案例教学在常微分方程课程中的应用研究

◎赵碧蓉

(广州大学数学与信息科学学院，广东 广州 510006)

一、引言

常微分方程是连接理论数学与应用科学的重要载体，它完美地体现了数学与其他学科，如物理、金融、自动控制等的交叉与融合我院所有的专业都开设了常微分方程课程，除了信息安全专业在大学二年级第二学期开设，其余专业均在三年级的第一学期开设该课程教学反馈显示，学生普遍反映常微分课程理论性偏强，计算量偏大，导致相当多的学生产生了畏难情绪，从而缺乏应有的学习兴趣与原动力，考试的不通过率较其他课程也偏高究其原因，主要有以下两个方面：一是学生基础知识较薄弱常微分方程作为数学分析和高等代数及解析几何的后续课程,要求学生对大学一年级的主要课程数学分析和高等代数的知识掌握较好我校的常微分方程课程在大学三年级的第一学期开设,相当一部分学生要么本身对两门主课知识掌握不牢固，要么就是基础理论知识有遗忘，给他们接下来的常微分方程的学习带来不利影响二是由常微分方程课程本身的特性所决定的该课程基础理论性较强，比如课程的核心定理——解的存在唯一性定理为了证明该定理，教材将其拆解为五个命题来证明，其中所涉及的无穷级数和函数列的一致收敛性知识点本身也是数学分析课程的教学难点这足以体现常微分方程具有一定的理论深度和逻辑性又如解对初值的连续依赖性和可微性问题，要想将抽象的定理讲解得简洁、清晰、有趣而又不失理论上的严谨性，这需要教师自身具有一定的科研基础和知识储备此外，广州大学作为地方性高校，学生普遍存在基础理论功底较弱的问题因此，常微分方程课程的教学往往陷入 “教师难教，学生难学”的困局如何破解这种困局是该课程教学改革需要认真思考和解决的问题

事实上，常微分方程是最能体现数学与其他学科相互交叉、渗透与融合的课程，其应用领域涉及自动控制系统、金融与经济、社会管理等典型的模型，如动力系统中的传染病模型、复杂网络中的多智能体系统等，都可以用常微分方程来描述与刻画在教学中教师若能适时恰当地引入典型的模型案例，把生活中的实际案例作为教学素材，结合对案例的研究、分析、推导过程将抽象的数学理论知识巧妙引出，就会使学生在学习理论知识时不被枯燥的概念、定理和烦琐的计算所困扰，让学生体验到抽象的数学理论其实是可以被应用到具体的模型案例中的，这将极大地提高常微分方程理论的直观性与实用性，以此激发学生学习的兴趣我们所做的教学调研反馈显示，学生也普遍希望课堂理论教学中能够更多地结合工程实践的应用背景知识因此，在不改变现有教学体系的前提下，要想优化常微分方程课程的教学模式和教学手段，在课堂教学中融入实际案例分析，借此提升常微分方程课程教学的效果与魅力，需要教师提高自身教学的科研能力和革新教学理念常微分方程具有广泛的自然科学与社会科学的应用背景，本文主要探讨案例教学在常微分方程教学中的实践问题案例教学起源于哈佛大学开设的情景案例教学课，是指在教学中以案例为中心展开分析和讨论，以案例为导向和驱动力的教学方法案例的驱动作用要求在常微分方程教学中，案例的选择一定要有针对性、典型性、生动性，它必须是现实生活能够接触到的动态系统模型，这样的模型案例才有说服力和吸引力而且，建模的过程不能过于烦琐，难易程度要适应学生理解知识的进度和认知的深度，选择和设计出大部分学生都可理解接受的常微分方程模型，利用常微分方程知识求解模型并对得到的结果对实际问题进行解释、预测和验证等，让学生认识到常微分方程在解决具体问题中的作用，从而提升学生学习的自主性

二、常微分方程典型案例分析

广州大学数学专业学生需要掌握的常微分方程主要包括一阶方程、高阶线性方程以及线性方程组2015年以前教学时长为72学时，之后压缩为64学时由于课时比较紧张，教学中涉及的教学案例不能保证面面俱到，对案例的选择尤为关键案例服务于教学内容，甄选应遵循真实性、典型性和可延展性原则以下针对教学内容，对所选的具体案例进行解读和分析

