越接近信号的真实频率，提取的信号分量越接近其真实分量。本文使用希尔伯特变换获得信号的初始频率信息[21]。

3 仿真实验分析

本节使用2种仿真信号研究所提降噪方法的去噪性能，信号分别是doppler信号和调频(FM)信号。Doppler信号是MATLAB提供的测试信号之一，具有较宽的频率范围，与其他信号相比，可以更好地反映去噪算法的去噪性能。调频信号由3个分信号组成，FM信号为：

s(t)=exp(-0.03t)×cos(2π (1.3+25t+4t2-0.8t3+0.07t4))+exp(-0.06t)×cos(2π(2.6+40t+8t2-1.6t3+0.14t4))+exp(-0.09t)×cos(2π(3.9+60t+12t2-2.4t3+0.21t4))

(24)

向信号中添加高斯白噪声，得到不同输入信噪比(SNR_i)的含噪信号，并将去噪结果与EMD结合区间阈值的降噪方法(EMD-IT)、CEEMDAN结合区间阈值的降噪方法(CEEMDAN-IT)以及VMD结合相关系数的降噪方法(VMD-CC)进行对比。

图1给出了当输入信噪比为4 dB时，两种仿真信号的图形。

本文采用降噪后的信噪比(SNR_o)和均方根误差(RMSE_o)来评价降噪方法的去噪性能和鲁棒性。SNR是衡量去噪信号中包含有用信息的有效手段，SNR越高，表明包含有用信息越多。RMSE反映了去噪信号与原始信号的偏差程度，RMSE越小，表明两个信号越相似，去噪能力越好。

图2给出了当输入信噪比为15 dB时，不同降噪方法对doppler信号的去噪结果。图4给出了当输入信噪比分别为0、4、10、15 dB时，两种仿真信号去噪后的信噪比和均方根误差。根据图2可以看出，本文降噪方法的去噪结果不仅保留了更多有用的小幅值信息，还具有较好的平滑性。而其他方法的去噪结果存在平滑性较差，丢失大量有用信息的情况。同时，根据图4中doppler信号去噪后的SNR和RMSE可以看出，当输入信噪比不同时，本文降噪方法仍优于其他降噪方法，具有更好的去噪结果。

图1 输入信噪比为4 dB时，仿真信号波形Fig.1 The waveforms of simulated signals with SNR of 4 dB noise

图2 输入信噪比为15 dB的doppler信号的去噪结果Fig.2 The denoising results of doppler signal with SNR of 15 dB

图3给出了当输入信噪比为4 dB时，FM信号的去噪结果。根据图3可以看出，本文降噪方法的去噪结果保留了大量的有用信息，具有较好的去噪效果，而其他方法的去噪结果则保留了大量的噪声信息，去噪效果较差。同时，根据图4中FM信号去噪后的SNR和RMSE可以看出，当输入信噪比不同时，本文降噪方法去噪后的SNR高于其他方法，RMSE低于其他方法，故具有更好的去噪能力。

图3 输入信噪比为4 dB的FM信号的去噪结果Fig.3 The denoising results of FM signal with SNR of 4 dB

图4 不同降噪方法去噪后各信号的SNR和RMSEFig.4 The SNR and RMSE of denoised signals by different denoising method

4 真实数据验证

本节使用脉搏信号(PPG)和语音信号研究本文所提降噪方法的去噪性能，并与EMD-IT、CEEMDAN-IT和VMD-CC的降噪效果进行对比。实验使用的脉搏信号的实验数据来源于Challenge 2010 Training Set A/Test Set B挑战赛的数据库，从数据库中提取了PPG信号，样本数为1 024，采样频率为125 Hz。语音信号的实验数据来源于AISHELL-2中文语音数据库，录制过程在安静室内环境中，使用Android系统手机录制，采样频率为16 kHz。给上述信号加入不同的高斯白噪声，得到不同输入信噪比的含噪信号。图5给出了输入信噪比为4 dB的脉搏信号和语音信号的波形。

图5 实际信号Fig.5 The actual signals

图6给出了输入信噪比为4 dB的PPG信号的去噪结果。

图6 输入信噪比为4 dB的PPG信号的去噪结果Fig.6 The denoising results of PPG signal with SNR of 4 dB

图7给出了不同降噪方法去噪后各信号的SNR和RMSE。根据图6可以看出，本文降噪方法的去噪效果优于其他降噪方法，能够很好地处理信号的细节信息，并保留大量的有用信号。同时，根据图7中PPG信号去噪后的SNR和RMSE可以看出，当输入信噪比不同时，本文降噪方法的去噪结果仍优于其他方法。

图7 不同降噪方法去噪后各信号的SNR和RMSEFig.7 The SNR and RMSE of denoised signals by different denoising methods

图8给出了输入信噪比为4 dB的语音信号去噪后的语谱图。根据图7和图8可以看出，本文降噪方法对语音信号的去噪效果优于其他3种降噪方法，能够保留信号中大量的有用信息，去除噪声成分，具有较好的去噪性能。

图8 输入信噪比为4 dB的语音信号的去噪语谱图Fig.8 The denoising speech spectrum of speech signal with SNR of 4 dB

5 结 论

本文提出了一种基于RCMP算法的降噪方法，该方法能够克服传统降噪方法的缺陷，例如EMD算法的端点效应，CEEMDAN算法的运行时间较长，区间阈值难以确定精确的阈值以及VMD算法需人为设置分解层数等问题。实验结果表明，本文提出的降噪方法是有效可行的，与传统的去噪方法相比具有一定的优势。该方法在递归框架下，能够自适应提取信号中的有用信号，保留更多的有用信息，并且能够很好地处理信号小幅值部分的细节信息，具有较好的平滑性和去噪性能。