几何画板在小学数学几何与图形教学中的应用

◎娄 玮 （浙江省杭州市余杭区径山镇双溪中心小学，浙江 杭州 310000）

一、前 言

图形与几何是小学数学课程内容中的一个重要领域，这一领域主要研究的是图形，而图形也是空间形式的主要表现，所以图形与几何的教学旨在培养学生的空间观念、几何直观以及推理能力.几何画板非常适用于图形与几何的教学，使用现代信息技术教学图形与几何可以大大提高教学效率.接下来笔者谈谈如何使用几何画板来改变传统教学手段和方法.

二、几何画板在小学数学图形与几何教学中的实际应用

（一）几何图形的认识

小学阶段的学生思维形式以具体形象为主，不论是平面图形、还是立体图形都是从实物中抽象而来的.几何图形的概念都具有一定的抽象性，而几何画板能够使抽象的知识变得形象具体.

“直线、射线、线段”是人教版小学数学三年级上册的教学内容，这一课的教学目标之一是让学生理解这三种线的区别与联系.教师在准备这一节课的时候会遇到一个教学难点：如何帮助学生理解无限延长的概念.

无限延长是一个抽象的概念，现实生活中学生能观察到的实物都是有长度的，因此教师就很难联系现实来说明这个概念.但通过几何画板，教师可以让学生明白什么是无限延长.利用几何画板的直线工具任意画一条直线、一条射线和一条线段，此时在白板上出现了三种线（如图1 所示）.教师可以让学生先观察这三种线，引导学生总结出这三种线的相同之处和不同之处，让学生体会三种线的特征.随后从无限延长入手，让学生知道为什么这三种线会呈现不同的特征，这是教学的关键点.教师可以让若干名学生上讲台操作课件：拖动线段，它会消失不见.从一个方向拖动射线，它会消失；从另一个方向拖动射线，它依旧存在.从两个方向拖动直线，学生会发现无论怎么拖动，直线依旧存在于白板上.通过这样的操作与观察，学生明白了无限延长的概念，也体会到了这三种线的特征.

图1

（二）图形的运动与变化

小学阶段要求学生掌握的“图形的运动”的知识包括轴对称、平移、旋转以及图形的放大与缩小.打开几何画板软件，软件界面的菜单栏中有一个“变换”菜单，点开“变换”菜单，在下拉栏中可以依次看到“平移”“旋转”“缩放”“反射”这几个选项，这些功能可以用来辅助教学“图形的运动”的相关知识.

例如，我们可以借助几何画板来探究轴对称图形.轴对称是人教版小学数学四年级下册的内容.学生在二年级的时候已经能够辨认对称图形了，而这节课的教学目标是使学生进一步认识轴对称图形以及其对称轴，掌握轴对称图形的特征和性质.

用几何画板构造轴对称图形是非常简便的.在画板上任意画一个三角形以及一条线，双击这条线标记为镜面，然后选中三角形，下拉“变换”菜单，点击“反射”，就可以出现一个与原三角形关于这条线对称的三角形.

课堂教学中，教师首先通过展示诸如蝴蝶、门窗、五角星等轴对称图形唤起学生已有的关于轴对称图形的学习经验，对折这些轴对称图形会出现一条折痕，这条折痕就是对称轴.激活学生的学习经验以后，就要进入课堂的探究环节，而本节课的重点就在于让学生了解轴对称图形的性质.如图2 所示，△与△′′关于直线对称.点击“演示”按钮以后，△′′逐渐与△重合.动态演示让学生明白轴对称图形是可以完全重合的.分别连接′，′，′，发现连线与对称轴交于三个点，，，并且连线与对称轴也是相互垂直的.此时，可以利用几何画板的测量功能.教师可以请学生操作几何画板，让学生点击这条线段，点击“测量”菜单中的“长度”，线段的数值就会显示在画板上，这个数值即为点到对称轴的距离.再按照刚才的步骤测量出′到对称轴的距离.通过对比可以发现对称点到对称轴的距离是相等的.用电脑测量出来的数值精确度比用纸、笔和尺子测量出来的高得多，教师通过较为精确的演示让学生对对称轴以及轴对称图形有了一个清晰的认识和理解.借助几何画板进行演示是为了更好地让学生理解轴对称图形的特征，但是教师也需要让学生动手在纸上画对称点以及对称轴，毕竟几何画板只是辅助教学的工具，给学生提供了感性材料，只有让学生亲手操作，他们才会对知识概念有更深的理解.

图2

几何画板的“变换”菜单可让学生体验图形的不同运动，教师可要求学生在课后利用这些功能进行自主设计，达到学以致用的效果，并提升学生的审美能力.

（三）平面图形的面积计算

小学阶段，平面图形的面积推导公式是以长方形面积公式为基础的，例如，平行四边形的面积公式以及圆的面积公式的推导都是需要让学生将图形转化为长方形去探索的.教师在教学过程中要善于让新知识与旧知识之间发生相互作用，以转化思想为指导，在原有知识结构的基础上，让学生去接受新知识，这样能大大提高教学的效率，学生也会学得开心.面积的推导是以图形的转化为前提的，几何画板在图形的转化上能发挥比较大的作用.

笔者以平行四边形的面积公式的教学为例.

探索环节先让学生通过数格子的方式来计算出平行四边形的面积，给学生后面的学习做铺垫，再引导学生思考是否有更简单的方法计算平行四边形的面积.

图3（1）为一个平行四边形，其中线段为它的高.教师将这个课件展示出来，让学生猜想平行四边形与图3（2）的长方形是否有关系.当学生提出猜想，认为平行四边形可以转化为长方形时，教师就用几何画板来验证学生的想法.

