基于Logistic模型研究花生根长与干物质积累的关系

梁仕军，化存才

(云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650000)

花生是世界上重要的粮食、饲料作物和油料作物之一.中国是花生生产、消费和出口贸易最大的国家.因此，花生的增产不仅可以保证我国的油料安全，而且也可以带动我国的经济发展.

花生是具有无限开花结实习性的草本作物，其开花期和结实期很长，生育期也较长.一般早熟品种100～130 d，中熟品种135～150 d，晚熟品种 150 d 以上.花生的生长发育时期分为：破土期(种子发芽出苗期)，幼苗期，下针期(开花下针期)，结荚期，饱果期和成熟期.草本植物的根系，无论是作物还是非作物，都是由粗根和细根组成的，细根是根系中吸收水分最活跃的部分.植物根系的生长发育与其开花结果产量、抗旱等有着重要的关系，文献[1]作了如下事实描述：植物根系的大小和长短是获取水分、无机盐等土壤资源的关键特征.尤其是，在干旱条件下，植物根据有效土壤水分分布而生根的能力，极大地提高了植物在干旱条件下的产量.对于花生而言，根系的长度将影响花生干物质的积累以及产量，花生的根长与产量呈正相关.

Logistic模型是描述具有S型动态发展曲线的一个经典的微分方程，有着比较广的应用范围.例如，王明斋等[2]将Logistic微分方程模型应用到结核病疫情预警中，分析得出了3个疫情防控结点：渐增期、快增期和缓增期.张林等[3]在研究降低UV-B辐射对烤烟株高影响的问题时建立了如下非自治的Logistic模型：

其中,H表示烤烟的株高,Hm表示烤烟的最大株高,r(t)表示与时间有关的增长率.

又如,刘春等[4]基于能量模型建立了水稻生长的如下Logistic型二维微分方程模型:

其中,T表示气温,Tu表示最适气温,u表示水稻生物量.

最近，李文斌[5]在考虑声频控制会影响水稻生长的数学问题时，基于Logistic建立了决定水稻产量的水稻分蘖期生长的微分方程模型.

至今，没有见到文献基于Logistic微分方程模型去研究花生生长发育中的相关规律.为此，本文的主要目的是研究花生根长与干物质的积累之间的关系.将基于花生生长发育的基本事实和Logistic模型建立二维微分方程组模型，并进行数值模拟分析和应用阐释.

1 二维微分方程组模型的建立与分析

1.1 模型的建立

根据参考文献[1]，可提取花生生长发育过程中的以下基本事实：

F1)随着花生的生长发育期的推进，花生的根系的活力逐渐下降，其中在苗期时根系的活力最高；

F2)随着花生的生长发育期的推进，花生的根长不断增加；

除了安特莱夫的《默》对鲁迅的《药》的创作有明显的影响之外，安特莱夫的另一篇小说《齿痛》也对《药》的主题产生了很大的影响。《齿痛》描写的是耶稣在各各他被钉上十字架的那一天，各各他附近有个商人患着齿痛。他也和《药》里的华老栓一样，只关注自己的齿痛，而对耶稣的死毫不理解，并表现出极度的冷漠。

F3)花生苗期根长与产量呈显著正相关，开花下针期与饱果成熟期根长与产量呈极显著正相关.

基于以上3个事实，我们做出以下合理假设：

H1)花生根部的生长增长速率先增后减，符合二次函数模型；

H2)花生的干物质积累越大，花生根长的增长速率越小；

H3)干物质的积累速度随花生根的长度的增加而增加；

H4)干物质的积累速度随干物质的积累量的增加而减慢；

H5)在不考虑根长影响因素时，花生干物质的积累量的最大值设为K.

(1)

其中,α,a,b,c>0,且为常数.

1.2 参数估计

由f(L,N)=0,g(L,N)=0得正平衡点为(L0,K+αL0),其中L0为根的待定长度.

因为花生在播种后,生长过程为首先胚萌发,接着胚芽形成幼芽,然后胚根才形成幼根,所以若取(0,0.8)为花生的生长发育的起始点,则此时花生的根长为0,而干物质的积累量0.8为种子的质量,且根的增长速率不为0,取增长速率为 0.057 89,即：

-116.64a+b-0.8c=0.057 89.

(2)

正平衡点(L0,K+αL0)为花生生长发育过程的终点,此时花生的根生长速率为0,根的长度记作L0,所以

-a(L0-10.8)2+b-c(K+αL0)=0.

(3)

取定L0=20.7,K=60.8,则方程(3)可变形为

84.64a-b+(60.8+20α)c=0.

(4)

在苗期时,根据参考文献[1]的相关数据,假设花生的根长度为10.8,干物质的积累量为8.7,此时的根增长速率达到最大,最大值为：

b-8.7c=0.36.

(5)

如取α=0.5,则联立方程(2)～(5),得：

a=0.002 7,b=0.374 1,c=0.001 6,K=60.8,r=0.059,α=0.5.

1.3 平衡点的稳定性分析

微分方程组模型(1)的雅可比矩阵为：

在参数估计下的微分方程组模型(1)变为：

(6)

平衡点(L0,K+αL0)=(20.7，71.15)处的雅可比矩阵为

记：p=-trA=0.112 46>0,q=detA≈0.003 2>0,Δ=p2-4q=-0.000 15<0.

因为p>0,q>0，Δ<0，所以平衡点(L0,K+αL0)是渐近稳定的焦点，这说明，花生的根长和干物质的积累量最终在稳定平衡点附近波动.

1.4 数值模拟

微分方程组模型(6)是一个非线性的二维微分方程组，无法求出其精确解，因此通过Matlab编程数值模拟画出解析式的图像和相图.

图1 花生根长与时间的关系 图2 花生干物质积累量与时间的关系 图3 花生根长与干物质积累量的关系相图

由图1、图2和图3可得以下结论：

i) 根长增长的拐点在苗期，干物质积累的拐点在开花下针期；

ii) 当根长为 10.8 cm 时，花生根长的增长速率为最大;

iii) 花生的根长的增长呈“S”型生长曲线，先慢后快，最后趋近于最大值；根长的增长主要集中在苗期和开花下针期；

iv) 花生的根长在 140 d 时达到稳定，此时根长为 20.7 cm；

v) 在加入花生根长的影响后，花生的干物质积累量增加，其最大增长速率变大.这也许是由于翻耕深度更深、土壤更加肥沃、水分阳光更适宜等因素使得根系生长更长，因此花生的产量会增加.

由花生根长与干物质积累量关系的L-N相图3，还可得：

1) 花生干物质的积累与根长正相关；

2) 图像下凸，并且倾斜程度越来越陡，这说明前期干物质积累速率低于花生根长的增长速率.

2 结语

基于花生生长发育的基本事实和Logistic模型，建立了花生根长与其干物质积累量关系的二维微分方程组模型(1)，在进行了参数估计后，得到二维微分方程组模型(6)，其正平衡点是稳定的焦点.

对二维微分方程组模型(6)的数值模拟结果表明，花生的根越长，花生干物质积累越多，呈正相关.结合花生生长的实际过程，可以作出如下合理的阐释：在花生的破土期以及苗期主要是生根，干物质积累较少；到了下针期，根的增长减慢，但是干物质积累明显增加，此时主要体现在茎和叶的生长；到了结荚期，和饱果成熟期，根的增长最缓慢，此时主要是荚果的发育和成熟，因此干物质积累很快.