1Malthus人口模型及其拓展模型案例分析

Malthus基于人口出生率为常数于1798年提出的人口模型为：

(1)

(2)

其中表示自然资源和环境所能容纳的最大人口数，其解为

且有

显然Logistic模型比Malthus人口模型更符合实际，但方程(分离变量方程或非线性方程)变得更复杂了，这也反映了在建模的时候需要考虑实际情况和方程的可解性之间的平衡关系除此之外，课堂上还可以提及更一般的随机人口模型

(3)

其中()是时刻的人口相对增长率若()受到周围随机环境噪声的影响，即有

()=()+，

若为高斯白噪声高斯白噪声可以表示为

其中{(),≥0}为标准布朗运动这样，式(3)可以表示为

(4)

式(4)是简单的人口增长模型在环境噪声干扰下的随机模型随机常微分方程是常微分方程的延伸，在金融数学和随机控制中应用广泛，教学中结合这些模型，能够激发学生进一步学习数学的兴趣和提高学习的原动力，也能让学生更直观立体地感知抽象理论与具体应用的衔接，借此显示数学理论联系实际的具体过程，在潜移默化中提升学生解决问题的创新能力，让学生感觉常微分方程不再是枯燥、烦琐的数学推导，而是很有趣的

三、线性微分方程组(运动轨迹)模型案例

该章节教学的难点是方程的维数由一维扩展到高维，这也给课堂教学带来一定的压力因此在教学中，恰当地选择高维的实用性案例就显得十分关键二维空间的例子很好感知，教师可以用昆虫爬行为例展开教学一只甲壳虫在二维空间平面内爬行，初始位置为(1,0)点，虫子在点(,)沿轴正向的速率为4-3，环境扰动为()=sin，沿轴正向的速率为2-，环境扰动()=-2cossin，试确定甲壳虫爬行轨迹的参数方程

图1 虫子爬行的轨迹

这是一个非常贴近实际的教学素材，有基本的建模知识就可以知道，假设时刻甲壳虫所处的位置为((),())，由已知条件和上述假设可建立如下的常微分方程组

(5)

从而得到虫子的运动轨迹为

此案例的分析和求解过程将代数知识和常微分方程求解完美地串联起来，让学生体验到数学课程之间的交叉和融合

四、电路系统模型案例

本学期有一节课所用的教室的前一节课刚好是机械与电气工程学院的电路课，课件做得非常精美，下课后很多学生围着教师提出疑问，我想这样的课堂一定是生动而有趣的但任课教师却很无奈地告诉我，学生问的其实都是数学方面的问题,他们这方面的基础太薄弱由于我以前没有接触过电路课程，便饶有兴趣地翻看了这节电路课的课件，发现电路系统在时域中就是用常微分方程或常微分方程组来描述的而课程设置上，机械与电气工程学院并未开设此课程，高等数学的教学中虽包含常微分方程内容，但课时非常有限，教科书给出的实际问题的素材也少因此在这部分的教学中，本人根据自己的专业知识，将自动控制理论中的定常线性系统模型引入教学中，课堂反馈显示，无论是数学与应用数学专业的学生，还是机械与电气工程学院的学生，对常微分方程能在应用性学科中得到运用都表现出很高的兴趣和学习热情，这也促进了常微分方程与其他学科的深入融合下面将通过具体模型案例来解读数学意义上的通解和特解在实际工程中的含义线性系统的状态空间表达式为

即

五、结束语

基于案例教学的直观性、现实性和趣味性，本文以人口预测模型、质点运动轨迹模型和电路系统作为典型案例,阐述案例教学在提升常微分方程课堂教学效果的重要意义在教学实践中，教师要善于利用与所学方程相匹配的案例，提高数学教学的生动性、实用性，拉近课堂与实际生活的距离，将抽象的数学理论知识具体化、形象化，进一步增强数学理论知识与现实的联系，提高学生学习数学知识的积极性和主动性