图3

点击“拼补”按钮，一个三角形沿着平行四边形的底边缓缓从左边平移到右边，最终呈现的效果图为一个长方形.通过几何画板的动态演示，学生完整地见证了平行四边形转化为长方形的神奇过程，也给学生的猜想提供了有力的证据.了解了图形的转化过程后，下一步就是进行面积公式的探索.学生通过讨论发现，长方形的长就是平行四边形的底边，而长方形的宽就是平行四边形的高，根据“长方形的面积＝长×宽”这个数学公式推导出“平行四边形的面积＝底×高”，用字母表示即为＝.

在对面积公式探索的过程中，教师巧妙运用几何画板，将书本上的知识用动态演示展现在学生面前，让他们对整个过程有一个清晰的认识，同时也渗透了“转化”的数学思想.学生运用原有的知识结构，积极主动地去掌握新知识，使教学更具效率，也体现了“以生为本”的教育理念.

（四）立体图形的表面积和体积计算

立体图形表面积和体积教学中的一个重点就是让学生体会三维空间与二维平面之间的关系，能进行几何体与其三视图、展开图之间的转化.这是学生学习表面积的基础，却是教师教学设计中容易忽视的环节、学生学习的薄弱之处.

教师在教学如何计算立体图形的表面积的时候，要让学生明白需要计算哪些面.但是立体图形存在于三维空间，它不像平面图形那么直观，当一个立体图形呈现在纸上，其特征是很难被学生观察到的.而一些教师也会因为自己专业素养的缺失，使表面积和体积公式的教学仅仅停留在会用公式计算对应的立体图形，忽视了概念之间的联系.这样的教学导致学生仅仅知道了立体图形的定义，却不知道平面图形和立体图形之间有着怎样的联系，无法形成一张知识网络，因此教师需要培养学生的空间想象能力，使他们学会在平面图形与立体图形之间进行转化.通过理解立体图形是如何形成的，学生能自主地探索立体图形的表面积和体积计算公式，而不是教师将公式硬塞给学生，使他们单纯地通过解题的方式机械地记忆公式.

以圆柱的表面积与体积教学为例.

《圆柱的表面积》这节课渗透了空间观念与数学建模思想，学生要经过动手操作发现圆柱的表面积与已经学过的图形的面积之间的联系.圆柱的表面积的教学难点在于圆柱侧面积的计算.学生看到圆柱的侧面第一反应是认为它是一个曲面，曲面的面积非常难计算，因此教师需要引导学生将曲面转化为平面.通常学生通过对一个圆柱形纸筒动手操作并进行猜测.而几何画板可以帮助学生验证其猜测是否准确，如图4 清晰地演示了圆柱侧面展开的过程，进一步加深了学生对圆柱侧面图形的认识：如果沿着圆柱的高剪开侧面的话，曲面展开图就是一个长方形.教师还可以改变圆柱的底面圆的半径大小，底面圆的半径越小，展开的长方形的宽就越短，让学生意识到侧面展开图与底面圆的大小是有关系的.掌握了这一点，圆柱的表面积的计算方法就可以放手让学生自己思考推导了.

图4

等分圆能够拼接成一个长方形，圆柱的体积公式的推导就可以从圆的面积公式的推导出发.通过点击“增高”按钮，平面圆逐渐增加厚度，变成了圆柱，对应的用圆割补而成的长方形也逐渐增加了厚度，变成了长方体.这个动画演示十分有趣，它让学生体验了平面图形变换到立体图形的过程，使学生将平面图形与立体图形的概念串联起来.教学过程运用了顺向正迁移，使学生的知识结构更加完整.

图5

三、几何画板在小学数学图形与几何教学中的应用价值

（一）动态演示为突破数学概念的教学难点提供了解决方法

一般来说，数学概念比较抽象，小学阶段的儿童思维以具体形象为主.数学概念若不通过具体形象的图画进行演示，那么光凭文字解释只会让学生感到晦涩难懂.几何画板有“21 世纪的动态几何”的美称，当我们用动态图来理解数学概念的时候，会有一种豁然开朗的感觉.几何画板可以创设动态的情境，运用数形结合，把抽象的数学概念以具体形象的方式呈现出来，揭示出事物的本质，帮助学生明确概念的内涵.

（二）几何画板的使用有助于培养学生的空间观念

有人指出：“空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知.对于二、三维图形及其性质的领会和感知、图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.”几何画板有非常强大的功能，教科书上所列出的几何知识几乎都可以利用几何画板来完美呈现.通过几何画板进行演示能丰富学生的几何表象，而空间想象能力则是通过对表象的加工逐渐建立起来的.对于义务教育阶段的学生来说，几何画板的使用能够丰富他们的几何表象，为将来的进一步发展打下良好的基础.

（三）几何画板为学生创设良好的数学实验环境

几何画板能为学生创设良好的数学实验环境.使用几何画板以后，学生可以脱离烦琐的作图和计算过程，甚至可以随意改变数据，在这一过程中，学生还可能会有其他的发现.学生在几何画板制作的圆割补的课件中输入“＝6”的时候，圆就被平均分成了24 份，通过拉动圆心，就可展示出如图6（2）所示的近似平行四边形的图形.学生可以尝试改变数据，当输入的数据越来越大的时候，他们会发现拼成的图形越来越接近一个长方形.那么此时学生就会猜想，圆的面积公式是否可以与长方形的面积公式联系起来.教师可以引导学生相互交流，分享经验，让学生在原有的知识经验的基础上自主探索创造出圆的面积公式.这样的教学方式极大地培养了学生对学习的热爱.

图6