“直线的倾斜角与斜率”教学设计

彭生才

直线的倾斜角与斜率是高中平面解析几何的起始概念，倾斜角与点的坐标以斜率为桥梁建立了联系，为以后推导直线方程和用代数方法解决与直线有关的几何问题奠定了基础。直线的倾斜角与斜率分别从几何位置关系和代数结构的角度描述了直线的倾斜程度，体现了数形结合思想，渗透了解析几何的基本思想和基本研究方法。此外，斜率不仅仅是平面解析几何的重要概念，也为以后理解函数的平均变化率与导数的几何意义提供了支持。

教学目标：1.创设情境让学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，初步掌握经过两点的直线的斜率公式，理解倾斜角与斜率的对应关系，引导学生运用斜率的定义与公式解决一些简单的问题;2.通过斜率概念的建立和公式的推导，让学生体验解析几何的一般研究方法，体会数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，培养严谨的科学态度;3.通过概念的建立、公式的推导，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养。

教学过程：

环节一：设置情境，感知直线方向，提升直观想象素养

将两组直线放在同一个平面直角坐标系中，一组直线为平行线（不与坐标轴平行，直线向右倾斜），另一组直线为交于同一点的相交直线。教师提问：平行的这组直线有什么共同特征？相交的这组直线有什么不同？通过这两个问题，使学生认识到直线的倾斜程度是直线的一个非常重要的几何特征，受平面几何定理“同位角相等，两直线平行”的影响，学生会想到用直线与x轴相交所成的角来描述直线的倾斜程度。

环节二：引入倾斜角刻画直线方向，提升数学抽象素养

1.直线的方向是直线的重要特征，几何上我们经常用角度刻画方向，那么在直角坐标系下，我们是否也可以引入角度来刻画直线的倾斜程度呢？如果这样的角度存在，我们不妨将其称为直线的倾斜角，如何准确定义直线的倾斜角呢？

教师在学生回答的基础上引导其将概念严谨化。如果有学生提出“一条直线与x轴相交所成的锐角叫这条直线的倾斜角”，教师可追问这个定义是否合适，是否有不严谨的地方。通过举例的方式，体会定义进一步严谨化的意义。

2.怎样定义倾斜角才能保证方向相同的直线有相同的倾斜角，方向不同的直线有不同的倾斜角呢？

学生可以通过逆时针旋转x轴与直线l重合所转过的角度来定义倾斜角，也可以通过x轴正向与直线l（直线l与x轴平行或重合除外）向上的方向之间所成的角来定义倾斜角。为了保证直线的方向 与倾斜角之间形成一一对应的关系，当直l线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0。因此，直线倾斜角的范围是[0，π）。

环节三：引入斜率完成代数表示，进一步提升数学抽象素养

1.我们知道，两点确定一条直线，那么能否用直线l上两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的坐标来刻画直线的方向呢？直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1（x1，y1）和 P2（x2，y2）又有什么内在联系呢？

教师引导学生回顾初中学习过的一次函数，进一步回顾在高一时学习的不同增长类型的函数模型，知道一次函数y=kx+b（k>0）属于匀速增长模型。当倾斜角为锐角时，直线的倾斜程度可以用函数的增长速度来描述，增长速度越大，直线越陡峭，倾斜角越大。而且知道一次函数解析式y=kx+b（k>0）中的参数k的大小可以决定直线的不同方向。与此同时，教师引导学生类比匀速直线运动中质点的速度，把自变量x看成时间，把函数值y看成位移，对于一次函数y=kx+b（k>0），任取两个“时间点”x1，x2，对应的“位移”分别为y1，y2，这样，就表示一次函数的增长速度了，计算得。

2.一次函数的增长速度k与直线的倾斜角是什么关系呢？当直线的倾斜角α为锐角时，学生通过作图不难发现，k==tanα。当α为钝角时，这个等式还成立吗？请学生自行证明。至此就完成了倾斜角的坐标表示。在解析几何中，称k为斜率。倾斜角是刻画直线方向的几何量，而斜率是刻画直线方向的代数量。

3.请学生画出k=tanα的图象，并叙述斜率随着倾斜角的变化而变化的过程：随着倾斜角α的增大，斜率先从0递增到+∞，再从-∞递增趋近于0。

环节四：巩固概念，提升数学运算和几何直观素养

1.已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），

（1）求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

（2）若点D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围。

通过（1）巩固斜率的坐标公式及斜率与倾斜角之间的对应关系，提升数学运算素养，通过（2）渗透数形结合的思想，提升运算和直观想象素养。

环节五：小结作业，提升几何直观和数学抽象素养

教师引导学生回顾本节课的知识、方法、难点等，重点是观念上的提升。比如，确定一条直线的位置需要哪些几何要素;从函数图象与性质的角度理解倾斜角与斜率的关系;通过斜率公式体会几何对象与代数结构的对应。课后作业除了选择教材中的练习和习题之外，建议学生写一写本节课自己感受最深的地方，总结活动经验。

吴鹏老师点评

直线的倾斜角和斜率是解析几何中的基本概念，分别从“形”和“数”的角度刻画了直线的“方向”，其中，斜率的引入是学生首次将几何要素代数化的具体例子，具有重要作用。本教学设计突出了数学知识之间的内在逻辑和发展脉络，即先确定直线的几何要素，再分别用几何方法和代数方法刻画几何要素，遵循了先定性后定量、先几何度量后代數量化的探究过程，也突出了坐标法的本质特征。本案例突出素养导向，先是在“倾斜角”的概念教学上，突出几何直观素养的同时关注学生思维的严谨性，而在“斜率”概念的教学上，与学生原有的知识建立联系，通过与“变化率”的类比使得斜率概念的引入水到渠成，有效提升了学生的逻辑推理和数学抽象素养。

编辑 _ 于萍