例谈求圆锥曲线离心率的途径

傅剑

圆锥曲线的离心率是反映圆锥曲线几何特征的一个基本量.圆锥曲线的离心率主要是指椭圆与双曲线的离心率，可用e=-来表示.求圆锥曲线的离心率

问题是一类常考的题目.下面谈一谈求圆锥曲线离心率的三种途径，

一、根据圆锥曲线的定义

圆锥曲线的定义是解答圓锥曲线问题的重要依据.我们知道，椭圆的焦半径长为c、长半轴长为。;双曲线的焦半径长为c、实半轴长为a，而圆锥曲线的离心率为e=-.因此，只要根据圆锥曲线的定义确定a、c的值，即可求得圆锥曲线的离心率.

题目中指出了两个焦半径| PF1|、| PF2|之间的关系，可将其与双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹关联起来，根据双曲线的定义建立关于两个焦半径的方程，通过解方程求得双曲线的离心率.

二、利用几何图形的性质

圆锥曲线的几何性质较多，如双曲线、椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，双曲线的范围为x≥a或x≤-a.在求圆锥曲线的离心率时，要仔细研究几何图形，明确焦半径、实半轴长、虚半轴长与几何图形的位置关系，据此建立关于a、b、c关系式，再通过解方

解答本题主要采用了数学归纳法，分两步完成，首先证明当n=1时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，并将其作为已知条件，证明√2

相比较而言，构造函数法的适用范围较广，裂项放缩法和数学归纳法的适用范围较窄，且裂项放缩法较为灵活，运用数学归纳法证明不等式过程中的运算量较大.因此在证明数列不等式时，可首先采用构造函数法，然后再根据不等式的特点和解题需求运用裂项放缩法或数学归纳法求证.

三、构造齐次式

有些圆锥曲线离心率问题较为复杂，我们需根据题意、圆锥曲线的方程、直线的方程建立关于a、c的关系式，通过等量代换构造关于a、b、c的二次齐次式，然后在齐次式的左右同时除以a2，便可得到关于e的二次方程，解该方程即可.

解答本题，需根据题意建立两个方程组，通过解方程组求得交点的坐标，再根据两点间的距离公式建立关于a、c的二次齐次式，即可求得椭圆的离心率.

用a、b、c表示出曲线上某点的坐标，再将其代人曲线方程，这样就建立了一个关于a、c的二次齐次式，通过解方程即可得出离心率的值.

可见，求圆锥曲线的离心率，关键是根据圆锥曲线的方程、定义、几何性质，建立关于三个参数a、b、c的等量关系式，再通过变形、化简，得到圆锥曲线的离心率.